6.4 Residualanalyse og modellvalidering | Matematikk S2

Utover den rette linjen

Lineær regresjon fungerer når sammenhengen er tilnærmet lineær. Men mange fenomener følger andre mønstre:
- Eksponentiell vekst: Befolkningsvekst, renters rente
- Logaritmisk: Desibel, Richter-skalaen
- Polynomisk: Kastebaner, kostnadsoptimering

Polynomisk regresjon

y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k

✏️Kvadratisk regresjon

Høyde $h$ (m) ved tid $t$ (s) for en ball:

$t$	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5
$h$	1,0	4,6	6,8	7,2	5,9	3,1

Regresjon gir

h = 0{,}95 + 7{,}62t - 3{,}18t^2

R^2 = 0{,}995

. Tolk.

- $h(0) = 0{,}95$ m (starthøyde)
- Toppunkt: $t = 7{,}62/(2 \cdot 3{,}18) = 1{,}20$ s
- $R^2 = 0{,}995$ : 99,5 % forklares. Svært god tilpasning.

Eksponentiell regresjon

y = a \cdot e^{kx}

✏️Bakterievekst

$t$	0	1	2	3	4
$N$	100	150	220	340	500

Regresjon på

(t, \ln N)

\ln N = 4{,}61 + 0{,}403t

R^2 = 0{,}999

a = e^{4{,}61} \approx 100{,}5

k = 0{,}403

Modell: $N(t) = 100{,}5 \cdot e^{0{,}403t}$

Doblingstid: $\ln 2 / 0{,}403 \approx 1{,}72$ timer.

Modellvalg

Potensregresjon: $y = ax^b$ — lineariseres med $\ln y = \ln a + b\ln x$

Logaritmisk: $y = a + b\ln x$ — allerede lineær i $\ln x$

Mønster	Modell
Jevn stigning	Lineær
Krumning	Polynomisk
Rask vekst	Eksponentiell
Avtagende vekst	Logaritmisk
Log-log lineær	Potens

Bruk

R^2

og residualplott for å sammenligne.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvilken modell passer for rask vekst som avtar?

Hva betyr «linearisering» for $y = ae^{kx}$ ?

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

\ln y = 2{,}30 + 0{,}15x

. Skriv som

y = ae^{kx}

Finn doblingstiden.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Konsentrasjon: $(1;8{,}1)$ , $(2;6{,}6)$ , $(3;5{,}4)$ , $(4;4{,}4)$ , $(5;3{,}6)$ . Beregn $\ln C$ og vurder eksponentiell modell.

\ln C = 2{,}29 - 0{,}203t

. Halveringstid?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Forklar linearisering av $y = ax^b$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Kvadratisk $R^2 = 0{,}92$ vs. lineær $R^2 = 0{,}85$ . Er kvadratisk nødvendigvis bedre?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

BNP og levealder: $(50;72)$ , $(80;76)$ , $(120;79)$ , $(200;81)$ , $(350;82)$ , $(600;84)$ . Beregn $\ln x$ og vurder logaritmisk modell.

y = 53{,}1 + 4{,}88\ln x

. Levealder ved BNP

= 1000

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

- Polynomisk: $y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$
- Eksponentiell: $y = ae^{kx}$ , lineariseres med $\ln y = \ln a + kx$
- Potens: $y = ax^b$ , lineariseres med $\ln y = \ln a + b\ln x$
- Logaritmisk: $y = a + b\ln x$
- Bruk $R^2$ og residualplott for modellvalg

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver