7.5 Rekursive sammenhenger | Matematikk S2

Lær om rekursive formler, sammenhengen mellom rekursive og eksplisitte uttrykk, og berømte følger som Fibonacci.

50 min

19 oppgaver

Rekursiv formelFibonacci-følgenLineære rekursive sammenhenger av første ordenStabil og ustabil likevekt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Uendelige geometriske rekker

Brukes videre i

9.2Figurtall og rekursive sammenhenger 9.3Programmering med følger og rekker

Å definere følger steg for steg

Til nå har vi i hovedsak brukt eksplisitte formler for å beskrive følger: en formel som gir $a_n$ direkte som funksjon av $n$ . Men noen ganger er det mer naturlig å beskrive en følge ved å fortelle hvordan hvert ledd beregnes fra de(t) foregående. En slik beskrivelse kalles en rekursiv formel.

I en rekursiv definisjon trenger vi:
1. En startverdi (eller flere): $a_1 = \ldots$
2. En rekursiv sammenheng: $a_{n+1} = f(a_n)$

Rekursive modeller brukes mye i biologi, økonomi og informatikk.

Rekursiv formel

a_1

Sammenhengen mellom rekursiv og eksplisitt form

For aritmetiske og geometriske følger kan vi alltid finne en eksplisitt formel:

Følgetype	Rekursiv form	Eksplisitt form
Aritmetisk	$a_{n+1} = a_n + d$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
Geometrisk	$a_{n+1} = k \cdot a_n$	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

For mer kompliserte rekursive sammenhenger er det ikke alltid mulig å finne en eksplisitt formel. Da må vi beregne leddene steg for steg.

✏️Fra rekursiv til eksplisitt formel

En følge er definert ved $a_1 = 7$ og $a_{n+1} = a_n + 4$ . Finn en eksplisitt formel for $a_n$ og beregn $a_{50}$ .

Vi gjenkjenner dette som en aritmetisk følge med

a_1 = 7

d = 4

Eksplisitt formel:
$a_n = 7 + (n-1) \cdot 4 = 4n + 3$

Kontroll: $a_1 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$ , $a_2 = 4 \cdot 2 + 3 = 11 = 7 + 4$

Beregning:
$a_{50} = 4 \cdot 50 + 3 = 203$

Svar: $a_n = 4n + 3$ og $a_{50} = 203$

Fibonacci-følgen

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

📜Lineære rekursive sammenhenger av første orden

En lineær rekursiv sammenheng av første orden har formen:

$a_{n+1} = p \cdot a_n + q$

der $p$ og $q$ er konstanter.

- Dersom $q = 0$ : geometrisk følge med $k = p$
- Dersom $p = 1$ : aritmetisk følge med $d = q$
- Generelt ( $p \neq 1$ ): følgen har et likevektspunkt $\displaystyle a^* = \frac{q}{1 - p}$ , og den eksplisitte formelen er:

$a_n = (a_1 - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$

Følgen konvergerer mot $a^*$ dersom $|p| < 1$ .

✏️Rekursiv modell: medisinering

En pasient tar 100 mg av et medikament daglig. Kroppen bryter ned $40\%$ av medikamentet i løpet av et døgn. La $a_n$ være mengden medisin i kroppen rett etter den $n$ -te dosen. Sett opp en rekursiv formel og finn den stabile mengden.

Rekursiv formel:
Etter en dag er

60\%

av forrige mengde igjen, pluss ny dose:

a_1 = 100, \quad a_{n+1} = 0{,}6 \cdot a_n + 100

Beregn de første leddene:
- $a_1 = 100$
- $a_2 = 0{,}6 \cdot 100 + 100 = 160$
- $a_3 = 0{,}6 \cdot 160 + 100 = 196$
- $a_4 = 0{,}6 \cdot 196 + 100 = 217{,}6$

Likevektspunkt (stabil mengde):
$a^* = \frac{q}{1 - p} = \frac{100}{1 - 0{,}6} = \frac{100}{0{,}4} = 250 \text{ mg}$

Siden $|p| = 0{,}6 < 1$ , konvergerer mengden mot 250 mg.

Eksplisitt formel:
$\begin{aligned} a_n &= (100 - 250) \cdot 0{,}6^{n-1} + 250 \\ &= 250 - 150 \cdot 0{,}6^{n-1} \end{aligned}$

Svar: $a_1 = 100$ , $a_{n+1} = 0{,}6 \cdot a_n + 100$ . Den stabile mengden er 250 mg.

Rekursive modeller i praksis

Rekursive modeller er kraftige verktøy for å beskrive systemer som utvikler seg over tid:

- Befolkningsmodeller: logistisk vekst $\displaystyle P_{n+1} = P_n + r \cdot P_n \left(1 - \frac{P_n}{K}\right)$ , der $K$ er bæreevnen
- Medisinering: Daglig dose med nedbrytning
- Økonomi: Lån med renter og avdrag: $R_{n+1} = R_n \cdot (1+r) - T$
- Rekursive algoritmer: Mange algoritmer i informatikk er naturlig rekursive

En fordel med rekursive modeller er at de er lette å implementere i regneark eller programmering. Du trenger bare å kjenne startverdien og regelen for å beregne neste ledd.

✏️Logistisk vekst rekursivt og med program

En fiskebestand i et vann har bæreevne

K = 1000

fisk. Bestanden modelleres med

$P_{n+1} = P_n + 0{,}5 \cdot P_n \left(1 - \frac{P_n}{1000}\right), \qquad P_1 = 100$

der $P_n$ er antall fisk i år $n$ .

a) Regn ut $P_2$ og $P_3$ .

b) Finn likevektene til modellen.

c) Lag et program som regner ut $P_n$ for $n \le 15$ , og beskriv utviklingen.

$\displaystyle P_2 = 100 + 0{,}5 \cdot 100 \cdot \left(1 - \frac{100}{1000}\right) = 100 + 45 = 145$

$\displaystyle P_3 = 145 + 0{,}5 \cdot 145 \cdot \left(1 - \frac{145}{1000}\right) \approx 145 + 62{,}0 = 207{,}0$

Svar: $P_2 = 145$ og $P_3 \approx 207$

Likevekt: $\displaystyle P = P + 0{,}5 \cdot P \left(1 - \frac{P}{1000}\right)$

$\displaystyle 0{,}5 \cdot P \left(1 - \frac{P}{1000}\right) = 0$

$P = 0 \quad \vee \quad P = 1000$

Svar: Likevektene er $P = 0$ og $P = K = 1000$ .

K = 1000  # bæreevne
# vekstrate ved liten bestand
r = 0.5
P = 100  # P_1
print(f"P_1 = {P:.1f}")
for n in range(2, 16):
    P = P + r * P * (1 - P / K)
    print(f"P_{n} = {P:.1f}")

Utskrift (utvalg):

$n$	$P_n$
1	100,0
2	145,0
3	207,0
4	289,1
5	391,8
6	511,0
8	751,7
10	910,5
12	974,4
15	996,7

Veksten er størst rundt

P_n \approx 500

(halve bæreevnen) og avtar når bestanden nærmer seg 1000.
Svar: Bestanden vokser først raskt og flater så ut mot bæreevnen

K = 1000

. Etter 15 år er det ca. 997 fisk.

✏️Rekursiv modell: befolkningsvekst

En dyrepopulasjon vokser med $10\%$ per år, men det høstes 50 individer hvert år. Ved start er det 400 dyr. Sett opp en rekursiv modell og finn likevektspunktet.

Rekursiv formel:

a_1 = 400, \quad a_{n+1} = 1{,}1 \cdot a_n - 50

Her er $p = 1{,}1$ og $q = -50$ .

Likevektspunkt:
$a^* = \frac{-50}{1 - 1{,}1} = \frac{-50}{-0{,}1} = 500$

Analyse: Siden $|p| = 1{,}1 > 1$ , er likevektspunktet ustabilt:
- Dersom $a_n > 500$ : populasjonen vokser uten grense
- Dersom $a_n < 500$ : populasjonen avtar mot null

Sjekk med startverdien $a_1 = 400 < 500$ :
- $a_2 = 1{,}1 \cdot 400 - 50 = 390$
- $a_3 = 1{,}1 \cdot 390 - 50 = 379$

Populasjonen avtar.

Svar: $a_1 = 400$ , $a_{n+1} = 1{,}1 \cdot a_n - 50$ . Likevektspunktet er 500 dyr, og det er ustabilt: med færre enn 500 dyr dør bestanden ut.

Stabil og ustabil likevekt

a_{n+1} = p \cdot a_n + q

Binets formel (teoremet under og oppgave 11) og bevis ved induksjon (oppgave 8 b) hører ikke til læreplanen i matematikk S2 (MAT04-02). Det er fordypningsstoff; induksjon hører hjemme i R2. Du trenger det ikke til S2-eksamen.

📜Binets formel for Fibonacci-tall (fordypning)

Det

n

-te Fibonacci-tallet kan uttrykkes eksplisitt:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$

der $\displaystyle \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ (det gylne snitt) og $\displaystyle \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0{,}618$ .

Siden $|\psi| < 1$ , er $\psi^n \to 0$ , slik at $\displaystyle F_n \approx \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}$ for store $n$ .

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn de fem første leddene i følgen gitt ved $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ .

Er følgen i a) aritmetisk eller geometrisk?

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Skriv opp en rekursiv formel for den aritmetiske følgen $10, 16, 22, 28, \ldots$

Skriv opp en rekursiv formel for den geometriske følgen $3, 12, 48, 192, \ldots$

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn de ti første Fibonacci-tallene.

Beregn forholdet $\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}$ for $n = 5, 6, 7, 8, 9$ og observer at det nærmer seg det gylne snitt.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En følge er gitt ved $a_1 = 5$ , $a_{n+1} = 0{,}5 \cdot a_n + 3$ . Beregn $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ og $a_5$ .

Finn likevektspunktet og forklar hva som skjer med følgen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn en eksplisitt formel for følgen $a_1 = 10$ , $a_{n+1} = 0{,}8 \cdot a_n + 4$ .

Beregn $\lim_{n \to \infty} a_n$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Et vannbasseng inneholder 1000 liter. Hver dag fjernes $20\%$ av vannet og det tilsettes 150 liter ferskt vann. Sett opp en rekursiv modell.

Finn den stabile vannmengden i bassenget.

Finn en eksplisitt formel for $a_n$ og beregn $a_{10}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En følge er gitt ved $a_1 = 200$ , $a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n - 20$ . Finn likevektspunktet.

Er likevekten stabil? Begrunn svaret.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Vis at summen av to påfølgende Fibonacci-tall $F_n + F_{n+1}$ gir det neste Fibonacci-tallet $F_{n+2}$ .

(Fordypning) Vis at $F_1 + F_2 + F_3 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Restgjelden på et annuitetslån kan beskrives rekursivt: $R_0 = L$ , $R_{n+1} = R_n \cdot (1+r) - T$ . Vis at dette er en lineær rekursjon av formen $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$ og finn likevektspunktet.

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

En fiskepopulasjon modelleres med $P_1 = 500$ , $P_{n+1} = 1{,}15 \cdot P_n - 80$ . Finn likevektspunktet og avgjør om det er stabilt.

Hvor mange fisk må høstes årlig (i stedet for 80) for at en startpopulasjon på 500 fisk skal være i likevekt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

(Fordypning) Bruk Binets formel til å beregne $F_{10}$ og sjekk svaret mot den rekursive beregningen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En epidemimodell er gitt ved $S_{n+1} = S_n - 0{,}001 \cdot S_n \cdot I_n$ og $I_{n+1} = I_n + 0{,}001 \cdot S_n \cdot I_n - 0{,}1 \cdot I_n$ , der $S_n$ er antall mottakelige og $I_n$ er antall smittede. Med $S_1 = 990$ og $I_1 = 10$ , beregn $S_2$ , $I_2$ , $S_3$ og $I_3$ .

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

La $a_1 = c$ og $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$ . Vis at den eksplisitte formelen er $a_n = (c - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$ der $\displaystyle a^* = \frac{q}{1-p}$ for $p \neq 1$ .

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Tårnene i Hanoi: med $n$ skiver, er minimum antall trekk gitt ved $T_1 = 1$ , $T_{n+1} = 2T_n + 1$ . Finn de fem første leddene.

Finn en eksplisitt formel for $T_n$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Rekursiv formel: Definerer $a_{n+1}$ ut fra $a_n$ (og eventuelt $a_{n-1}$ , ...).

Lineær rekursjon: $a_{n+1} = p \cdot a_n + q$
- Likevektspunkt: $\displaystyle a^* = \frac{q}{1-p}$ (for $p \neq 1$ )
- Eksplisitt: $a_n = (a_1 - a^*) \cdot p^{n-1} + a^*$
- Stabil likevekt: $|p| < 1$

Fibonacci-følgen: $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , $F_1 = F_2 = 1$
- Forholdet $F_{n+1}/F_n \to \varphi \approx 1{,}618$

Bruksområder: Medisinering, befolkningsmodeller, økonomi (lån), algoritmer. Rekursive modeller er ideelle for implementering i regneark og programmering.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.