1.5 Drill: radreduksjonspakken — basis · invers · parameter

Hele radreduksjons-repertoaret på eksamensnivå: basisavgjørelse, invers via [A|I], nullrom/rang og parameterløsbarhet — den faste O1-åpningen i det nye regimet, drillet til automatikk med merket føring.

90 min

11 oppgaver

Drillradreduksjonspakkenbasis · invers · parameter

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Lineæravbildninger og løsbarhet av Ax = b

Brukes videre i

1.PPrøver til del 1: Lineær algebra og radreduksjon

Dette er treningsleiren for O1 i det nye regimet — hele sjanger A samlet, drillet til automatikk.

- Sjanger A (radreduksjonspakken) er i 14 av 20 sett (70 %) og er nesten alltid åpningsoppgaven (O1) i V2025-regimet. Klarer du disse fem variantene raskt og med merket føring, sikrer du de billigste poengene før du bruker tid på de dyre O6-oppgavene.
- Variantkatalogen du må kjenne igjen på sekunder: (1) basisavgjørelse, (2) invers via $[A\,|\,I]$ , (3) basis for nullrom/søylerom + rang, (4) parameteravhengig løsbarhet, (5) kjedet delpunkt der inversen gjenbrukes.
- Føringspoengene sensor teller: merkede radoperasjoner, riktig konklusjonssetning med navngitt kriterium, og gjenbruk av inversen i neste delpunkt.

Prioritet: høyeste. Ingen ny teori her — bare mengdetrening på kap. 1.1–1.4.

Forkunnskaper. Hele Del 1: radreduksjon og trappeform (kap. 1.1), basis/nullrom/søylerom/rang (kap. 1.2), invers og inverterbarhetskriteriene (kap. 1.3), lineæravbildninger og parameterløsbarhet (kap. 1.4). Alt her forutsettes lært — dette kapitlet trener bruken under tidspress.

Løsningsoppskrift — radreduksjonspakken

Enhver sjanger A-oppgave løses i fire steg. Det som avgjør, er å stille opp riktig matrise i steg 1:

1. Still opp riktig matrise — dette bestemmes av spørsmålet:
- «Er vektorene en basis / uavhengige?» → skriv vektorene som søyler.
- «Finn inversen» → sett opp $[A\,|\,I_n]$ .
- «Løs $Ax=b$ » / «for hvilke parametre er systemet løsbart?» → sett opp $[A\,|\,b]$ .
- «Basis for nullrom/søylerom, rang?» → radreduser $A$ alene.

2. Radreduser med merkede operasjoner ( $II-2I$ , $III+I$ , …) over hvert $\sim$ -tegn — dette er føringspoeng.

3. Les av det spørsmålet krever:
- pivoter → rang og basis (søylerom = originalsøylene ved pivotene);
- frie variabler → basis for nullrommet (én vektor per fri variabel);
- $[I_n\,|\,A^{-1}]$ → inversen i høyre halvdel;
- konsistens (motsigelsesrad?) → løsbarhet.

4. Konkluder med det navngitte kriteriet — «radekvivalent med $I_n$ , altså danner søylene en basis», « $\det\ne0$ , altså inverterbar», «nullrad uten motsigelse, altså uendelig mange løsninger». Og gjenbruk en invers du alt har regnet.

✏️Gjennomregnet O1-case (basis + invers kjedet) — med sensornotater

La $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&5&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ .

a) Vis at $A$ er inverterbar og finn $A^{-1}$ .
b) Bruk (a) til å løse $Ax=(1,1,1)^T$ .
c) Danner søylene i $A$ en basis for $\mathbb{R}^3$ ?

a) Radreduser

[A\,|\,I_3]

\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\2&5&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]\overset{\;II-2I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&1&-2&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{array}\right]\overset{\;III-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&0\\0&1&1&-2&1&0\\0&0&1&2&-1&1\end{array}\right]

\overset{\;II-III,\ I-2II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&9&-4&2\\0&1&0&-4&2&-1\\0&0&1&2&-1&1\end{array}\right]

Sensor: hver radoperasjon er merket over $\sim$ — det er her føringspoengene ligger. Venstre halvdel ble

I_3

, altså er

A

inverterbar (radekvivalent med

I_3

), og

A^{-1}=\begin{pmatrix}9&-4&2\\-4&2&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}.

Sensor: konklusjonssetningen «radekvivalent med $I_3$ ⇒ inverterbar» gir uttelling, ikke bare tallene.

b) Gjenbruk inversen: $x=A^{-1}(1,1,1)^T=\begin{pmatrix}9-4+2\\-4+2-1\\2-1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-3\\2\end{pmatrix}$ . Sensor: her premieres at du bruker inversen fra (a) i stedet for å radredusere på nytt — vis koblingen eksplisitt. Kontroll: $1\cdot7+2\cdot(-3)+0\cdot2=1$ ✓.

c) Siden $A$ er inverterbar (fra a), er søylene radekvivalente med $I_3$ , altså danner de en basis for $\mathbb{R}^3$ (inverterbarhetsteoremet, punkt 4). Sensor: ikke regn på nytt — (a) har allerede avgjort dette; bare siter kriteriet.

Typiske feil

De samme tabbene går igjen på hver sjanger A-oppgave. Samlet, så du kjenner dem igjen under tidspress:

- Umerkede radoperasjoner. Hvert $\sim$ skal ha operasjonen skrevet over seg ( $II-2I$ , $III+I$ ). Uten merking mister du føringspoengene sensor teller — også når svaret er riktig.
- Søylerom-fellen. Basis for søylerommet er originalsøylene i $A$ ved pivotposisjonene, aldri søylene fra trappeformen. Radoperasjoner bevarer radrommet, men endrer søylerommet. Finn hvilke søyler ved reduksjon, men hent selve vektorene fra $A$ .
- Feil oppsett. Oppsettet bestemmes av spørsmålet: basis/uavhengighet → vektorene som søyler; invers → $[A\,|\,I_n]$ ; løse/løsbarhet → $[A\,|\,b]$ ; rang/nullrom → $A$ alene. Feil matrise gir feil svar uansett hvor pent du regner.
- «Ingen løsning» uten å sjekke høyresiden. Når pivotet blir null i en parameteroppgave, avgjør høyresiden i den kritiske raden utfallet: er den $0$ , blir det uendelig mange løsninger, ikke ingen. Les alltid av høyresiden før du konkluderer.
- Glemt delpunkt-gjenbruk. En invers regnet i (a) er ment brukt i (b) og (c). Regn tunge ting én gang, gjenbruk resultatet og vis koblingen — å radredusere på nytt koster tid og signaliserer at du ikke så strukturen.
- Manglende konklusjonssetning. Tallene alene gir ikke full uttelling. Skriv det navngitte kriteriet: «radekvivalent med $I_n$ , altså inverterbar», «nullrad uten motsigelse, altså uendelig mange løsninger».
- Fortegnsfeil i reduksjonen. Én fortegnsbom forplanter seg gjennom hele radreduksjonen. Kontroller et delsvar ved å sette det inn i $Ax=b$ .

Drilloppgaver — hele variantkatalogen

Hver oppgave er merket med hvilken variant den trener. Før alle med merkede radoperasjoner.

📝Oppgave 1

Variant 1

Danner $v_1=(1,2,1),\,v_2=(0,1,1),\,v_3=(1,0,1)$ en basis for $\mathbb{R}^3$ ?

📝Oppgave 2

Variant 2

Finn inversen til $A=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&1\\2&1&2\end{pmatrix}$ .

📝Oppgave 3

Variant 3

Finn rangen og en basis for nullrommet til $A=\begin{pmatrix}1&3&2&5\\2&6&1&7\\1&3&1&4\end{pmatrix}$ .

📝Oppgave 4

Variant 4

For hvilke $a$ har systemet $x+y+z=1,\ x+2y+3z=2,\ 2x+3y+az=3$ entydig / ingen / uendelig mange løsninger?

📝Oppgave 5

Variant 5

Vektorene $a_1=(1,2,1)$ og $a_2=(2,1,3)$ er uavhengige. Utvid $\{a_1,a_2\}$ til en basis for $\mathbb{R}^3$ .

📝Oppgave 6

(Kjedet — invers gjenbrukt.) La $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\1&2&4\end{pmatrix}$ . a) Finn $A^{-1}$ . b) Løs $Ax=(2,3,7)^T$ . c) Løs $Ay=(1,1,2)^T$ ved å gjenbruke $A^{-1}$ .

📝Oppgave 7

Variant 3

Finn en basis for søylerommet og rangen til $A=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&4&7&3\\1&2&4&2\end{pmatrix}$ .

📝Oppgave 8

Variant 1

Er $(1,2,3),(2,4,6),(0,1,0)$ lineært uavhengige?

📝Oppgave 9

Variant 4

For hvilke $a$ danner søylene i $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\2&3&a\end{pmatrix}$ en basis for $\mathbb{R}^3$ ?

📝Oppgave 10

(Kjedet, eksamensnivå.) La $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&5&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ med $A^{-1}=\begin{pmatrix}9&-4&2\\-4&2&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}$ (fra O1-caset). a) Løs $Ax=(3,1,1)^T$ . b) Er $(3,1,1)$ i søylerommet til $A$ ? c) Hva er rangen til $A$ ?

📝Oppgave 11

(Blandet O1-simulering.) La $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ . a) Avgjør om $A$ er inverterbar. b) Finn en basis for nullrommet til $A$ hvis den ikke er trivielt, ellers begrunn at nullrommet er $\{0\}$ . c) Er søylene en basis for $\mathbb{R}^3$ ?

Hurtigreferanse (flashcards)

De fem avgjørelsene som styrer enhver sjanger A-oppgave, i kortform.

Riktig oppsett per spørsmål

[A\,|\,I_n]

Avlesning fra trappeformen

[I_n\,|\,A^{-1}]

Navngitt konklusjonssetning

I_n

Søylerom-fellen

A

Delpunkt-gjenbruk

Eksamensoppgavene er kjedet: en invers regnet i (a) er ment brukt i (b) og (c). Regn tunge ting én gang, gjenbruk resultatet, og vis koblingen. Å regne samme invers to ganger koster tid og signaliserer at du ikke så strukturen.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.