6.3 Ikke-lineær regresjon | Matematikk S2

Tilpasse eksponentielle og potensmodeller til data.

50 min

17 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensregresjonLogaritmisk regresjonModellvalg

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Korrelasjon

Hvorfor ikke-lineær regresjon?

Mange fenomener i virkeligheten følger ikke et lineært mønster:
- Bakterievekst (eksponentiell)
- Planetbaner og skaleringslovene i biologi (potensiell)
- Avtakende avkastning i økonomi (logaritmisk)

Når residualplottet fra en lineær modell viser et systematisk buet mønster, bør vi vurdere en ikke-lineær modell.

De vanligste ikke-lineære modellene i S2:
1. Eksponentiell: $y = a \cdot b^x$
2. Potensiell: $y = a \cdot x^b$
3. Logaritmisk: $y = a + b \cdot \ln x$

Eksponentiell regresjon

y = a \cdot b^x \quad \text{der } a > 0, \; b > 0, \; b \neq 1

✏️Eksponentiell regresjon

Antall bakterier i en kultur ble målt over tid:

Tid $x$ (timer)	0	1	2	3	4
Antall $y$	100	150	220	340	500

Tilpass en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Steg 1: Lineariser ved å ta

\ln y

$x$	$y$	$\ln y$
0	100	4,605
1	150	5,011
2	220	5,394
3	340	5,829
4	500	6,215

Steg 2: Lineær regresjon på

(x, \ln y)

\bar{x} = 2

\overline{\ln y} = 5{,}411

\displaystyle a_{\text{lin}} = \frac{5 \cdot 54{,}268 - 10 \cdot 27{,}054}{5 \cdot 30 - 100} = \frac{271{,}34 - 270{,}54}{50} = \frac{0{,}80}{50} \cdot 50 \approx 0{,}403

(Mer presist beregnet:

B \approx 0{,}403

A \approx 4{,}605

)
Steg 3: Tilbake til opprinnelige parametre:

b = e^{0{,}403} \approx 1{,}497

a = e^{4{,}605} \approx 100

Modell: $y = 100 \cdot 1{,}50^x$
Tolkning: Antall bakterier starter på 100 og øker med ca. 50 % per time.

📊Utforsk: Eksponentiell regresjon

Datapunkter med omtrent fast prosentvis vekst og modellen fra RegEksp-kommandoen. Sammenlign gjerne med RegLin( $l_1$ ) og vurder hvilken modell som beskriver dataene best.

Potensiell regresjon

y = a \cdot x^b \quad \text{der } a > 0, \; x > 0

✏️Potensiell regresjon

Kroppsvekt ( $x$ , kg) og hjertefrekvens ( $y$ , slag/min) for ulike pattedyr:

Dyr	$x$	$y$
Mus	0,03	600
Kanin	2	200
Hund	20	100
Menneske	70	72
Hest	500	38

Tilpass en potensiell modell

y = a \cdot x^b

Steg 1: Beregn $\ln x$ og $\ln y$ :

$\ln x$	$\ln y$
$-3{,}507$	6,397
0,693	5,298
2,996	4,605
4,248	4,277
6,215	3,638

Steg 2: Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

:
Gir

B \approx -0{,}268

A \approx 5{,}295

Steg 3: Opprinnelige parametre:

b \approx -0{,}27

a = e^{5{,}295} \approx 200

Modell:

y \approx 200 \cdot x^{-0{,}27}

Tolkning: Hjertefrekvensen avtar med ca.

x^{-0{,}27}

. Større dyr har lavere hjertefrekvens. Denne sammenhengen kalles allometrisk skalering.

Logaritmisk regresjon

y = a + b \cdot \ln x \quad \text{der } x > 0

✏️Logaritmisk regresjon

Erfaring ( $x$ , år) og lønn ( $y$ , tusen kr/år) for en gruppe ansatte:

$x$	1	2	5	10	20
$y$	400	450	520	570	620

Tilpass en logaritmisk modell

y = a + b \cdot \ln x

Steg 1: Beregn $\ln x$ :

$\ln x$	$y$
0	400
0,693	450
1,609	520
2,303	570
2,996	620

Steg 2: Lineær regresjon på

(\ln x, y)

\overline{\ln x} = 1{,}520

\bar{y} = 512

Beregning gir

b \approx 72{,}6

a \approx 401{,}6

Modell:

y = 401{,}6 + 72{,}6 \cdot \ln x

Tolkning: Lønnen øker raskt de første årene, men veksten avtar etter hvert. Fra 1 til 2 år:

\Delta y \approx 50

tusen. Fra 10 til 20 år:

\Delta y \approx 50

tusen. Altså trengs det stadig flere år for å oppnå samme lønnsøkning.

Velge beste modell

For å avgjøre hvilken modell som passer best, bruker vi:

1. $R^2$ -sammenligning:
Beregn $R^2$ for hver modell. Modellen med høyest $R^2$ gir best tilpasning.

Viktig: Sammenlign $R^2$ for $y$ mot $\hat{y}$ (ikke for de lineariserte variablene). Alternativt kan man sammenligne $R^2$ for lineariserte modeller, men dette gir en tilnærmelse.

2. Residualplott:
Velg modellen der residualplottet viser minst systematisk mønster.

3. Faglig vurdering:
Hvilken modell gir mest mening i konteksten? For eksempel er eksponentiell vekst rimelig for bakterier, men ikke for befolkningsvekst over lang tid.

4. Prediksjon:
Hvilken modell gir rimelige prediksjoner for relevante $x$ -verdier?

✏️Modellsammenligning

For datasettet om bakterievekst, sammenlign lineær og eksponentiell modell.

Lineær modell:

\hat{y} = 98x + 72

R^2 \approx 0{,}970

Eksponentiell modell: $\hat{y} = 100 \cdot 1{,}50^x$
- $R^2 \approx 0{,}998$

Den eksponentiell modellen gir høyere $R^2$ og er også faglig begrunnet (bakterier deler seg med konstant rate).

Residualplot:
- Lineær: residualene viser et buet mønster (negativ-positiv-negativ-positiv-negativ)
- Eksponentiell: residualene er jevnt fordelt rundt null

Konklusjon: Eksponentiell modell passer klart bedre.

Oppsummering: Linearisering

Modell	Formel	Linearisering	Plot
Eksponentiell	$y = a \cdot b^x$	$\ln y = \ln a + x\ln b$	$(x, \ln y)$
Potensiell	$y = a \cdot x^b$	$\ln y = \ln a + b\ln x$	$(\ln x, \ln y)$
Logaritmisk	$y = a + b\ln x$	$y = a + bX$ der $X = \ln x$	$(\ln x, y)$

Hvorfor linearisere? Fordi lineær regresjon (MKM) er enkel, veletablert og har gode statistiske egenskaper. Ved å transformere dataene kan vi bruke de samme verktøyene som for lineær regresjon.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvordan lineariserer man modellen $y = a \cdot b^x$ ?

Hvordan lineariserer man modellen $y = a \cdot x^b$ ?

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En eksponentiell modell gir $A = \ln a = 3{,}2$ og $B = \ln b = 0{,}15$ . Finn $a$ og $b$ .

Tolk modellen: hva betyr $b = 1{,}162$ ?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Når er en logaritmisk modell mer passende enn en lineær modell?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En populasjon vokser: $(0, 50)$ , $(5, 130)$ , $(10, 350)$ , $(15, 920)$ , $(20, 2400)$ . Vis at $\ln y$ er tilnærmet lineær i $x$ , og finn den eksponentielle modellen.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Avstand fra solen ( $x$ , AU) og omløpstid ( $y$ , jordår) for planeter: $(0{,}39, 0{,}24)$ , $(1, 1)$ , $(1{,}52, 1{,}88)$ , $(5{,}20, 11{,}86)$ , $(9{,}54, 29{,}46)$ . Tilpass en potensiell modell $y = a \cdot x^b$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Tilpass en logaritmisk modell $y = a + b\ln x$ til: $(1, 20)$ , $(3, 35)$ , $(5, 42)$ , $(10, 50)$ , $(20, 58)$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Tre modeller tilpasses til et datasett: Lineær ( $R^2 = 0{,}82$ ), eksponentiell ( $R^2 = 0{,}96$ ), logaritmisk ( $R^2 = 0{,}88$ ). Hvilken modell velger du, og hvorfor?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Verdien av en bil synker over tid: $(0, 350000)$ , $(2, 280000)$ , $(4, 225000)$ , $(6, 180000)$ , $(8, 145000)$ . Tilpass en eksponentiell modell. Hva blir bilen verdt etter 10 år?

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Forklar forskjellen mellom eksponentiell ( $y = a \cdot b^x$ ) og potensiell ( $y = a \cdot x^b$ ) vekst. Gi et eksempel der hver modell er naturlig.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor vi tar logaritmen for å linearisere, og diskuter en begrensning ved denne metoden.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

BNP per innbygger ( $x$ , i tusen USD) og forventet levealder ( $y$ , år) for 6 land: $(2, 55)$ , $(5, 65)$ , $(10, 72)$ , $(25, 77)$ , $(40, 80)$ , $(60, 82)$ . Sammenlign lineær, logaritmisk og potensiell modell. Hvilken passer best?

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Halveringstiden til et radioaktivt stoff er 5 timer. Startverdien er 800 gram. Sett opp en eksponentiell modell og finn hvor mye som er igjen etter 12 timer.

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.