2.2 Jacobi-matrisen, kjerneregelen på matriseform og linearisering

En funksjon som tar inn flere tall og gir ut flere tall: $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$. Vi skriver $F(x)=(F_1(x),\dots,F_m(x))$. For eksempel er $F(x,y)=(x+y,\ xy)$ en avbildning $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$. Når $m=1$ er $F$ en vanlig funksjon (skalarfelt); når $n=1$ er det en parametrisert kurve.

De $m$ vanlige (skalar-)funksjonene $F_1,\dots,F_m$ som utgjør en vektorfunksjon $F$. Hver $F_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ har sin egen gradient $\nabla F_i$. Å derivere $F$ betyr å derivere hver komponent — og samle resultatene i én matrise.

$$F'(x)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \vdots& &\vdots\\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}.$$

For $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ er $F'$ en $m\times n$-matrise. Kritisk regel: rad = komponentfunksjon, søyle = variabel. Bytter du om (transponerer), får du kjerneregelen til å bryte sammen.

En funksjon er $C^1$ på et område hvis alle de partiellderiverte finnes og er kontinuerlige der. Nesten alle funksjoner du møter på eksamen (polynomer, $e^x$, $\sin$, $\cos$, kvotienter der nevneren ikke er null) er $C^1$ på definisjonsområdet sitt.

Teoremveien fasit bruker for å slå fast deriverbarhet: er $F$ av klasse $C^1$ nær $a$ (kontinuerlige partiellderiverte), så er $F$ deriverbar i $a$, og den deriverte er Jacobi-matrisen $F'(a)$. Merk skillet: at partiellderivertene bare finnes er ikke nok — de må være kontinuerlige. På eksamen skriver du gjerne «$F$ er $C^1$, altså deriverbar».

$$F(x)=F(a)+F'(a)(x-a)+r(x),\qquad \frac{|r(x)|}{|x-a|}\to0.$$

Dette er hvorfor $F'(a)$ er «den deriverte»: den fanger hele førsteordens oppførselen til $F$ i punktet. Alt annet i kapitlet følger av dette.

Å bruke én avbildning etter en annen: $(G\circ F)(x)=G(F(x))$. Her sender $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ punktet videre til $G:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$, så $G\circ F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$. Rekkefølgen teller: $F$ virker først, $G$ etterpå.

$$(G\circ F)'(a)=G'\big(F(a)\big)\,F'(a).$$

Rekkefølgen er hele poenget — matriseprodukt er ikke kommutativt. $G'$ evalueres i bildepunktet $F(a)$, $F'$ i $a$, og $G'(F(a))$ står til venstre. Dette generaliserer én-variabel-kjerneregelen $(g\circ f)'=g'(f)\cdot f'$.

$$\frac{\partial h}{\partial x_j}=\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial g}{\partial y_i}\,\frac{\partial F_i}{\partial x_j}.$$

Dette er nettopp $(i,j)$-elementet i matriseproduktet $G'(F)\,F'$. Formelsamlingen gir begge former; matriseformen er raskest når alt er lineært satt opp.

$$F(x)\approx F(a)+F'(a)(x-a).$$

Formelsamlingen skriver dette $T_aF(x)=F'(a)(x-a)+F(a)$. Dette er $\mathbb{R}^m$-versjonen av tangentplanet fra kap. 2.1: $F(a)$ er «høyden», $F'(a)(x-a)$ er den lineære korreksjonen.

Determinanten til Jacobi-matrisen, definert når $F'$ er kvadratisk ($n=m$). Den måler hvordan $F$ strekker areal/volum lokalt, og forteller om $F$ er lokalt inverterbar. Notasjon: $\det F'(a)$, av og til skrevet $\dfrac{\partial(F_1,\dots,F_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}$.

Er $F$ av klasse $C^1$ og $\det F'(a)\ne0$, så har $F$ en lokal invers nær $a$ (dette er omvendt funksjonsteorem, kap. 2.3). Geometrisk: $F'(a)$ er en inverterbar matrise, så avbildningen «kollapser» ikke rommet nær $a$. Punktet der $\det F'(a)\ne0$ kalles et regulært punkt.

Er $\det F'\equiv0$ på et helt område, er komponentene $F_1,\dots,F_n$ funksjonelt avhengige der: én av dem kan uttrykkes ved de andre, så $F$ presser rommet ned i lavere dimensjon og kan ikke være lokalt inverterbar. Dette er en eldre sjanger R (kjennskap) — vi bruker det mest som kontrast til det regulære tilfellet.

Når $F$ har bare én komponent ($m=1$), er Jacobi-matrisen én rad — nemlig gradienten skrevet som radvektor: $F'=\nabla F$. Slik henger kap. 2.1 og dette kapitlet sammen: gradienten er Jacobi-matrisen til et skalarfelt.