6.3 Ikke-lineær regresjon | Matematikk S2

Eksponentiell, potensiell, logaritmisk og polynomisk regresjon, logistisk modell, linearisering og modellvalg.

50 min

20 oppgaver

Eksponentiell regresjonPotensregresjonLogaritmisk regresjonPolynomisk regresjonLogistisk regresjonLinearisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Korrelasjon

Hvorfor ikke-lineær regresjon?

Mange fenomener i virkeligheten følger ikke et lineært mønster:
- Bakterievekst (eksponentiell)
- Planetbaner og skaleringslovene i biologi (potensiell)
- Avtakende avkastning i økonomi (logaritmisk)

Når residualplottet fra en lineær modell viser et systematisk buet mønster, bør vi vurdere en ikke-lineær modell.

De vanligste ikke-lineære modellene i S2:
1. Eksponentiell: $y = a \cdot b^x$
2. Potensiell: $y = a \cdot x^b$
3. Logaritmisk: $y = a + b \cdot \ln x$
4. Polynomisk: $y = a + bx + cx^2$ (andregrad) eller høyere grad

Eksponentiell regresjon

y = a \cdot b^x \quad \text{der } a > 0, \; b > 0, \; b \neq 1

✏️Eksponentiell regresjon

Antall bakterier i en kultur ble målt over tid:

Tid $x$ (timer)	Antall $y$
0	100
1	150
2	220
3	340
4	500

Tilpass en eksponentiell modell

y = a \cdot b^x

Linearisering med

\ln y

$x$	$y$	$\ln y$
0	100	4,605
1	150	5,011
2	220	5,394
3	340	5,829
4	500	6,215

Lineær regresjon på

(x, \ln y)

med

n = 5

\sum x = 10

\sum x^2 = 30

\sum \ln y = 27{,}054

\sum x \ln y = 58{,}146

\displaystyle B = \frac{5 \cdot 58{,}146 - 10 \cdot 27{,}054}{5 \cdot 30 - 10^2} = \frac{290{,}73 - 270{,}54}{50} = \frac{20{,}19}{50} \approx 0{,}404

A = \overline{\ln y} - B \cdot \bar{x} = 5{,}411 - 0{,}404 \cdot 2 \approx 4{,}603

Tilbake til de opprinnelige parameterne:

b = e^{B} = e^{0{,}404} \approx 1{,}50

$a = e^{A} = e^{4{,}603} \approx 99{,}8$

Kontroll i GeoGebra: RegEksp på punktene gir $y = 99{,}8 \cdot 1{,}497^x$ .

Svar: $y \approx 99{,}8 \cdot 1{,}50^x$ . Kulturen starter på ca. 100 bakterier og vokser med ca. 50 % per time.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Eksponentiell regresjon

Datapunkter med omtrent fast prosentvis vekst og modellen fra RegEksp-kommandoen. Sammenlign gjerne med RegLin(

l_1

) og vurder hvilken modell som beskriver dataene best.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

l1 = {(0, 5), (1, 7.4), (2, 11.2), (3, 16.8), (4, 25.1)}
f = RegEksp(l1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Potensiell regresjon

y = a \cdot x^b \quad \text{der } a > 0, \; x > 0

✏️Potensiell regresjon

Kroppsvekt ( $x$ , kg) og hjertefrekvens ( $y$ , slag/min) for ulike pattedyr:

Dyr	$x$	$y$
Mus	0,03	600
Kanin	2	200
Hund	20	100
Menneske	70	72
Hest	500	38

Tilpass en potensiell modell

y = a \cdot x^b

Logaritmer av dataene:

$\ln x$	$\ln y$
$-3{,}507$	6,397
0,693	5,298
2,996	4,605
4,248	4,277
6,215	3,638

Lineær regresjon på

(\ln x, \ln y)

gir

B \approx -0{,}282

A \approx 5{,}444

Tilbake til de opprinnelige parameterne:

b = B \approx -0{,}28

a = e^{5{,}444} \approx 231

Kontroll i GeoGebra: RegPot på punktene gir

y = 231{,}4 \cdot x^{-0{,}282}

Tolkning: Når kroppsvekten dobles, blir hjertefrekvensen multiplisert med $2^{-0{,}28} \approx 0{,}82$ . Større dyr har lavere hjertefrekvens. Denne sammenhengen kalles allometrisk skalering.

Svar: $y \approx 231 \cdot x^{-0{,}28}$

Logaritmisk regresjon

y = a + b \cdot \ln x \quad \text{der } x > 0

✏️Logaritmisk regresjon

Erfaring ( $x$ , år) og lønn ( $y$ , tusen kr/år) for en gruppe ansatte:

$x$	$y$
1	400
2	450
5	520
10	570
20	620

Tilpass en logaritmisk modell

y = a + b \cdot \ln x

Regn ut $\ln x$ :

$\ln x$	$y$
0	400
0,693	450
1,609	520
2,303	570
2,996	620

Lineær regresjon på

(\ln x, y)

\overline{\ln x} \approx 1{,}520

\bar{y} = 512

b \approx 73{,}7

a = \bar{y} - b \cdot \overline{\ln x} \approx 512 - 73{,}72 \cdot 1{,}520 \approx 399{,}9

Kontroll i GeoGebra: RegLog på punktene gir

y = 399{,}9 + 73{,}7 \ln x

.
Tolkning: Når erfaringen dobles, øker lønnen med

73{,}7 \cdot \ln 2 \approx 51

tusen kr — både fra 1 til 2 år og fra 10 til 20 år. Det trengs altså stadig flere år for å oppnå samme lønnsøkning.

Svar: $y \approx 399{,}9 + 73{,}7 \cdot \ln x$

Polynomisk regresjon

y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k

✏️Kvadratisk regresjon

Høyde $h$ (m) ved tid $t$ (s) for en ball:

$t$	$h$
0	1,0
0,5	4,6
1,0	6,8
1,5	7,2
2,0	5,9
2,5	3,1

Andregradsregresjon (RegPoly(…, 2) i GeoGebra) gir

h = 0{,}97 + 9{,}06t - 3{,}29t^2

R^2 \approx 0{,}9995

. Tolk.

Starthøyde: $h(0) \approx 0{,}97$ m

$h'(t) = 9{,}06 - 6{,}58t = 0$

$\displaystyle t = \frac{9{,}06}{6{,}58} \approx 1{,}38$ s

$h(1{,}38) \approx 0{,}97 + 9{,}06 \cdot 1{,}38 - 3{,}29 \cdot 1{,}38^2 \approx 7{,}2$ m

$R^2 \approx 0{,}9995$ : modellen forklarer 99,95 % av variasjonen i høyden.

Svar: Ballen kastes fra ca. 0,97 m høyde og er høyest, ca. 7,2 m, etter ca. 1,38 s. Modellen passer svært godt.

Velge beste modell

For å avgjøre hvilken modell som passer best, bruker vi:

$R^2$ -sammenligning:
Beregn $R^2$ for hver modell. Modellen med høyest $R^2$ gir best tilpasning.

Viktig: Sammenlign $R^2$ for $y$ mot $\hat{y}$ (ikke for de lineariserte variablene). Alternativt kan man sammenligne $R^2$ for lineariserte modeller, men dette gir en tilnærmelse.

Residualplott:
Velg modellen der residualplottet viser minst systematisk mønster.

Faglig vurdering:
Hvilken modell gir mest mening i konteksten? For eksempel er eksponentiell vekst rimelig for bakterier, men ikke for befolkningsvekst over lang tid.

Prediksjon:
Hvilken modell gir rimelige prediksjoner for relevante $x$ -verdier?

✏️Modellsammenligning

For datasettet om bakterievekst, sammenlign lineær og eksponentiell modell.

Lineær modell (RegLin):

\hat{y} = 99x + 64

R^2 \approx 0{,}949

Eksponentiell modell (RegEksp): $\hat{y} \approx 99{,}8 \cdot 1{,}50^x$ , $R^2 \approx 0{,}9996$

Residualer for den lineære modellen:

$x$	$y - \hat{y}$
0	36
1	$-13$
2	$-42$
3	$-21$
4	40

Fortegnene er

+

-

-

-

+

: modellen undervurderer i endene og overvurderer på midten. Det er et buet mønster.
Residualene for den eksponentielle modellen er små (under 5 bakterier) og uten systematisk mønster.
Den eksponentielle modellen er også faglig rimelig: bakterier deler seg, så antallet vokser med fast prosent per time.
Svar: Den eksponentielle modellen passer klart best (

R^2 \approx 0{,}9996

mot

0{,}949

, og ingen buet residualmønster).

Logistisk regresjon

Når veksten først er nesten eksponentiell og så flater ut mot et tak, passer en logistisk modell

$f(x) = \frac{a}{1 + b\,e^{-kx}}, \qquad k > 0$

Når $x \to \infty$ , går $b\,e^{-kx} \to 0$ og $f(x) \to a$ . Tallet $a$ er bæreevnen, taket modellen nærmer seg. Modellen kan ikke lineariseres med logaritmer som modellene ovenfor, så parameterne finnes med digitalt verktøy: RegLogist(liste1) i GeoGebra, der liste1 er en liste med punkter.

Grafen vokser raskest i vendepunktet, der $f(x) = \dfrac{a}{2}$ :

$\frac{a}{1 + b\,e^{-kx}} = \frac{a}{2} \;\Rightarrow\; b\,e^{-kx} = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln b}{k}$

✏️Logistisk regresjon i GeoGebra

Tabellen viser antall elsparkesykler registrert i en by $x$ måneder etter at utleien startet.

$x$	Antall
0	100
2	230
4	450
6	750
8	1070
10	1260
12	1410
14	1520

a) Finn en logistisk modell for antall elsparkesykler.
b) Hva sier modellen om antallet på lang sikt?
c) Når øker antallet raskest, og hvor raskt øker det da?

a)
I GeoGebra:
liste1 = {(0, 100), (2, 230), (4, 450), (6, 750), (8, 1070), (10, 1260), (12, 1410), (14, 1520)}
f(x) = RegLogist(liste1)
$f(x) \approx \dfrac{1559}{1 + 12{,}76\,e^{-0{,}410x}}$

Svar: $f(x) = \dfrac{1559}{1 + 12{,}76\,e^{-0{,}410x}}$

b)
Når $x \to \infty$ , går $f(x) \to 1559$ .

Svar: Ifølge modellen nærmer antallet seg omtrent 1560 elsparkesykler.

c)
$x = \dfrac{\ln 12{,}76}{0{,}410} \approx 6{,}2$
f'(6.2) gir $\approx 160$

Svar: Antallet øker raskest etter omtrent 6,2 måneder, med omtrent 160 elsparkesykler per måned.

Oppsummering: Linearisering

Modell	Formel	Linearisering	Plot
Eksponentiell	$y = a \cdot b^x$	$\ln y = \ln a + x\ln b$	$(x, \ln y)$
Potensiell	$y = a \cdot x^b$	$\ln y = \ln a + b\ln x$	$(\ln x, \ln y)$
Logaritmisk	$y = a + b\ln x$	$y = a + bX$ der $X = \ln x$	$(\ln x, y)$

Hvorfor linearisere? Fordi lineær regresjon (MKM) er enkel, veletablert og har gode statistiske egenskaper. Ved å transformere dataene kan vi bruke de samme verktøyene som for lineær regresjon.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvordan lineariserer man modellen $y = a \cdot b^x$ ?

Hvordan lineariserer man modellen $y = a \cdot x^b$ ?

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

En eksponentiell modell gir $A = \ln a = 3{,}2$ og $B = \ln b = 0{,}15$ . Finn $a$ og $b$ .

Tolk modellen: hva betyr $b = 1{,}162$ ?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Når er en logaritmisk modell mer passende enn en lineær modell?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

En populasjon vokser: $(0, 50)$ , $(5, 130)$ , $(10, 350)$ , $(15, 920)$ , $(20, 2400)$ . Vis at $\ln y$ er tilnærmet lineær i $x$ , og finn den eksponentielle modellen.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Avstand fra solen ( $x$ , AU) og omløpstid ( $y$ , jordår) for planeter: $(0{,}39, 0{,}24)$ , $(1, 1)$ , $(1{,}52, 1{,}88)$ , $(5{,}20, 11{,}86)$ , $(9{,}54, 29{,}46)$ . Tilpass en potensiell modell $y = a \cdot x^b$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Tilpass en logaritmisk modell $y = a + b\ln x$ til: $(1, 20)$ , $(3, 35)$ , $(5, 42)$ , $(10, 50)$ , $(20, 58)$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Tre modeller tilpasses til et datasett: Lineær ( $R^2 = 0{,}82$ ), eksponentiell ( $R^2 = 0{,}96$ ), logaritmisk ( $R^2 = 0{,}88$ ). Hvilken modell velger du, og hvorfor?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Kvadratisk $R^2 = 0{,}92$ vs. lineær $R^2 = 0{,}85$ . Er kvadratisk nødvendigvis bedre?

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Verdien av en bil synker over tid: $(0, 350000)$ , $(2, 280000)$ , $(4, 225000)$ , $(6, 180000)$ , $(8, 145000)$ . Tilpass en eksponentiell modell. Hva blir bilen verdt etter 10 år?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Forklar forskjellen mellom eksponentiell ( $y = a \cdot b^x$ ) og potensiell ( $y = a \cdot x^b$ ) vekst. Gi et eksempel der hver modell er naturlig.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Forklar hvorfor vi tar logaritmen for å linearisere, og diskuter en begrensning ved denne metoden.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

BNP per innbygger ( $x$ , i tusen USD) og forventet levealder ( $y$ , år) for 6 land: $(2, 55)$ , $(5, 65)$ , $(10, 72)$ , $(25, 77)$ , $(40, 80)$ , $(60, 82)$ . Sammenlign lineær, logaritmisk og potensiell modell. Hvilken passer best?

📝Oppgave 13

Løs oppgavene:

Halveringstiden til et radioaktivt stoff er 5 timer. Startverdien er 800 gram. Sett opp en eksponentiell modell og finn hvor mye som er igjen etter 12 timer.

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Tabellen viser høyden (i cm) til en solsikke $x$ dager etter at den ble plantet ut.

$x$	Høyde
0	10
7	22
14	43
21	72
28	117
35	162
42	207
49	225
56	245

Bruk logistisk regresjon til å finne en modell $h$ for høyden.

Hvor høy blir solsikken ifølge modellen?

Når vokser solsikken raskest, og hvor fort vokser den da?

Løs oppgaven

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.