7.3 Uendelige geometriske rekker | Matematikk S2

Lær om konvergens og divergens av følger og rekker, sum av uendelig geometrisk rekke, og praktiske anvendelser.

55 min

22 oppgaver

Konvergens og divergensSum av uendelig geometrisk rekkeKonvergens av følgerGrenseverdier av brøkfølgerPeriodiske desimaltall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.2Geometriske følger og rekker

Brukes videre i

7.4Annuitetslån og sparing 7.5Rekursive sammenhenger

Kan en uendelig sum bli endelig?

Et av de mest fascinerende resultatene i matematikken er at vi kan legge sammen uendelig mange tall og likevel få et endelig svar. Tenk deg at du går halvparten av veien til en vegg, deretter halvparten av den gjenstående avstanden, og så videre. Du legger altså sammen $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ Intuitivt nærmer du deg veggen, og summen nærmer seg $1$ .

I dette kapittelet skal vi formalisere denne ideen og finne ut nøyaktig når en uendelig geometrisk rekke har en endelig sum.

Konvergens og divergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

📜Sum av uendelig geometrisk rekke

En uendelig geometrisk rekke med første ledd

a_1

og kvotient

k

konvergerer dersom

|k| < 1

, og summen er:

$S = \frac{a_1}{1 - k} \quad \text{når } |k| < 1$

Dersom $|k| \geq 1$ , divergerer rekken.

Bevis: Vi starter med $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = \frac{a_1}{1-k}(1 - k^n)$ .

Når $|k| < 1$ , har vi $k^n \to 0$ når $n \to \infty$ , slik at:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-k}(1 - 0) = \frac{a_1}{1-k}$

✏️Sum av uendelig geometrisk rekke

Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ konvergerer, og finn i så fall summen.

Vi identifiserer

a_1 = 6

(leddet for

n=0

) og

\displaystyle k = \frac{1}{3}

Siden $\displaystyle |k| = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer rekken.

$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$

Kontroll med delsummer:
- $S_1 = 6$
- $S_2 = 6 + 2 = 8$
- $\displaystyle S_3 = 8 + \frac{2}{3} = 8{,}\overline{6}$
- $\displaystyle S_4 = 8{,}\overline{6} + \frac{2}{9} \approx 8{,}89$

Delsummene nærmer seg $9$ .

Svar: Rekken konvergerer, og summen er $9$ .

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Delsummer som nærmer seg summen av rekken

Punktene viser delsummene

S_n

av den geometriske rekken med

a_1 = 2

k = 0{,}5

. Delsummene nærmer seg grensen

\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k} = 4

(stiplet linje), men når den aldri.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = Sequence((n, 4 (1 - 0.5^n)), n, 1, 15)
g: y = 4
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Nødvendig betingelse for konvergens

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

📜Konvergens og divergens av følger

En følge

\{a_n\}

konvergerer mot

L

dersom leddene nærmer seg

L

vilkårlig nært når

n

vokser uten grense. Vi skriver:

\lim_{n \to \infty} a_n = L

En følge som ikke konvergerer, sier vi divergerer.

Aritmetiske følger:
- Konvergerer bare dersom $d = 0$ (konstant følge).
- Divergerer for alle $d \neq 0$ .

Geometriske følger:
- Konvergerer mot $0$ dersom $|k| < 1$ :
$\lim_{n \to \infty} a_1 \cdot k^{n-1} = 0 \quad \text{når } |k| < 1$
- Divergerer dersom $|k| > 1$ .
- Er konstant dersom $k = 1$ .
- Alternerer mellom $a_1$ og $-a_1$ uten å konvergere dersom $k = -1$ .

Teknisk resultat for brøkfølger: For å finne grenseverdien av et rasjonalt uttrykk i $n$ , deler vi teller og nevner på den høyeste potensen av $n$ som opptrer.

For å finne

\lim_{n \to \infty} a_n

der

a_n

er et rasjonalt uttrykk i

n

: del teller og nevner på den høyeste potensen av

n

som opptrer.

Eksempel: Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n^2 + 3n}{2n^2 - 7}$ .

Del på $n^2$ :
$\frac{4n^2 + 3n}{2n^2 - 7} = \frac{4 + \frac{3}{n}}{2 - \frac{7}{n^2}} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{4 + 0}{2 - 0} = 2$

Tommelfingerregel: Grenseverdien bestemmes av leddene med høyest grad i teller og nevner. Dersom graden til telleren er høyere enn nevnerens, divergerer følgen.

Periodiske desimaltall som rekker

Et spennende bruksområde for uendelige geometriske rekker er å vise at periodiske desimaltall er rasjonale tall (brøker).

For eksempel kan vi skrive $0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots$ som:

$0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Dette bekrefter at $\displaystyle 0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ .

✏️Periodisk desimaltall som brøk

Skriv $0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots$ som en brøk.

Vi skriver desimaltallet som en uendelig geometrisk rekke:

$0{,}272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \frac{27}{1\,000\,000} + \cdots$

Her er $\displaystyle a_1 = \frac{27}{100}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{100}$ .

$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Svar: $\displaystyle 0{,}\overline{27} = \frac{3}{11}$

Geometrisk rekke med startindeks 0

n = 0

✏️Praktisk anvendelse: sprettball

En ball slippes fra 10 meters høyde. Hver gang den treffer bakken, spretter den tilbake til $60\%$ av forrige høyde. Finn den totale distansen ballen tilbakelegger.

Nedover: Ballen faller 10 m, deretter

10 \cdot 0{,}6 = 6

m, deretter

6 \cdot 0{,}6 = 3{,}6

m, osv.

Oppover: Ballen spretter opp $6$ m, deretter $3{,}6$ m, osv.

Total distanse nedover: $\displaystyle 10 + 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{10}{1 - 0{,}6} = \frac{10}{0{,}4} = 25$ m

Total distanse oppover: $\displaystyle 6 + 3{,}6 + \cdots = \frac{6}{1 - 0{,}6} = \frac{6}{0{,}4} = 15$ m

Total distanse: $25 + 15 = 40$ m.

Alternativt: Total $= 10 + 2(6 + 3{,}6 + \cdots) = 10 + 2 \cdot 15 = 40$ m.

Svar: Ballen tilbakelegger til sammen 40 m.

Konvergensbetingelsen i praksis

Betingelsen $|k| < 1$ betyr at hvert ledd er mindre enn det foregående i absoluttverdi. Leddene blir stadig mindre og bidrar mindre og mindre til summen.

For $|k| \geq 1$ vokser leddene (eller forblir like store), og summen vokser uten grense:
- $k = 1$ : $a + a + a + \cdots \to \infty$
- $k = -1$ : $a - a + a - a + \cdots$ oscillerer (alternerer uten å nærme seg en verdi)
- $|k| > 1$ : leddene vokser i absoluttverdi, rekken divergerer

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Avgjør om rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ konvergerer. Finn i så fall summen.

Avgjør om rekken $\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 1{,}5^n$ konvergerer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn summen av $\displaystyle 8 + 4 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots$

Finn summen av $\displaystyle 12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \cdots$

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv $0{,}\overline{5} = 0{,}555\ldots$ som en brøk.

Skriv $0{,}\overline{12} = 0{,}121212\ldots$ som en brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn summen av $\sum_{n=1}^{\infty} 10 \cdot 0{,}2^n$ .

Finn summen av $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{4^n}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

En uendelig geometrisk rekke har $a_1 = 12$ og sum $S = 18$ . Finn $k$ .

Finn $a_2$ og $a_3$ for rekken i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

For hvilke verdier av $x$ konvergerer rekken $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ?

For hvilke verdier av $x$ konvergerer rekken $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x-1}{3}\right)^n$ ?

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En ball slippes fra 5 meters høyde og spretter tilbake til $70\%$ av forrige høyde hver gang. Finn den totale distansen ballen tilbakelegger.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Vis at $0{,}\overline{9} = 0{,}999\ldots = 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

I en uendelig geometrisk rekke er summen dobbelt så stor som det første leddet. Finn $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $20$ , og summen av de tre første leddene er $19$ . Finn $a_1$ og $k$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En pendel svinger $40$ cm i første sving, og hver sving er $95\%$ av den forrige. Finn den totale distansen pendelen tilbakelegger.

Hvor mange hele svingninger gjennomfører pendelen før den totale distansen overstiger 700 cm?

Løs oppgaven

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Vis at $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ . (Hint: skriv $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .)

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Et medisinpreparat har en halveringstid på 6 timer. En pasient tar $200$ mg hver 6. time. Finn den totale mengden medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen.

Hva er den stabile mengden medisin i kroppen på lang sikt (rett etter en dose)?

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Konvergens og grenseverdier

Avgjør om de følgende følgene konvergerer eller divergerer. Finn eventuell grenseverdi.

(i) $a_n = \dfrac{5n - 3}{2n + 1}$

(ii) $a_n = 4 \cdot (-0{,}8)^n$

(iii) $a_n = \dfrac{3n^2 + n}{n + 1}$

En rekursiv følge er gitt ved $a_1 = 8$ , $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{2}$ . Beregn de seks første leddene og finn grenseverdien analytisk ved å sette $\displaystyle L = \frac{L+4}{2}$ .

Vis at dersom $b_n = a_n - 4$ (der $\{a_n\}$ er følgen fra b), så er $\{b_n\}$ geometrisk med $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ . Bruk dette til å bevise at $a_n \to 4$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Anvendt problemløsning

En bank tilbyr 4 % nominell rente per år. Du setter inn 25 000 kr. Sett opp en eksplisitt formel for beløpet $a_n$ etter $n$ år, og finn beløpet etter 15 år.

Et selskap betaler ut 10 000 kr i dividende hvert år. Du diskonterer fremtidige utbetalinger med en rente på 8 % per år. Hva er nåverdien av alle fremtidige utbetalinger? (Hint: uendelig geometrisk rekke med $\displaystyle a_1 = \frac{10\,000}{1{,}08}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{1{,}08}$ .)

En ball slippes fra 5 meters høyde. For hvert hopp returnerer ballen til $\displaystyle \frac{3}{5}$ av forrige høyde. Finn den totale distansen ballen tilbakelegger (opp og ned) over uendelig mange hopp.

Løs oppgaven

Oppsummering

Konvergens: En uendelig rekke konvergerer dersom delsummene nærmer seg en bestemt verdi.

Sum av uendelig geometrisk rekke:
$S = \frac{a_1}{1-k} \quad \text{for } |k| < 1$

Konvergensbetingelse: $|k| < 1$ (leddene må avta mot null).

Nyttige resultater:
- Nødvendig betingelse for konvergens: $a_n \to 0$
- En følge konvergerer når leddene nærmer seg en grenseverdi; for brøkuttrykk i $n$ deler vi teller og nevner på høyeste potens av $n$
- Periodiske desimaltall kan skrives som brøker ved hjelp av geometriske rekker
- Praktiske anvendelser: sprettball, medisin, pendel, økonomi

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.