7.4 Potensrekker og Taylor-rekker | Matematikk S2

Representere funksjoner som potensrekker og Taylor-tilnærminger.

65 min

19 oppgaver

PotensrekkeTaylor-rekkeMaclaurin-rekkeKonvergensradiusTilnærming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Uendelige rekker og konvergens

Rekker i personlig økonomi

Geometriske rekker er grunnlaget for det meste av finansmatematikk. Når du sparer regelmessig med fast rente, eller betaler ned et lån, er det geometriske rekker som ligger bak beregningene.

I dette kapittelet skal vi utlede formler for sparing med faste innskudd, annuitetslån og serielån. Dette er svært relevant for S2-eksamen og for din egen personlige økonomi.

Vi bruker følgende notasjon:
- $r$ er renten per termin (f.eks. $r = 0{,}05$ for $5\%$ )
- Vekstfaktoren per termin er $v = 1 + r$

Sparing med faste innskudd

b

✏️Sparing til bolig

Du sparer 5000 kr per måned i 10 år. Månedlig rente er $0{,}3\%$ (dvs. $r = 0{,}003$ ). Hvor mye har du spart totalt?

Vi har

b = 5000

r = 0{,}003

v = 1{,}003

n = 120

(måneder).

$K_{120} = 5000 \cdot \frac{1{,}003^{120} - 1}{0{,}003}$

Beregn $1{,}003^{120}$ : $1{,}003^{120} \approx 1{,}4308$

$K_{120} = 5000 \cdot \frac{1{,}4308 - 1}{0{,}003} = 5000 \cdot \frac{0{,}4308}{0{,}003} = 5000 \cdot 143{,}6 \approx 718\,000 \text{ kr}$

Totalt innskudd: $5000 \cdot 120 = 600\,000$ kr
Opptjente renter: $718\,000 - 600\,000 = 118\,000$ kr

📜Annuitetsformelen

Et annuitetslån er et lån der terminbeløpet (summen av avdrag og renter) er konstant gjennom hele lånets løpetid.

Dersom lånebeløpet er $L$ , renten per termin er $r$ (vekstfaktor $v = 1 + r$ ) og antall terminer er $n$ , er det faste terminbeløpet:

$T = L \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$

Utledning: Etter $n$ terminer skal restgjelden være null. Lånet med renter etter $n$ terminer er $L \cdot v^n$ . Innbetalingene $T$ per termin med renter utgjør en geometrisk rekke med sum $\displaystyle T \cdot \frac{v^n - 1}{r}$ . Sett lik: $\displaystyle L \cdot v^n = T \cdot \frac{v^n - 1}{r}$ , og løs for $T$ .

Nåverdi

B

Serielån vs. annuitetslån

I et serielån er avdragene (ikke terminbeløpet) konstante. Siden restgjelden synker, synker også rentedelen, og dermed synker terminbeløpet over tid.

Egenskap	Annuitetslån	Serielån
Terminbeløp	Konstant	Synker over tid
Avdrag	Øker over tid	Konstant
Rentedel	Synker over tid	Synker over tid
Total rente	Høyere	Lavere
Populært til	Boliglån (forutsigbarhet)	Bedriftslån

Serielånet gir lavere total rentekostnad fordi du betaler ned raskere i starten.

✏️Beregn terminbeløp for annuitetslån

Et boliglån på 3\,000\,000 kr har årlig rente $4\%$ og løpetid 25 år med årlige terminer. Finn terminbeløpet.

Vi har

L = 3\,000\,000

r = 0{,}04

v = 1{,}04

n = 25

$T = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}04 \cdot 1{,}04^{25}}{1{,}04^{25} - 1}$

Beregn $1{,}04^{25} \approx 2{,}6658$ .

$T = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}04 \cdot 2{,}6658}{2{,}6658 - 1} = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}10663}{1{,}6658}$

$T = 3\,000\,000 \cdot 0{,}06401 \approx 192\,040 \text{ kr}$

Total innbetaling: $192\,040 \cdot 25 = 4\,801\,000$ kr
Total rente: $4\,801\,000 - 3\,000\,000 = 1\,801\,000$ kr

Restgjeld etter m terminer

m

✏️Sammenligning av serielån og annuitetslån

Et lån på 500\,000 kr skal tilbakebetales over 5 år med årlig rente $6\%$ . Sammenlign total rentekostnad for annuitetslån og serielån.

Annuitetslån:

\displaystyle T = 500\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}06^5}{1{,}06^5 - 1} = 500\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}3382}{0{,}3382} = 500\,000 \cdot 0{,}23740 = 118\,698

Total: $118\,698 \cdot 5 = 593\,490$ kr. Rente: $93\,490$ kr.

Serielån:
Avdrag per år: $\displaystyle \frac{500\,000}{5} = 100\,000$ kr.

År	Restgjeld	Rente	Avdrag	Termin
1	500 000	30 000	100 000	130 000
2	400 000	24 000	100 000	124 000
3	300 000	18 000	100 000	118 000
4	200 000	12 000	100 000	112 000
5	100 000	6 000	100 000	106 000

Total rente serielån:

30\,000 + 24\,000 + 18\,000 + 12\,000 + 6\,000 = 90\,000

kr.
Serielånet gir $3\,490$ kr lavere total rentekostnad.

Tips for eksamen

Oppgaver om lån og sparing er svært vanlige på S2-eksamen. Noen viktige punkter:

1. Vær nøye med terminlengde: Sjekk om renten er årlig og terminene er månedlige (da må du dele renten på 12)
2. Skille mellom spareformel og låneformel: Sparing gir sluttkapital, lån gir terminbeløp
3. Nåverdi: Bruk nåverdi for å sammenligne betalinger på ulike tidspunkter
4. Vis utledningen: Sensor gir poeng for å vise hvordan formlene fremkommer fra geometriske rekker

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Du setter inn 2000 kr per måned i 5 år. Månedlig rente er $0{,}4\%$ . Finn sluttkapitalen.

Hvor mye av sluttkapitalen er opptjente renter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Et lån på 200\,000 kr har årlig rente $5\%$ og løpetid 10 år med årlige terminer. Finn det årlige terminbeløpet.

Finn total rentekostnad over hele lånets løpetid.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nåverdien av 100\,000 kr som mottas om 8 år, gitt $6\%$ årlig rente.

Hva betyr svaret i a) praktisk?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Et serielån på 300\,000 kr betales tilbake over 6 år med årlig rente $4\%$ . Beregn terminbeløpet for det første og siste året.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Du ønsker å ha 1\,000\,000 kr om 15 år. Hvor mye må du spare per måned dersom månedlig rente er $0{,}35\%$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Et annuitetslån på 1\,500\,000 kr har årlig rente $3{,}5\%$ og løpetid 20 år. Finn terminbeløpet.

Finn restgjelden etter 10 år.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Utled spareformelen $\displaystyle K_n = b \cdot \frac{v^n - 1}{v - 1}$ fra en geometrisk rekke.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn nåverdien av 20 årlige utbetalinger på 80\,000 kr, gitt $4\%$ årlig rente.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Et lån på 400\,000 kr med $5\%$ årlig rente skal tilbakebetales over 4 år. Beregn total rentekostnad for henholdsvis annuitetslån og serielån.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Et boliglån på 4\,000\,000 kr har månedlige terminer og nominell rente $3{,}6\%$ . Løpetiden er 30 år. Finn det månedlige terminbeløpet.

Hvor mye betaler du totalt i renter over hele lånets løpetid?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En pensjonist ønsker å ta ut 15\,000 kr per måned i 20 år fra en sparekonto med $0{,}3\%$ månedlig rente. Hvor mye må stå på kontoen ved pensjonsstart?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Et annuitetslån på 600\,000 kr med $4\%$ årlig rente og 15 års løpetid har vært betjent i 8 år. Låntakeren ønsker å øke terminbeløpet for å nedbetale resten av lånet på 5 år (i stedet for 7). Finn det nye terminbeløpet.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Vis at terminbeløpet for et serielån med $n$ terminer danner en aritmetisk følge, og finn differansen.

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

To investeringer tilbys: A) 50\,000 kr nå, eller B) 10\,000 kr per år i 6 år (første betaling om ett år). Hvilken er best ved $5\%$ rente?

Oppsummering

Spareformel (faste innskudd):
$K_n = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

Annuitetsformel (fast terminbeløp):
$T = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$

Nåverdi av betalingsrekke:
$\text{NV} = T \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$

Serielån: Konstant avdrag $\displaystyle A = \frac{L}{n}$ , avtagende terminbeløp.

Husk:
- Sjekk om renten er per termin eller per år
- Bruk nåverdi for å sammenligne betalingsalternativer
- Vis utledning fra geometriske rekker på eksamen

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.