7.2 Geometriske følger og rekker

Fra addisjon til multiplikasjon

Tenk deg at du får et valg: 1000 kroner ekstra i lommepenger hver måned i et år — eller én krone som dobles hver måned i samme periode. Mange velger tusenlappene. Men dobling er multiplikativ vekst, og den oppfører seg helt annerledes enn de jevne tilleggene fra forrige kapittel: $1, 2, 4, 8, \ldots$ passerer tusenlappen alt i måned 11, og i måned 12 er du på 2048 kroner — for så å eksplodere videre om avtalen forlenges.

I en aritmetisk følge la vi til et fast tall for å komme til neste ledd. I en geometrisk følge multipliserer vi i stedet med et fast tall. Det høres ut som en liten endring, men det er forskjellen på lineær og eksponentiell vekst — og det er nettopp geometriske følger som modellerer renter, lån og investeringer. Derfor er de helt sentrale i økonomien, og derfor er de helt sentrale i S2.

I denne fortellingen lærer du å gjenkjenne geometriske følger, finne et vilkårlig ledd direkte, og summere mange ledd med ett elegant grep. Underveis møter du vekstfaktoren — broen mellom prosentregning og følgeteori.

Den geometriske følgen

En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet (kvotienten) mellom hvert ledd og det foregående er konstant:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = k \quad \text{for alle } n \geq 1, \ a_n \neq 0$$

Konstanten $k$ kalles den faste kvotienten eller fellesforholdet. Følgen $2, 6, 18, 54, \ldots$ har $k = 3$; følgen $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ har $\displaystyle k = \frac{1}{2}$; og følgen $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ har faktisk $k = -2$ — kvotienten kan være negativ, og da veksler fortegnet.

Også her finnes en eksplisitt formel. Fra $a_1$ til $a_n$ multipliserer vi med $k$ nøyaktig $n-1$ ganger:

$$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$$

Legg merke til slektskapet med eksponentiell vekst $f(x) = a \cdot b^x$ — en geometrisk følge er rett og slett eksponentiell vekst i diskrete steg.

Et eksempel: en geometrisk følge har $a_1 = 5$ og $k = 2$. Da er $a_n = 5 \cdot 2^{n-1}$, og det tiende leddet blir $a_{10} = 5 \cdot 2^9 = 5 \cdot 512 = 2560$. Kontroll: de første leddene er $5, 10, 20, 40, 80, \ldots$ — stemmer med formelen.

I økonomiske sammenhenger er kvotienten ofte en vekstfaktor. Vokser noe med $p\%$ per periode, er $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$; minker det med $p\%$, er $\displaystyle k = 1 - \frac{p}{100}$. En investering som vokser 5 % per år har altså $k = 1{,}05$, og med startverdi $a_1$ er verdien etter $n$ år $a_{n+1} = a_1 \cdot 1{,}05^{n}$. Slik kobles prosentregningen du kan fra før, rett inn i følgenes verden.

Summen — med et elegant triks

Nå vil vi summere: $S_n = a_1 + a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^{n-1}$. Gauss' speilvendingstriks fra de aritmetiske rekkene fungerer ikke her — men det finnes et enda mer elegant grep. Multipliser hele summen med $k$:

$$k \cdot S_n = a_1k + a_1k^2 + \cdots + a_1k^n$$

Sammenlign de to linjene: nesten alle ledd er felles! Trekker vi den første fra den andre, kansellerer alt unntatt ytterpunktene: $kS_n - S_n = a_1k^n - a_1$, altså $S_n(k-1) = a_1(k^n - 1)$. Dermed har vi, for $k \neq 1$:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$$

La oss teste på følgen $3, 6, 12, 24, \ldots$ med $a_1 = 3$ og $k = 2$. Summen av de åtte første leddene blir

$$S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765$$

Kontroll ved å summere for hånd: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$. ✓

Et praktisk eksempel fra helse: i starten av et sykdomsutbrudd dobles antall nye smittetilfeller hver dag, og første dag er det 500 nye tilfeller. Antall nye tilfeller per dag danner en geometrisk følge med $a_1 = 500$ og $k = 2$. Dag 10 kommer det $a_{10} = 500 \cdot 2^9 = 256\,000$ nye tilfeller — men hvor mange er smittet totalt i løpet av de ti dagene? Det er en sum: $\displaystyle S_{10} = 500 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 500 \cdot 1023 = 511\,500$.

Geometriske rekker er selve grunnmuren i finansmatematikken: sammensatt rente (innskudd som vokser med fast rentesats), regelmessig sparing (faste innskudd med renter blir en geometrisk rekke) og avskrivning (utstyr som taper fast prosent i verdi). Disse økonomiske anvendelsene utforsker vi grundig i kapittel 7.4.

Oppsummering: multiplikasjonens kraft

Krone-doblingen i starten viste hvor fort multiplikativ vekst tar igjen additiv: over 12 måneder gir tusenlappene 12 000 kr mot 4095 kr, men i måned 14 har doblingen passert (16 383 kr mot 14 000 kr). En geometrisk følge har konstant kvotient $\displaystyle k = \frac{a_{n+1}}{a_n}$, og det $n$-te leddet er $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ — eksponentiell vekst i diskrete steg. Summen av de $n$ første leddene fant vi med kanselleringstrikset:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \qquad (k \neq 1)$$

Broen til økonomien heter vekstfaktor: vekst på $p\%$ gir $\displaystyle k = 1 + \frac{p}{100}$, reduksjon gir $\displaystyle k = 1 - \frac{p}{100}$. Slik blir en investering med 5 % årlig avkastning en geometrisk følge med $k = 1{,}05$, og bakteriekulturen som dobler seg, en følge med $k = 2$.

Hold de to følgefamiliene fra hverandre: aritmetiske følger legger til en fast differanse $d$ og gir lineær vekst; geometriske følger multipliserer med en fast kvotient $k$ og gir eksponentiell vekst. Spør alltid: er det differansen eller forholdet som er konstant?

To spørsmål gjenstår. Hva skjer hvis vi summerer uendelig mange ledd — kan svaret bli endelig? Og hvordan brukes disse rekkene på ekte sparekontoer og boliglån? Det er de to neste fortellingene.