Tilbake
1.4
Alle fag for Høyskole

1.4 Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

Matrisen til en lineæravbildning, bilde og kjerne, og parameteravhengig løsbarhet — bindeleddet mellom radreduksjon og Jacobi-matrisen i Del 2.

45 min
12 oppgaver
Lineæravbildningerløsbarhet av Ax = b
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bruker matriser, søylerom/nullrom og inverterbarhet fra kap. 1.1–1.3. Selve avbildnings-/funksjonsbegrepet (definisjonsmengde, verdimengde, injektiv/surjektiv) hentes fra Funksjonsbegrepet — her utvider vi det fra tall til vektorer.

En funksjon tar et tall inn og gir et tall ut. En lineæravbildning tar en vektor inn og gir en vektor ut — og gjør det på den «snilleste» tenkelige måten: den respekterer addisjon og skalering. Det viser seg at enhver slik avbildning kan skrives som T(x)=AxT(x)=Ax for en matrise AA. Matriser og lineæravbildninger er altså to sider av samme sak.

Dette perspektivet er hele poenget med Del 2: den deriverte til en flervariabel funksjon er den lineæravbildningen (matrisen F′F') som best tilnærmer funksjonen lokalt. Vi bygger broen i fem løkker: (1) hva en lineæravbildning er, (2) standardmatrisen, (3) bilde og kjerne, (4) sammensetning og invers, (5) parameteravhengig løsbarhet.

Løkke 1 — Hva en lineæravbildning er (~10 min)

Lineæravbildning
En avbildning T:Rn→RmT:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m som respekterer de to grunnoperasjonene — i symboler, for alle vektorer u,vu,v og alle tall cc:

T(u+v)=T(u)+T(v)ogT(cu)=c T(u).T(u+v)=T(u)+T(v)\qquad\text{og}\qquad T(cu)=c\,T(u).

«Å regne først og avbilde etterpå gir samme svar som å avbilde først og regne etterpå.» En konsekvens: T(0)=0T(0)=0 alltid — en lineæravbildning fikserer origo.

Affinavbildning

En lineæravbildning pluss et fast konstantledd: x↦Ax+bx\mapsto Ax+b med b≠0b\ne0. Den flytter origo (siden T(0)=b≠0T(0)=b\ne0), så den er strengt tatt ikke lineær — men «rett» i geometrisk forstand. Forveksling av lineær og affin er en klassisk feil: sjekk alltid T(0)T(0).

Identitetsavbildningen

Avbildningen T(x)=xT(x)=x som lar alt være urørt. Dens standardmatrise er identitetsmatrisen InI_n. Den er det nøytrale elementet under sammensetning: T∘id=id∘T=TT\circ\text{id}=\text{id}\circ T=T.

✏️Eksempel 1: Er avbildningen lineær?

Avgjør om (a) T(x,y)=(2x−y, x+3y)T(x,y)=(2x-y,\,x+3y) og (b) S(x,y)=(x+1, y)S(x,y)=(x+1,\,y) er lineære.

a) Vi sjekker de to egenskapene, eller enklere: kan TT skrives som AxAx? Ja: T(x,y)=(2−113)(xy)T(x,y)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}. En avbildning som er et rent matriseprodukt, er automatisk lineær. Sjekk også T(0,0)=(0,0)T(0,0)=(0,0) ✓. Altså lineær.

b) S(0,0)=(1,0)≠(0,0)S(0,0)=(1,0)\ne(0,0). En lineæravbildning må sende 00 til 00, så SS er ikke lineær — den er affin (S(x,y)=Ix+(1,0)S(x,y)=Ix+(1,0)), med konstantleddet (1,0)(1,0).

📝Oppgave 1

Avgjør om T(x,y)=(3x+y, x−2y)T(x,y)=(3x+y,\,x-2y) er lineær, og finn i så fall matrisen.

Løkke 2 — Standardmatrisen (~11 min)

Standardmatrisen til en lineæravbildning
Matrisen AA slik at T(x)=AxT(x)=Ax. Den bygges av bildene av standardbasisvektorene, satt inn som søyler:

A=[ T(e1)  T(e2) ⋯ T(en) ].A=\big[\,T(e_1)\ \ T(e_2)\ \cdots\ T(e_n)\,\big].

Grunnen: siden x=x1e1+⋯+xnenx=x_1e_1+\cdots+x_ne_n og TT er lineær, er T(x)=x1T(e1)+⋯+xnT(en)=AxT(x)=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)=Ax. Felle: bildene skal stå som søyler, ikke rader.

Rotasjonsmatrise
Standardmatrisen til en rotasjon om origo med vinkel θ\theta:

Rθ=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ).R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.

Den er alltid inverterbar (det⁡=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1); inversen er rotasjon andre veien, R−θ=RθTR_{-\theta}=R_\theta^{T}.

Speilingsmatrise

Standardmatrisen til en speiling om en linje gjennom origo. Speiling om y=xy=x bytter koordinatene: (0110)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. Speiling om xx-aksen: (100−1)\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. Speilinger har det⁡=−1\det=-1 og er sin egen invers (S2=IS^2=I).

✏️Eksempel 2: Standardmatrise fra bildene
T:R2→R2T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 speiler hver vektor om linjen y=xy=x. Finn standardmatrisen, og avgjør om TT er inverterbar.
Speiling om y=xy=x bytter xx- og yy-koordinaten. Bildene av standardbasisen:
T(e1)=T(1,0)=(0,1),T(e2)=T(0,1)=(1,0).T(e_1)=T(1,0)=(0,1),\qquad T(e_2)=T(0,1)=(1,0).
Sett inn som søyler:
A=[ T(e1)  T(e2) ]=(0110).A=\big[\,T(e_1)\ \ T(e_2)\,\big]=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.
det⁡A=0⋅0−1⋅1=−1≠0\det A=0\cdot0-1\cdot1=-1\ne0, så TT er inverterbar. Faktisk er A−1=AA^{-1}=A (å speile to ganger bringer alt tilbake), i tråd med at en speiling er sin egen invers.
📝Oppgave 2
T:R2→R2T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 er rotasjon 90∘90^\circ mot klokka.

a) Finn standardmatrisen.

b) Regn ut T(2,1)T(2,1).

Løkke 3 — Bilde og kjerne (~10 min)

Bilde (verdimengde) == søylerom

Alle vektorer TT faktisk treffer: {T(x):x∈Rn}\{T(x):x\in\mathbb{R}^n\}. Siden T(x)=AxT(x)=Ax er en lineær kombinasjon av søylene i AA, er bildet nøyaktig søylerommet Col⁡(A)\operatorname{Col}(A) fra kap. 1.2. Dimensjonen er rangen.

Kjerne == nullrom

Alt som avbildes til null: ker⁡T={x:T(x)=0}\ker T=\{x:T(x)=0\}. Dette er nøyaktig nullrommet N(A)N(A). En lineæravbildning er injektiv (en-til-en) nøyaktig når kjernen bare er {0}\{0\} — da kolliderer ingen to input i samme output.

Injektiv og surjektiv
Injektiv (en-til-en): ulike input gir ulike output — ekvivalent med ker⁡T={0}\ker T=\{0\}. Surjektiv (på): bildet er hele Rm\mathbb{R}^m — ekvivalent med at rangen er mm. En kvadratisk lineæravbildning er injektiv   ⟺  \iff surjektiv   ⟺  \iff inverterbar.
✏️Eksempel 3: Bilde og kjerne til en projeksjon
T(x,y)=(x,0)T(x,y)=(x,0) projiserer ned på xx-aksen. Finn standardmatrisen, bildet og kjernen, og avgjør om TT er inverterbar.
Bildene: T(e1)=(1,0)T(e_1)=(1,0), T(e2)=(0,0)T(e_2)=(0,0), så
A=(1000).A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.
Bilde =Col⁡(A)=sp⁡{(1,0)}=\operatorname{Col}(A)=\operatorname{sp}\{(1,0)\} — hele xx-aksen (dimensjon 1, altså rang 1).
Kjerne =N(A)=N(A): Ax=0Ax=0 gir x=0x=0, yy fri, så ker⁡T=sp⁡{(0,1)}\ker T=\operatorname{sp}\{(0,1)\} — hele yy-aksen.
det⁡A=0\det A=0, så TT er ikke inverterbar (den er verken injektiv — kjernen er større enn {0}\{0\} — eller surjektiv). Geometrisk: projeksjonen «mister» yy-informasjonen, som ikke kan gjenskapes.
📝Oppgave 3

For T(x,y,z)=(x+2y+3z, 2x+4y+6z)T(x,y,z)=(x+2y+3z,\,2x+4y+6z): finn standardmatrisen, og bestem bilde (rang) og kjerne (nullrom).

Løkke 4 — Sammensetning og invers avbildning (~7 min)

Sammensetning == matriseprodukt

Å utføre SS etter TT — sammensetningen S∘TS\circ T («først TT, så SS») — har standardmatrise lik produktet av matrisene i samme rekkefølge: AS∘T=ASATA_{S\circ T}=A_S A_T. At matriseprodukt ikke er kommutativt, speiler at rekkefølgen av avbildninger betyr noe (rotasjon så speiling ≠\ne speiling så rotasjon).

Invers avbildning == invers matrise

En lineæravbildning T(x)=AxT(x)=Ax har en invers avbildning T−1T^{-1} nøyaktig når AA er inverterbar, og da er T−1(y)=A−1yT^{-1}(y)=A^{-1}y. Den «angrer» TT: T−1(T(x))=xT^{-1}(T(x))=x. Dette knytter kap. 1.3 til geometri — inverterbarhet betyr at avbildningen kan reverseres.

✏️Eksempel 4: Sammensetning av to avbildninger
TT er rotasjon 90∘90^\circ (AT=(0−110)A_T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}) og SS er speiling om xx-aksen (AS=(100−1)A_S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}). Finn matrisen til «først TT, så SS».
Sammensetningen S∘TS\circ T har matrise ASATA_SA_T (samme rekkefølge, SS til venstre):
AS∘T=(100−1)(0−110)=(0−1−10).A_{S\circ T}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}.
Dette er speiling om linja y=−xy=-x. Bytter vi rekkefølge (T∘ST\circ S), får vi ATAS=(0110)A_TA_S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} (speiling om y=xy=x) — et annet resultat, som bekrefter at rekkefølgen betyr noe.
📝Oppgave 4
T(x,y)=(x+2y, 3x−y)T(x,y)=(x+2y,\,3x-y) har matrise A=(123−1)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}.

a) Er TT inverterbar?

b) Finn i så fall matrisen til T−1T^{-1}.

Løkke 5 — Parameteravhengig løsbarhet (~7 min)

Parameteravhengig løsbarhet

Spørsmålet «for hvilke parameterverdier har Ax=bAx=b løsning?» besvares ved konsistensdrøfting fra trappeformen (som i kap. 1.1). Er AA inverterbar for parameterverdien, finnes entydig løsning for enhver bb; der AA blir singulær, avgjør høyresiden om det er ingen eller uendelig mange løsninger. Dette er en sjanger A-variant.

✏️Eksempel 5: Når er systemet løsbart?

For hvilke aa har T(x,y)=(x+2y, 2x+ay)T(x,y)=(x+2y,\,2x+ay) en invers, og hva betyr det for løsbarheten av T(x,y)=bT(x,y)=b?

Standardmatrisen er A=(122a)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&a\end{pmatrix} med det⁡A=a−4\det A=a-4.

a≠4a\ne4: det⁡≠0\det\ne0, TT inverterbar ⇒ T(x,y)=bT(x,y)=b har entydig løsning for enhver bb.

a=4a=4: A=(1224)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}, rad 2 er 2×2\times rad 1 ⇒ singulær. Da avhenger løsbarheten av bb: bildet er linja sp⁡{(1,2)}\operatorname{sp}\{(1,2)\}, så T(x,y)=bT(x,y)=b har (uendelig mange) løsninger hvis bb ligger på denne linja, ellers ingen.

Konklusjon: entydig løsbar for alle bb nøyaktig når a≠4a\ne4.

📝Oppgave 5
Eksamensnivå

For hvilke aa har systemet x+ay=1, ax+y=1x+ay=1,\ ax+y=1 (i) entydig, (ii) ingen, (iii) uendelig mange løsninger?

Eksamensrettet oppgavepulje

📝Oppgave 6

Finn standardmatrisen til T(x,y)=(2x, 3y)T(x,y)=(2x,\,3y) (skalering), og avgjør om TT er inverterbar.

📝Oppgave 7

Er T(x,y)=(x−y, 2)T(x,y)=(x-y,\,2) en lineæravbildning? Begrunn.

📝Oppgave 8
T:R3→R3T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 har standardmatrise A=(121011110)A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}. Er TT injektiv? Surjektiv? Inverterbar?
📝Oppgave 9
Eksamensnivå, sjanger R

Vis at hvis T:Rn→RnT:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n er en injektiv lineæravbildning, så er TT også surjektiv.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Projeksjonsmatrise

Standardmatrisen til en projeksjon ned på en linje eller et plan gjennom origo. Projeksjon på xx-aksen er (1000)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}. Projeksjoner er ikke inverterbare (det⁡=0\det=0): de «mister» en retning som ikke kan gjenskapes, så kjernen er større enn {0}\{0\}.

Skalering (homoteti)

En lineæravbildning T(x)=cxT(x)=cx som strekker (∣c∣>1|c|>1) eller krymper (∣c∣<1|c|<1) alt med faktoren cc. Standardmatrisen er cIncI_n. Den er inverterbar for c≠0c\ne0, med invers 1cIn\tfrac1c I_n.

Skjæravbildning (shear)

En lineæravbildning som «forskyver» langs én retning proporsjonalt med den andre koordinaten, f.eks. T(x,y)=(x+ky, y)T(x,y)=(x+ky,\,y) med matrise (1k01)\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}. Den har det⁡=1\det=1, er alltid inverterbar, og bevarer arealer — en «skjevstilling» som ikke krymper figurer.

Repetisjon
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.