7.4 Potensrekker og Taylor-rekker

Drømmen om egen leilighet

Storesøsteren din på 25 har bestemt seg: hun skal spare til leilighet. Planen er 5000 kroner i måneden, og banken gir månedlig rente. «Hvor mye har jeg om ti år?» spør hun. Og når hun en dag tar opp boliglån på tre millioner: «Hva blir terminbeløpet egentlig — og hvorfor anbefaler rådgiveren annuitetslån?»

Begge spørsmålene besvares av samme matematikk: geometriske rekker. Når du sparer regelmessig med fast rente, eller betaler ned et lån, er det geometriske rekker som ligger bak alle beregningene. I dette kapittelet utleder vi formlene for sparing med faste innskudd, annuitetslån og serielån — stoff som er svært relevant både for S2-eksamen og for din egen lommebok.

Vi trenger bare to symboler: $r$ er renten per termin (for eksempel $r = 0{,}05$ for 5 %), og $v = 1 + r$ er vekstfaktoren per termin. Hvert innestående beløp multipliseres med $v$ for hver termin som går — og siden innskudd og terminbeløp gjentas, oppstår geometriske rekker helt av seg selv. La oss starte med søsterens sparekonto.

Sparing med faste innskudd

Søsteren din setter inn et fast beløp $b$ ved slutten av hver termin i $n$ terminer. Poenget som gjør dette til en rekke, er at innskuddene får renter i ulik tid: det første innskuddet rekker å vokse i $n-1$ terminer og blir til $b \cdot v^{n-1}$, det andre vokser i $n-2$ terminer, og det siste innskuddet rekker ikke å vokse i det hele tatt. Sluttkapitalen er summen

$$K_n = b + bv + bv^2 + \cdots + bv^{n-1}$$

— en geometrisk rekke med første ledd $b$ og kvotient $v$! Sumformelen gir spareformelen:

$$K_n = b \cdot \frac{v^n - 1}{v - 1} = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$

Nå kan vi svare søsteren din. Hun sparer $b = 5000$ kr per måned i 10 år, altså $n = 120$ måneder, med månedlig rente $r = 0{,}003$ (0,3 %). Da er $v = 1{,}003$ og $1{,}003^{120} \approx 1{,}4308$, så

$$K_{120} = 5000 \cdot \frac{1{,}4308 - 1}{0{,}003} = 5000 \cdot 143{,}6 \approx 718\,000 \text{ kr}$$

Selv har hun bare skutt inn $5000 \cdot 120 = 600\,000$ kr — rentene har bidratt med 118 000 kr. Det er renters rente i praksis: hvert innskudd jobber for henne fra den dagen det settes inn.

Legg merke til strukturen i formelen, for den kommer igjen: et fast beløp ganger en «rekkefaktor» $\displaystyle \frac{v^n - 1}{r}$ som samler opp alle terminene med renter.

Annuitetslånet og nåverdi

Ti år senere står søsteren din i banken og signerer boliglån: $L = 3\,000\,000$ kr, 4 % årlig rente, 25 år. Rådgiveren foreslår annuitetslån — et lån der terminbeløpet (summen av avdrag og renter) er konstant gjennom hele løpetiden. Men hvordan beregnes dette faste beløpet $T$?

Utledningen er ren rekketeori. Etter $n$ terminer skal restgjelden være null. Lånet med renter vokser til $L \cdot v^n$, mens innbetalingene — $T$ per termin, hver med renter for sin gjenværende tid — utgjør en geometrisk rekke med sum $\displaystyle T \cdot \frac{v^n - 1}{r}$. Setter vi disse lik hverandre og løser for $T$, får vi annuitetsformelen:

$$T = L \cdot \frac{r \cdot v^n}{v^n - 1} = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$$

For søsterens lån: $1{,}04^{25} \approx 2{,}6658$, så

$$T = 3\,000\,000 \cdot \frac{0{,}04 \cdot 2{,}6658}{1{,}6658} \approx 192\,040 \text{ kr per år}$$

Over 25 år betaler hun $192\,040 \cdot 25 = 4\,801\,000$ kr — altså 1 801 000 kr i renter.

To beslektede verktøy hører med. Nåverdi svarer på hva et fremtidig beløp er verdt i dag: $\displaystyle \text{NV} = \frac{B}{(1+r)^n}$, og nåverdien av en rekke like betalinger $T$ over $n$ terminer er $\displaystyle \text{NV} = T \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$. Nåverdi er selve nøkkelen når betalinger på ulike tidspunkter skal sammenlignes. Og restgjelden etter $m$ av $n$ terminer kan beregnes som $\displaystyle R_m = L \cdot v^m - T \cdot \frac{v^m - 1}{r}$ — lånet med renter minus innbetalingene med renter — eller ekvivalent som nåverdien av de gjenstående $n - m$ terminbeløpene: $\displaystyle R_m = T \cdot \frac{1 - v^{-(n-m)}}{r}$.

Serielån eller annuitetslån?

Banken nevner også et alternativ: serielån. Der er det avdragene som er konstante, ikke terminbeløpet. Avdraget er $\displaystyle A = \frac{L}{n}$ hver termin, og siden restgjelden synker jevnt, synker også rentedelen — og dermed synker terminbeløpet over tid. Du betaler mest i starten og minst på slutten.

La oss sammenligne på et lite lån: 500 000 kr over 5 år med 6 % årlig rente. Annuitetslånet gir $\displaystyle T = 500\,000 \cdot \frac{0{,}06 \cdot 1{,}06^5}{1{,}06^5 - 1} \approx 118\,698$ kr per år, totalt $593\,490$ kr — altså $93\,490$ kr i renter. Serielånet har avdrag på $100\,000$ kr per år, og rentene regnes av restgjelden: $30\,000 + 24\,000 + 18\,000 + 12\,000 + 6\,000 = 90\,000$ kr. Terminbeløpene starter på 130 000 og faller til 106 000.

Serielånet er altså $3\,490$ kr billigere totalt. Det er ingen tilfeldighet: med serielån betaler du ned gjelden raskere i starten, så det står mindre gjeld og «tikker renter». Hvorfor velger da de fleste annuitetslån til bolig? Forutsigbarhet — samme beløp hver måned er lettere å budsjettere, og terminbeløpet er lavere de første, ofte trangeste, årene. Serielån er vanligere for bedrifter.

Til eksamen lønner det seg å huske fire ting. Sjekk terminlengden: er renten årlig og terminene månedlige, må renten deles på 12. Skill spareformelen (gir sluttkapital) fra annuitetsformelen (gir terminbeløp). Bruk nåverdi når betalinger på ulike tidspunkter skal sammenlignes. Og vis utledningen — sensor gir uttelling for å se at formlene springer ut av geometriske rekker, ikke bare at de er tastet inn på kalkulatoren.

Oppsummering: rekkene bak privatøkonomien

Søsterens to store økonomiske beslutninger — spareplanen og boliglånet — viste seg å være to sider av samme geometriske rekke. Spareformelen $\displaystyle K_n = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$ ga sluttkapitalen av faste innskudd: 5000 kr i måneden ble til 718 000 kr på ti år, der 118 000 kr var renter. Annuitetsformelen $\displaystyle T = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$ ga det faste terminbeløpet, utledet ved å sette lånet med renter lik innbetalingenes rekkesum.

Nåverdien $\displaystyle \text{NV} = \frac{B}{(1+r)^n}$ — og for betalingsrekker $\displaystyle T \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ — lar oss sammenligne beløp på tvers av tid, og restgjelden etter $m$ terminer er nettopp nåverdien av de gjenstående terminbeløpene. Serielånet med konstant avdrag $\displaystyle A = \frac{L}{n}$ gir synkende terminbeløp og lavere total rente enn annuitetslånet, som til gjengjeld gir forutsigbarheten folk flest verdsetter i boligøkonomien.

Husk arbeidsreglene: sjekk om renten gjelder per termin eller per år, hold spareformel og låneformel fra hverandre, bruk nåverdi ved sammenligning av betalingsstrømmer — og vis på eksamen hvordan formlene vokser ut av geometriske rekker. Den som forstår rekken bak formelen, trenger aldri pugge den.