6.5 Multippel regresjon

Er modellen god nok?

Høy $R^2$ betyr ikke nødvendigvis god modell. Vi må sjekke forutsetningene via residualanalyse.

Et residual: $e_i = y_i - \hat{y}_i$ — det modellen ikke fanger opp.

Residualer og residualplott

i

✏️Residualanalyse

\hat{y} = 2 + 3x

$x$	$y$	$\hat{y}$	$e$
1	4,5	5	$-0{,}5$
2	8,2	8	$0{,}2$
3	10,8	11	$-0{,}2$
4	14,5	14	$0{,}5$
5	16,8	17	$-0{,}2$

Residualene veksler uten trend, jevn spredning ( $-0{,}5$ til $0{,}5$ ), sum $\approx 0$ . Modellen er passende.

Vanlige mønstre i residualplott

1. Buet mønster: U-form — sammenhengen er ikke-lineær

2. Traktform: Spredning øker — heteroskedastisitet. Prøv log-transformasjon.

3. Gruppering: Klynger — manglende forklaringsvariabler.

Ideelt: Tilfeldig spredning rundt null.

Uteliggere og innflytelsesrike punkter

|e_i| > 2s_e

✏️Identifisere uteliggere

s_e = 3{,}2

. Residualer:

-1{,}5

;

2{,}1

;

0{,}8

;

-9{,}4

;

-0{,}3

;

1{,}7

;

-2{,}4

;

0{,}9

z_i = e_i/3{,}2

-0{,}47

;

0{,}66

;

0{,}25

;

\mathbf{-2{,}94}

;

-0{,}09

;

0{,}53

;

-0{,}75

;

0{,}28

Observasjon 4: $|z| = 2{,}94 > 2$ — uteligger. Undersøk årsak.

$R^2$ og justert $R^2$

$R^2 = 1 - \frac{SS_E}{SS_T}, \quad R^2_{adj} = 1 - \frac{SS_E/(n-k-1)}{SS_T/(n-1)}$

$R^2$ øker alltid med flere variabler. Justert $R^2$ korrigerer for dette og kan synke om en variabel ikke bidrar.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

\hat{y} = 16

for

x = 3

, observert

y = 18

. Residual?

Hva betyr positivt residual?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

SS_E = 40

SS_T = 200

. Finn

R^2

n = 30

k = 2

. Justert

R^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Residualer: $-3, -1, 1, 3, 5$ . Beregn $SS_E$ og tolk.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

s_e = 4{,}5

e = 11{,}2

. Uteligger?

Bør den fjernes?

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Forskjell uteligger vs. innflytelsesrikt punkt?

Forskjell $R^2$ vs. justert $R^2$ ?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

1 variabel: $R^2 = 0{,}82$ , adj. $R^2 = 0{,}81$ . 4 variabler: $R^2 = 0{,}84$ , adj. $R^2 = 0{,}79$ . Hvilken modell?

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

SS_T = 500

SS_E = 75

n = 25

k = 3

. Finn

R^2

og justert

R^2

4. variabel: $SS_E = 70$ . Nye verdier? Nyttig?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Residualplott viser U-form. Hva betyr det?

Oppsummering

- Residualer: $e_i = y_i - \hat{y}_i$
- Residualplott: Buet → ikke-lineær, traktform → heteroskedastisitet
- Uteligger: $|z_i| > 2$ — undersøk, ikke fjern automatisk
- Justert $R^2$ : Bruk denne ved flere variabler

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Er modellen god nok?

Vanlige mønstre i residualplott

R2R^2R2 og justert R2R^2R2

Oppsummering

$R^2$ og justert $R^2$