7.2 Geometriske rekker | Matematikk S2

Geometriske følger og rekker med kvotient og sumformel.

50 min

17 oppgaver

Geometrisk følgeGeometrisk rekkeKvotientSumformel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Aritmetiske rekker

Brukes videre i

7.3Uendelige rekker og konvergens

Fra addisjon til multiplikasjon

I forrige kapittel så vi på aritmetiske følger der vi la til et fast tall for å komme til neste ledd. I en geometrisk følge multipliserer vi i stedet med et fast tall. Geometriske følger modellerer eksponentiell vekst og er helt sentrale i økonomi (renter, lån, investeringer).

Geometrisk følge

\frac{a_{n+1}}{a_n} = k \quad \text{for alle } n \geq 1, \ a_n \neq 0

Eksplisitt formel for geometrisk følge

n

✏️Finn formel og bestemte ledd

En geometrisk følge har $a_1 = 5$ og $k = 2$ . Finn $a_{10}$ og en formel for $a_n$ .

Det $n$ -te leddet:

a_n = 5 \cdot 2^{n-1}

Det 10. leddet:
$a_{10} = 5 \cdot 2^{9} = 5 \cdot 512 = 2560$

Kontroll: De første leddene er $5, 10, 20, 40, 80, \ldots$ som stemmer med $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$ .

Sum av geometrisk rekke

For å finne summen av en geometrisk rekke bruker vi et elegant triks. Vi multipliserer summen $S_n$ med kvotienten $k$ og trekker fra:

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^{n-1}$
$k \cdot S_n = a_1 k + a_1 k^2 + \cdots + a_1 k^n$

Nesten alle ledd kansellerer, og vi står igjen med en enkel formel.

📜Sum av endelig geometrisk rekke

Summen av de

n

første leddene i en geometrisk følge med

k \neq 1

er:

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Bevis: La $S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$ .

Multipliser med $k$ : $kS_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^n$ .

Trekk fra: $kS_n - S_n = a_1k^n - a_1$ , altså $S_n(k-1) = a_1(k^n - 1)$ .

Dermed: $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ .

✏️Beregn sum av geometrisk rekke

Finn summen $S_8$ av de 8 første leddene i følgen $3, 6, 12, 24, \ldots$

Vi identifiserer

a_1 = 3

k = 2

$S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765$

Kontroll: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$ ✓

Vekstfaktor og prosentvis endring

k

Geometriske rekker i økonomi

Geometriske rekker er helt sentrale i finansmatematikk:

- Sammensatt rente: Innskudd som vokser med fast rentesats
- Regelmessig sparing: Faste innskudd med renter gir en geometrisk rekke
- Avskrivning: Verdien av utstyr som synker med fast prosent

Vi skal utforske disse økonomiske anvendelsene grundig i kapittel 7.4.

✏️Praktisk anvendelse: bakterievekst

En bakteriekultur dobler seg hver time. Det er 500 bakterier ved start. Finn det totale antallet bakterier som har eksistert i løpet av de første 10 timene.

Antall bakterier per time danner en geometrisk følge med

a_1 = 500

k = 2

Antall etter 10 timer:
$a_{10} = 500 \cdot 2^{9} = 500 \cdot 512 = 256\,000$

Totalt antall som har eksistert (sum):
$S_{10} = 500 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 500 \cdot (1024 - 1) = 500 \cdot 1023 = 511\,500$

Totalt har $511\,500$ bakterier eksistert i løpet av de 10 timene.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Avgjør om følgen $4, 12, 36, 108, \ldots$ er geometrisk. Bestem i så fall $k$ .

Finn det 8. leddet i følgen fra oppgave a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En geometrisk følge har $a_1 = 1000$ og $k = 0{,}5$ . Finn $a_5$ .

Finn $S_5$ for følgen i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv ut de fem første leddene i følgen gitt ved $a_n = 3 \cdot 2^n$ .

Vis at følgen i a) er geometrisk og bestem $k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn summen $1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^9$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

I en geometrisk følge er $a_2 = 6$ og $a_5 = 162$ . Finn $a_1$ og $k$ .

Finn $S_8$ for følgen i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

En maskin koster 200\,000 kr og mister $20\%$ av sin verdi hvert år. Hva er verdien etter 5 år?

Etter hvor mange hele år er verdien under 50\,000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn summen $\sum_{k=0}^{7} 5 \cdot 2^k$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Et smittestoff sprer seg slik at antall smittede tredobles hver uke. I uke 1 er det 10 smittede. Hvor mange er smittet totalt etter 6 uker?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Tre tall i en geometrisk følge har sum 21 og produkt 216. Finn tallene.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Vis at dersom $a$ , $b$ og $c$ er tre påfølgende ledd i en geometrisk følge, så er $b^2 = ac$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En investering på 50\,000 kr vokser $8\%$ per år. Etter hvor mange år er investeringen verdt mer enn 100\,000 kr?

Hva er den totale verdiskapningen (sum av verdier ved slutten av hvert år) de første 10 årene?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

I en geometrisk rekke er $S_3 = 7$ og $S_6 = 63$ . Finn $k$ og $a_1$ .

Oppsummering

Geometrisk følge: Kvotienten $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ er konstant.

Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$

Sum av endelig geometrisk rekke ( $k \neq 1$ ):
$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

Sammenheng med eksponentiell vekst:
- Vekst på $p\%$ : $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$
- Geometriske følger modellerer multiplikativ (eksponentiell) endring

Forskjell mellom aritmetisk og geometrisk:
- Aritmetisk: vi legger til en fast verdi $d$ (lineær vekst)
- Geometrisk: vi multipliserer med en fast verdi $k$ (eksponentiell vekst)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.