7.3 Uendelige rekker og konvergens | Matematikk S2

Konvergens og divergens av uendelige rekker.

55 min

19 oppgaver

Uendelig rekkeKonvergensDivergensKonvergenskriterierGeometrisk sum

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Geometriske rekker

Brukes videre i

7.4Potensrekker og Taylor-rekker 7.5Rekker i praksis

Kan en uendelig sum bli endelig?

Et av de mest fascinerende resultatene i matematikken er at vi kan legge sammen uendelig mange tall og likevel få et endelig svar. Tenk deg at du går halvparten av veien til en vegg, deretter halvparten av den gjenstående avstanden, og så videre. Du legger altså sammen $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ Intuitivt nærmer du deg veggen, og summen nærmer seg $1$ .

I dette kapittelet skal vi formalisere denne ideen og finne ut nøyaktig når en uendelig geometrisk rekke har en endelig sum.

Konvergens og divergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

📜Sum av uendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke med første ledd

a_1

og kvotient

k

konvergerer dersom

|k| < 1

, og summen er:

$S = \frac{a_1}{1 - k} \quad \text{når } |k| < 1$

Dersom $|k| \geq 1$ , divergerer rekken.

Bevis: Vi starter med $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = \frac{a_1}{1-k}(1 - k^n)$ .

Når $|k| < 1$ , har vi $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ , slik at:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-k}(1 - 0) = \frac{a_1}{1-k}$

✏️Sum av uendelig geometrisk rekke

Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ konvergerer, og finn i så fall summen.

Vi identifiserer

a_1 = 6

(leddet for

n=0

) og

\displaystyle k = \frac{1}{3}

Siden $\displaystyle |k| = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer rekken.

$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Kontroll med delsummer:
- $S_1 = 6$
- $S_2 = 6 + 2 = 8$
- $\displaystyle S_3 = 8 + \frac{2}{3} = 8{,}\overline{6}$
- $\displaystyle S_4 = 8{,}\overline{6} + \frac{2}{9} \approx 8{,}89$

Delsummene nærmer seg $9$ . ✓

📊Utforsk: Delsummer som nærmer seg summen av rekken

Punktene viser delsummene $S_n$ av den geometriske rekken med $a_1 = 2$ og $k = 0{,}5$ . Delsummene nærmer seg grensen $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k} = 4$ (stiplet linje), men når den aldri.

Nødvendig betingelse for konvergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

Periodiske desimaltall som rekker

Et spennende bruksområde for uendelige geometriske rekker er å vise at periodiske desimaltall er rasjonale tall (brøker).

For eksempel kan vi skrive $0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$ som:

$0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Dette bekrefter at $\displaystyle 0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ .

✏️Periodisk desimaltall som brøk

Skriv $0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots$ som en brøk.

Vi skriver desimaltallet som en uendelig geometrisk rekke:

$0{,}272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \frac{27}{1\,000\,000} + \cdots$

Her er $\displaystyle a_1 = \frac{27}{100}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{100}$ .

$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Altså er $\displaystyle 0{,}\overline{27} = \frac{3}{11}$ .

Geometrisk rekke med startindeks 0

n = 0

✏️Praktisk anvendelse: sprettball

En ball slippes fra 10 meters høyde. Hver gang den treffer bakken, spretter den tilbake til $60\%$ av forrige høyde. Finn den totale distansen ballen tilbakelegger.

Nedover: Ballen faller 10 m, deretter

10 \cdot 0{,}6 = 6

m, deretter

6 \cdot 0{,}6 = 3{,}6

m, osv.

Oppover: Ballen spretter opp $6$ m, deretter $3{,}6$ m, osv.

Total distanse nedover: $\displaystyle 10 + 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{10}{1 - 0{,}6} = \frac{10}{0{,}4} = 25$ m

Total distanse oppover: $\displaystyle 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = \frac{6}{0{,}4} = 15$ m

Total distanse: $25 + 15 = 40$ m.

Alternativt: Total $= 10 + 2(6 + 3{,}6 + \cdots) = 10 + 2 \cdot 15 = 40$ m.

Konvergensbetingelsen i praksis

Betingelsen $|k| < 1$ betyr at hvert ledd er mindre enn det foregående i absoluttverdi. Leddene blir stadig mindre og bidrar mindre og mindre til summen.

For $|k| \geq 1$ vokser leddene (eller forblir like store), og summen vokser uten grense:
- $k = 1$ : $a + a + a + \cdots \to \infty$
- $k = -1$ : $a - a + a - a + \cdots$ oscillerer (alternerer uten å nærme seg en verdi)
- $|k| > 1$ : leddene vokser i absoluttverdi, rekken divergerer

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ konvergerer. Finn i så fall summen.

Avgjør om rekken $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 1{,}5^n$ konvergerer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn summen av $\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots$

Finn summen av $\displaystyle 12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \cdots$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv $0{,}\overline{5} = 0{,}555\ldots$ som en brøk.

Skriv $0{,}\overline{12} = 0{,}121212\ldots$ som en brøk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn summen av $\sum_{n=1}^{\infty} 10 \cdot 0{,}2^n$ .

Finn summen av $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{4^n}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1 = 12$ og sum $S = 18$ . Finn $k$ .

Finn $a_2$ og $a_3$ for rekken i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

For hvilke verdier av $x$ konvergerer rekken $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ?

For hvilke verdier av $x$ konvergerer rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-1}{3}\right)^n$ ?

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En ball slippes fra 5 meters høyde og spretter tilbake til $70\%$ av forrige høyde hver gang. Finn den totale distansen ballen tilbakelegger.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Vis at $0{,}\overline{9} = 0{,}999\ldots = 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

I en uendelig geometrisk rekke er summen dobbelt så stor som det første leddet. Finn $k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $20$ , og summen av de tre første leddene er $19$ . Finn $a_1$ og $k$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En pendel svinger $40$ cm i første sving, og hver sving er $95\%$ av den forrige. Finn den totale distansen pendelen tilbakelegger.

Hvor mange hele svingninger gjennomfører pendelen før den totale distansen overstiger 700 cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Vis at $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ . (Hint: skriv $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .)

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Et medisinpreparat har en halveringstid på 6 timer. En pasient tar $200$ mg hver 6. time. Finn den totale mengden medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen.

Hva er den stabile mengden medisin i kroppen på lang sikt (rett etter en dose)?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Konvergens: En uendelig rekke konvergerer dersom delsummene nærmer seg en bestemt verdi.

Sum av uendelig geometrisk rekke:
$S = \frac{a_1}{1-k} \quad \text{for } |k| < 1$

Konvergensbetingelse: $|k| < 1$ (leddene må avta mot null).

Nyttige resultater:
- Nødvendig betingelse for konvergens: $a_n \to 0$
- Periodiske desimaltall kan skrives som brøker ved hjelp av geometriske rekker
- Praktiske anvendelser: sprettball, medisin, pendel, økonomi

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.