Tilbake
1.2
Alle fag for Høyskole

1.2 Basis, lineær uavhengighet, nullrom, søylerom og rang

Fra radreduksjon til de sentrale underromsbegrepene: skriv vektorene som søyler, reduser, konkluder «radekvivalent med Iₙ ⇒ basis» — slik fasiten gjør.

55 min
13 oppgaver
Basislineær uavhengighetnullromsøyleromrang
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Alt bygger på radreduksjon til trappeform fra kap. 1.1 — du skal telle pivoter og lese av frie variabler. Vektorbegrepet i R3\mathbb{R}^3 (koordinater, addisjon, skalering) hentes fra Vektorer i tre dimensjoner. Ingen ny regneteknikk innføres; alt nytt er tolkningen av trappeformen.

I kap. 1.1 løste vi likningssystemer. Nå spør vi mer strukturelle spørsmål: Er disse vektorene «uavhengige», eller er én av dem overflødig? Hvor mange retninger spenner de ut? Hvilke input gir null ut? Svarene på alt dette leses av samme trappeform — pivotene og de frie variablene forteller historien.

Begrepene basis, nullrom, søylerom og rang er språket resten av lineær algebra (og funksjonsteoremene i Del 2) er skrevet i. Vi bygger dem i fem løkker: (1) lineær kombinasjon og uavhengighet, (2) basis og dimensjon, (3) nullrom, (4) søylerom og rang, (5) utvidelse til basis. Hver løkke: teori → eksempel → øvingsoppgave.

Løkke 1 — Lineær kombinasjon, spenn og uavhengighet (~12 min)

Lineær kombinasjon
En vektor bygget av andre vektorer ved skalering og addisjon. En lineær kombinasjon av v1,…,vkv_1,\dots,v_k er et uttrykk

c1v1+c2v2+⋯+ckvk,c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k,

der c1,…,ckc_1,\dots,c_k er tall (skalarer). Å spørre «kan ww skrives som en lineær kombinasjon av v1,…,vkv_1,\dots,v_k?» er nøyaktig å spørre om likningssystemet c1v1+⋯+ckvk=wc_1 v_1+\cdots+c_k v_k = w er løsbart.

Spenn (span)
Alle vektorene du kan lage som lineære kombinasjoner av en gitt samling. Spennet til v1,…,vkv_1,\dots,v_k, skrevet sp⁡{v1,…,vk}\operatorname{sp}\{v_1,\dots,v_k\}, er mengden av alle c1v1+⋯+ckvkc_1v_1+\cdots+c_kv_k. Geometrisk er det linjen, planet eller rommet vektorene «fyller ut» gjennom origo.
Underrom

En delmengde U⊆RnU\subseteq\mathbb{R}^n som er lukket under addisjon og skalering, og inneholder nullvektoren. Konkret: hvis u,w∈Uu,w\in U, så ligger både u+wu+w og cucu i UU. Spennet til en vektorsamling er alltid et underrom, og nullrom og søylerom (under) er de to viktigste eksemplene.

Lineær uavhengighet

Vektorene v1,…,vkv_1,\dots,v_k er lineært uavhengige når den eneste måten å få c1v1+⋯+ckvk=0c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0 på, er den trivielle c1=⋯=ck=0c_1=\cdots=c_k=0. Ingen av vektorene kan da skrives ved de andre — ingen er «overflødig». Test: skriv dem som søyler i en matrise og radreduser; uavhengighet betyr at hver søyle får et pivot.

Lineær avhengighet

Det motsatte: det finnes tall c1,…,ckc_1,\dots,c_k som ikke alle er null, med c1v1+⋯+ckvk=0c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0. Da kan minst én vektor uttrykkes ved de andre og er overflødig. I trappeformen viser dette seg som minst én søyle uten pivot (en fri variabel).

✏️Eksempel 1: Uavhengig eller avhengig?

Avgjør om (a) v1=(1,2,1), v2=(2,3,0), v3=(1,1,1)v_1=(1,2,1),\,v_2=(2,3,0),\,v_3=(1,1,1) og (b) w1=(1,2,1), w2=(2,1,3), w3=(3,3,4)w_1=(1,2,1),\,w_2=(2,1,3),\,w_3=(3,3,4) er lineært uavhengige.

a) Skriv vektorene som søyler og radreduser:
[121231101]∼  II−2I, III−I  [1210−1−10−20]∼  III−2II  [1210−1−1002]\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&1\\1&0&1\end{array}\right]\overset{\;II-2I,\ III-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-1\\0&-2&0\end{array}\right]\overset{\;III-2II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-1\\0&0&2\end{array}\right]
Tre pivoter, én i hver søyle ⇒ lineært uavhengige.

b) Her er w3=w1+w2w_3=w_1+w_2 (sjekk: (1,2,1)+(2,1,3)=(3,3,4)(1,2,1)+(2,1,3)=(3,3,4)), så vi venter avhengighet:
[123213134]∼  II−2I, III−I  [1230−3−3011]∼  III+13II  [1230−3−3000]\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\\1&3&4\end{array}\right]\overset{\;II-2I,\ III-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&-3&-3\\0&1&1\end{array}\right]\overset{\;III+\tfrac13 II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&-3&-3\\0&0&0\end{array}\right]
Bare to pivoter, tredje søyle uten pivot ⇒ lineært avhengige. Relasjonen er w1+w2−w3=0w_1+w_2-w_3=0.

📝Oppgave 1

Avgjør om vektorene u1=(1,0,2), u2=(0,1,1), u3=(2,1,5)u_1=(1,0,2),\ u_2=(0,1,1),\ u_3=(2,1,5) er lineært uavhengige.

Løkke 2 — Basis, dimensjon og basiskriteriet (~12 min)

Basis

Et minste mulige sett vektorer som spenner ut et rom — presist: vektorer som både er lineært uavhengige og spenner ut hele rommet. En basis for Rn\mathbb{R}^n eller for et underrom gir «koordinatakser»: hver vektor i rommet skrives på nøyaktig én måte som lineær kombinasjon av basisvektorene.

Dimensjon

Antall vektorer i en basis. Dette tallet er det samme uansett hvilken basis man velger, og måler «hvor mange frihetsgrader» rommet har. Rn\mathbb{R}^n har dimensjon nn; en linje gjennom origo har dimensjon 1, et plan gjennom origo dimensjon 2.

Standardbasisen

Den enkleste basisen for Rn\mathbb{R}^n: enhetsvektorene e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,0,…,0), …, ene_1=(1,0,\dots,0),\ e_2=(0,1,0,\dots,0),\ \dots,\ e_n. Koordinatene til en vektor mht. standardbasisen er nettopp tallene i vektoren. Andre baser gir andre koordinater for samme vektor.

📜Basiskriteriet for nn vektorer i Rn\mathbb{R}^n

For nn vektorer i Rn\mathbb{R}^n er følgende ekvivalent: (1) de danner en basis; (2) matrisen med vektorene som søyler er radekvivalent med InI_n; (3) determinanten er ≠0\ne 0. Konklusjonssetningen sensor vil se, er nettopp «matrisen er radekvivalent med InI_n, altså danner søylene en basis». Har man færre enn nn uavhengige vektorer, spenner de bare ut et underrom av lavere dimensjon.

✏️Eksempel 2: Danner vektorene en basis for $\mathbb{R}^3$?

Avgjør om v1=(1,1,0), v2=(0,1,1), v3=(1,0,1)v_1=(1,1,0),\,v_2=(0,1,1),\,v_3=(1,0,1) danner en basis for R3\mathbb{R}^3. Hvis ikke, finn dimensjonen til spennet og en basis for det.

Skriv som søyler og radreduser:
[101110011]∼  II−I  [10101−1011]∼  III−II  [10101−1002]\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\overset{\;II-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&-1\\0&1&1\end{array}\right]\overset{\;III-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&2\end{array}\right]
Tre pivoter ⇒ matrisen er radekvivalent med I3I_3 ⇒ vektorene danner en basis for R3\mathbb{R}^3 (dimensjon 3). (Determinantsjekk: det⁡≠0\det\ne0 siden alle pivoter er ikke-null.)
📝Oppgave 2

Danner v1=(1,2,1), v2=(2,4,3), v3=(3,6,4)v_1=(1,2,1),\,v_2=(2,4,3),\,v_3=(3,6,4) en basis for R3\mathbb{R}^3? Hvis ikke, oppgi dimensjonen til spennet og en basis for spennet.

Løkke 3 — Nullrom (~10 min)

Nullrom N(A)N(A)

Mengden av alle input som avbildes til null: N(A)={x:Ax=0}N(A)=\{x:Ax=0\}. Det er nettopp løsningsmengden til det homogene systemet fra kap. 1.1. En basis for nullrommet finnes ved å radredusere AA, sette hver fri variabel til en parameter, og lese ut retningsvektorene — én basisvektor per fri variabel.

Nullitet

Dimensjonen til nullrommet, altså antall frie variabler i Ax=0Ax=0. Nullitet 00 betyr at bare x=0x=0 løser systemet (søylene er uavhengige); positiv nullitet betyr ikke-trivielle løsninger.

✏️Eksempel 3: Basis for nullrommet

Finn en basis for nullrommet til A=[12010012]A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&0&1\\0&0&1&2\end{array}\right].

Matrisen er allerede på redusert trappeform. Pivoter i søyle 1 og 3 ⇒ x1,x3x_1,x_3 bundne; x2,x4x_2,x_4 frie. Fra radene: x1=−2x2−x4x_1=-2x_2-x_4 og x3=−2x4x_3=-2x_4. Sett x2=s, x4=tx_2=s,\ x_4=t:
x=(x1,x2,x3,x4)=s (−2,1,0,0)+t (−1,0,−2,1).x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=s\,(-2,1,0,0)+t\,(-1,0,-2,1).
Basis for N(A)N(A): {(−2,1,0,0), (−1,0,−2,1)}\{(-2,1,0,0),\,(-1,0,-2,1)\}; nulliteten er 2. (Kontroll: A(−2,1,0,0)T=(0,0)TA(-2,1,0,0)^T=(0,0)^T ✓, A(−1,0,−2,1)T=(0,0)TA(-1,0,-2,1)^T=(0,0)^T ✓.)
📝Oppgave 3

Finn en basis for nullrommet til A=[13−1226−15]A=\left[\begin{array}{cccc}1&3&-1&2\\2&6&-1&5\end{array}\right] og oppgi nulliteten.

Løkke 4 — Søylerom, rang og rang–nullitet (~12 min)

Søylerom Col⁡(A)\operatorname{Col}(A)

Spennet av søylene i AA — alle vektorer på formen AxAx. En basis for søylerommet er de opprinnelige søylene i AA som svarer til pivotposisjonene i trappeformen. Merk fellen: du finner hvilke søyler ved å radredusere, men basisvektorene er søylene fra originalmatrisen, ikke fra trappeformen (radreduksjon endrer søylerommet).

Rang

Antall pivoter i trappeformen til AA. Rangen er samtidig dimensjonen til søylerommet (og til radrommet). Den måler hvor mange «uavhengige retninger» søylene til sammen dekker.

📜Rang–nullitet-setningen
For en m×nm\times n-matrise AA gjelder

rang⁡(A)+dim⁡N(A)=n(antall søyler).\operatorname{rang}(A)+\dim N(A)=n\quad(\text{antall søyler}).

Hver søyle er enten en pivotsøyle (bidrar til rangen) eller svarer til en fri variabel (bidrar til nulliteten) — aldri begge. Setningen er en gratis kontroll: har du regnet rang 22 av en matrise med 44 søyler, må nulliteten være 22.

✏️Eksempel 4: Søylerom, rang og nullitet

For A=[121324371224]A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&3\\2&4&3&7\\1&2&2&4\end{array}\right]: finn rangen, en basis for søylerommet, og kontroller rang–nullitet-setningen.

[121324371224]∼  II−2I, III−I  [121300110011]∼  III−II  [121300110000]\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&3\\2&4&3&7\\1&2&2&4\end{array}\right]\overset{\;II-2I,\ III-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&3\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}\right]\overset{\;III-II\;}{\sim}\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&3\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]
Pivoter i søyle 1 og 3 ⇒ rang⁡(A)=2\operatorname{rang}(A)=2. En basis for søylerommet er de tilhørende originalsøylene: {(1,2,1), (1,3,2)}\{(1,2,1),\,(1,3,2)\} (søyle 1 og søyle 3 i AA — ikke i trappeformen).

Søyle 2 og 4 er frie ⇒ nullitet 2. Kontroll: rang⁡+dim⁡N=2+2=4=\operatorname{rang}+\dim N=2+2=4= antall søyler ✓.

📝Oppgave 4

For A=[1−1212−2531−110]A=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&2&1\\2&-2&5&3\\1&-1&1&0\end{array}\right]: finn rangen og en basis for søylerommet.

Løkke 5 — Utvide et uavhengig sett til en basis (~9 min)

Utvidelse til basis

Ethvert lineært uavhengig sett i Rn\mathbb{R}^n kan fylles opp til en basis ved å legge til flere vektorer. Praktisk grep: sett de gitte vektorene som de første søylene, føy på standardbasisvektorene e1,…,ene_1,\dots,e_n, radreduser, og behold de opprinnelige pluss de eie_i-ene som får nye pivoter — til du har nn pivoter.

✏️Eksempel 5: Utvid til en basis for $\mathbb{R}^3$

Vektorene a1=(1,1,1)a_1=(1,1,1) og a2=(1,2,3)a_2=(1,2,3) er uavhengige. Utvid {a1,a2}\{a_1,a_2\} til en basis for R3\mathbb{R}^3.

Sett a1,a2a_1,a_2 som søyler og føy på standardbasisen e1,e2,e3e_1,e_2,e_3; radreduser og plukk pivotsøyler:
[111001201013001]∼  II−I, III−I  [1110001−11002−101]∼  III−2II  [1110001−110001−21]\left[\begin{array}{cc|ccc}1&1&1&0&0\\1&2&0&1&0\\1&3&0&0&1\end{array}\right]\overset{\;II-I,\ III-I\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&0\\0&1&-1&1&0\\0&2&-1&0&1\end{array}\right]\overset{\;III-2II\;}{\sim}\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&0&0\\0&1&-1&1&0\\0&0&1&-2&1\end{array}\right]
Pivoter dukker opp i søyle 1, 2 og 3. Søyle 3 er e1e_1. Altså gir {a1,a2,e1}={(1,1,1),(1,2,3),(1,0,0)}\{a_1,a_2,e_1\}=\{(1,1,1),(1,2,3),(1,0,0)\} tre pivoter ⇒ en basis for R3\mathbb{R}^3.
📝Oppgave 5

Vektoren a=(2,1,−1)a=(2,1,-1) er uavhengig (én ikke-null-vektor). Utvid {a}\{a\} til en basis for R3\mathbb{R}^3 ved å legge til standardbasisvektorer.

Eksamensrettet oppgavepulje

📝Oppgave 6

Er (1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) en basis for R3\mathbb{R}^3? Begrunn med et kriterium.

📝Oppgave 7

Hva er rangen og nulliteten til A=[123246]A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&4&6\end{array}\right]?

📝Oppgave 8

La U=sp⁡{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,2,1,0)}U=\operatorname{sp}\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,2,1,0)\}. Finn dim⁡U\dim U og en basis for UU.

📝Oppgave 9
Eksamensnivå

For A=[121124341223]A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&1\\2&4&3&4\\1&2&2&3\end{array}\right]:

a) finn rang og en basis for søylerommet

b) finn en basis for nullrommet

c) bekreft rang–nullitet.

📝Oppgave 10

(Teori, sjanger R.) Forklar hvorfor fire vektorer i R3\mathbb{R}^3 aldri kan være lineært uavhengige.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Koordinater mht. en basis

Tallene (c1,…,cn)(c_1,\dots,c_n) i den entydige framstillingen v=c1u1+⋯+cnunv=c_1u_1+\cdots+c_nu_n av en vektor vv i en basis {u1,…,un}\{u_1,\dots,u_n\}. At framstillingen er entydig, er selve poenget med en basis — den fungerer som et koordinatsystem.

Radrom

Spennet av radene i AA. Radrommet har samme dimensjon som søylerommet — nemlig rangen — selv om de to rommene generelt består av ulike vektorer. En basis for radrommet er de ikke-null radene i trappeformen.

Trivielt underrom

Underrommet {0}\{0\} som bare inneholder nullvektoren, med dimensjon 00. Det er nullrommet til en inverterbar matrise: da har Ax=0Ax=0 kun trivialløsningen.

Maksimalt uavhengig sett

Et lineært uavhengig sett i et rom som ikke kan utvides med flere vektorer fra rommet uten å bli avhengig. Et slikt sett er nettopp en basis for rommet, og størrelsen er dimensjonen.

Endeligdimensjonalt rom

Et rom som har en basis med et endelig antall vektorer — som Rn\mathbb{R}^n og alle dets underrom. All teorien i dette kapitlet gjelder slike rom; dimensjonen er da et veldefinert, endelig tall.

Spennende sett (generatormengde)

En samling vektorer hvis spenn er hele rommet — de «genererer» rommet, men trenger ikke være uavhengige. Et spennende sett kan ha overflødige vektorer; fjerner man dem til settet blir uavhengig, sitter man igjen med en basis.

Full rang

En matrise har full rang når rangen er så stor som mulig — lik det minste av antall rader og søyler. For en kvadratisk n×nn\times n-matrise betyr full rang (=n=n) at den er inverterbar (kap. 1.3): alle søyler er pivotsøyler, nullrommet er trivielt.

Repetisjon
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.