7.1 Aritmetiske rekker | Matematikk S2

Aritmetiske følger og rekker med sum-formler.

45 min

19 oppgaver

Aritmetisk følgeAritmetisk rekkeSumformelDifferanse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Geometriske rekker

Hva er en følge?

En følge er en ordnet liste med tall som følger et bestemt mønster. Vi skriver følgen som $a_1, a_2, a_3, \ldots$ der $a_n$ betegner det $n$ -te leddet.

I dette kapittelet skal vi studere aritmetiske følger, der differansen mellom hvert ledd og det foregående er konstant. Denne konstante differansen kaller vi $d$ . Aritmetiske følger dukker opp i mange sammenhenger, for eksempel i lineær vekst, avdrag på serielån og nummerering.

Aritmetisk følge

a_{n+1} - a_n = d \quad \text{for alle } n \geq 1

Eksplisitt formel for aritmetisk følge

n

✏️Finn formel og bestemte ledd

En aritmetisk følge har $a_1 = 4$ og $d = 3$ . Finn det 20. leddet og det $n$ -te leddet.

Vi bruker formelen

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

Det $n$ -te leddet:
$a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$

Det 20. leddet:
$a_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61$

Kontroll: De første leddene er $4, 7, 10, 13, \ldots$ som stemmer med $a_n = 3n + 1$ .

Fra følger til rekker

Når vi legger sammen leddene i en følge, får vi en rekke. Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk følge kaller vi $S_n$ :

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$

Gauss oppdaget som barn en elegant formel for denne summen. Trikset er å skrive summen to ganger - én gang forlengs og én gang baklengs - og legge dem sammen. Da blir hvert par lik $a_1 + a_n$ , og det er $n$ slike par.

📜Sum av aritmetisk rekke

Summen av de

n

første leddene i en aritmetisk følge er:

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr)$

Bevis: Skriv summen forlengs og baklengs:
$S_n = a_1 + (a_1 + d) + \cdots + a_n$
$S_n = a_n + (a_n - d) + \cdots + a_1$
Legg sammen: $2S_n = n(a_1 + a_n)$ , altså $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .

✏️Beregn sum av aritmetisk rekke

Finn summen $S_{50}$ av de 50 første leddene i følgen $3, 7, 11, 15, \ldots$

Vi identifiserer

a_1 = 3

d = 4

Finn $a_{50}$ :
$a_{50} = 3 + (50-1) \cdot 4 = 3 + 196 = 199$

Beregn summen:
$S_{50} = \frac{50}{2}(a_1 + a_{50}) = 25 \cdot (3 + 199) = 25 \cdot 202 = 5050$

Alternativ metode:
$S_{50} = \frac{50}{2}(2 \cdot 3 + 49 \cdot 4) = 25 \cdot (6 + 196) = 25 \cdot 202 = 5050$

Summetegnet (sigma-notasjon)

\Sigma

Anvendelser av aritmetiske rekker

Aritmetiske rekker dukker opp i mange praktiske sammenhenger:

- Serielån: Avdragene er like store, og terminbeløpet avtar med en fast differanse
- Lineær vekst: Antall nye kunder per måned øker med et fast antall
- Trappemønster: Antall blokker i en trappefigur med jevnt økende rader

Nøkkelen er å identifisere at differansen mellom påfølgende verdier er konstant. Da kan du bruke formlene for aritmetiske følger og rekker.

✏️Praktisk anvendelse: møtesal med rader

En møtesal har rader med stoler. Første rad har 12 stoler, og hver rad har 2 stoler mer enn raden foran. Det er 20 rader totalt. Hvor mange stoler er det i salen?

Dette er en aritmetisk rekke med

a_1 = 12

d = 2

n = 20

Antall stoler i siste rad:
$a_{20} = 12 + (20-1) \cdot 2 = 12 + 38 = 50$

Totalt antall stoler:
$S_{20} = \frac{20}{2}(12 + 50) = 10 \cdot 62 = 620$

Det er 620 stoler i salen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Avgjør om følgen $5, 9, 13, 17, 21, \ldots$ er aritmetisk. Bestem i så fall $d$ .

Finn det 30. leddet i følgen fra oppgave a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En aritmetisk følge har $a_1 = 100$ og $d = -7$ . Finn en formel for $a_n$ .

For hvilken verdi av $n$ er $a_n = 2$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn summen $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ .

Finn summen $2 + 4 + 6 + \cdots + 200$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Skriv ut de fem første leddene i følgen gitt ved $a_n = 3n - 2$ .

Vis at følgen i a) er aritmetisk og bestem $d$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

I en aritmetisk følge er $a_3 = 14$ og $a_7 = 30$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn $S_{20}$ for følgen i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Beregn $\sum_{k=1}^{40}(3k + 2)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er $S_n = 2n^2 + 3n$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn en formel for $a_n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Et amfiteater har 30 rader. Første rad har 20 seter, og hver rad har 3 seter mer enn den foregående. Finn det totale antallet seter.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Tre tall i en aritmetisk følge har sum 27 og produkt 504. Finn tallene.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Vis at summen av de $n$ første oddetallene er $n^2$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

I en aritmetisk følge er $S_{10} = 200$ og $S_{20} = 800$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Finn $S_{30}$ for følgen i a).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En bedrift planlegger å øke produksjonen lineært. I januar produseres 500 enheter, og produksjonen øker med 30 enheter per måned. Finn total produksjon for hele året.

Etter hvor mange måneder har bedriften produsert totalt 10\,000 enheter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Finn verdien av $\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ uttrykt ved $n$ .

Bruk resultatet i a) til å finne $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Løs oppgavene:

Vis at dersom $a$ , $b$ og $c$ er tre påfølgende ledd i en aritmetisk følge, så er $\displaystyle b = \frac{a+c}{2}$ .

Oppsummering

Aritmetisk følge: Differansen $d = a_{n+1} - a_n$ er konstant.

Eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Sum av aritmetisk rekke:
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

Tips for oppgaveløsning:
- Identifiser $a_1$ og $d$ fra oppgaveteksten
- Bruk den eksplisitte formelen for å finne enkeltledd
- Bruk sumformelen for å finne summen av flere ledd
- Sjekk svaret ved å beregne de første leddene manuelt

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.