7.2 Geometriske følger og rekker | Matematikk S2

Lær om geometriske følger, kvotienten mellom ledd, og sum av endelig geometrisk rekke.

50 min

17 oppgaver

Geometrisk følgeEksplisitt formel for geometrisk følgeSum av endelig geometrisk rekkeVekstfaktor og prosentvis endring

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Aritmetiske følger og rekker

Brukes videre i

7.3Uendelige geometriske rekker

Fra addisjon til multiplikasjon

I forrige kapittel så vi på aritmetiske følger der vi la til et fast tall for å komme til neste ledd. I en geometrisk følge multipliserer vi i stedet med et fast tall. Geometriske følger modellerer eksponentiell vekst og er helt sentrale i økonomi (renter, lån, investeringer).

Geometrisk følge

\frac{a_{n+1}}{a_n} = k \quad \text{for alle } n \geq 1, \ a_n \neq 0

Eksplisitt formel for geometrisk følge

n

✏️Finn formel og bestemte ledd

En geometrisk følge har $a_1 = 5$ og $k = 2$ . Finn $a_{10}$ og en formel for $a_n$ .

Det $n$ -te leddet:

a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

Det 10. leddet:
$a_{10} = 5 \cdot 2^{9} = 5 \cdot 512 = 2560$

Kontroll: De første leddene er $5, 10, 20, 40, 80, \ldots$ som stemmer med $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ .

Svar: $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ og $a_{10} = 2560$

Sum av geometrisk rekke

For å finne summen av en geometrisk rekke bruker vi et elegant triks. Vi multipliserer summen $S_n$ med kvotienten $k$ og trekker fra:

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^{n-1}$
$k \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^n$

Nesten alle ledd kansellerer, og vi står igjen med en enkel formel.

📜Sum av endelig geometrisk rekke

Summen av de

n

første leddene i en geometrisk følge med

k \neq 1

er:

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Bevis: La $S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$ .

Multipliser med $k$ : $kS_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^n$ .

Trekk fra: $kS_n - S_n = a_1k^n - a_1$ , altså $S_n(k-1) = a_1(k^n - 1)$ .

Dermed: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ .

✏️Beregn sum av geometrisk rekke

Finn summen $S_8$ av de 8 første leddene i følgen $3, 6, 12, 24, \ldots$

Vi identifiserer

a_1 = 3

k = 2

$S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765$

Kontroll: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$

Svar: $S_8 = 765$

Vekstfaktor og prosentvis endring

k

Geometriske rekker i økonomi

Geometriske rekker er helt sentrale i finansmatematikk:

- Sammensatt rente: Innskudd som vokser med fast rentesats
- Regelmessig sparing: Faste innskudd med renter gir en geometrisk rekke
- Avskrivning: Verdien av utstyr som synker med fast prosent

Vi skal utforske disse økonomiske anvendelsene grundig i kapittel 7.4.

✏️Praktisk anvendelse: smittespredning

I starten av et sykdomsutbrudd dobles antall nye smittetilfeller hver dag. Første dag er det 500 nye tilfeller. Finn antall nye tilfeller dag 10 og det totale antallet smittede de 10 første dagene.

Antall nye tilfeller per dag danner en geometrisk følge med

a_1 = 500

k = 2

Nye tilfeller dag 10:
$a_{10} = 500 \cdot 2^{9} = 500 \cdot 512 = 256\,000$

Totalt antall smittede (sum):
$\begin{aligned} S_{10} &= 500 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} \\ &= 500 \cdot (1024 - 1) \\ &= 500 \cdot 1023 \\ &= 511\,500 \end{aligned}$

Svar: Dag 10 kommer det $256\,000$ nye tilfeller, og totalt er $511\,500$ smittet de 10 første dagene.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Avgjør om følgen $4, 12, 36, 108, \ldots$ er geometrisk. Bestem i så fall $k$ .

Finn det 8. leddet i følgen fra oppgave a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En geometrisk følge har $a_1 = 1000$ og $k = 0{,}5$ . Finn $a_5$ .

Finn $S_5$ for følgen i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv ut de fem første leddene i følgen gitt ved $a_n = 3 \cdot 2^n$ .

Vis at følgen i a) er geometrisk og bestem $k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^9$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

I en geometrisk følge er $a_2 = 6$ og $a_5 = 162$ . Finn $a_1$ og $k$ .

Finn $S_8$ for følgen i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En maskin koster 200 000 kr og mister $20\%$ av sin verdi hvert år. Hva er verdien etter 5 år?

Etter hvor mange hele år er verdien under 50 000 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn summen $\sum_{k=0}^{7} 5 \cdot 2^k$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Et smittestoff sprer seg slik at antall smittede tredobles hver uke. I uke 1 er det 10 smittede. Hvor mange er smittet totalt etter 6 uker?

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Tre tall i en geometrisk følge har sum 21 og produkt 216. Finn tallene.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Vis at dersom $a$ , $b$ og $c$ er tre påfølgende ledd i en geometrisk følge, så er $b^2 = ac$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En investering på 50 000 kr vokser $8\%$ per år. Etter hvor mange år er investeringen verdt mer enn 100 000 kr?

Anta i stedet at du setter inn 50 000 kr ved starten av hvert år i 10 år, med 8 % rente per år. Hvor mye er sparingen verdt ved slutten av år 10?

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

I en geometrisk rekke er $S_3 = 7$ og $S_6 = 63$ . Finn $k$ og $a_1$ .

Oppsummering

Geometrisk følge: Kvotienten $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ er konstant.

Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

Sum av endelig geometrisk rekke ( $k \neq 1$ ):
$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Sammenheng med eksponentiell vekst:
- Vekst på $p\%$ : $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$
- Geometriske følger modellerer multiplikativ (eksponentiell) endring

Forskjell mellom aritmetisk og geometrisk:
- Aritmetisk: vi legger til en fast verdi $d$ (lineær vekst)
- Geometrisk: vi multipliserer med en fast verdi $k$ (eksponentiell vekst)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.