Tilbake
5.5
Alle fag for Høyskole

5.5 Stokes' teorem og curl

∮ F·dr = ∬ curl F·n dS — den nyeste sjangeren (konte 2025): regn curl F, gjenkjenn et alt utregnet felt, og la randbidrag som forsvinner falle bort.

50 min
10 oppgaver
Stokes' teoremcurl
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger på divergensteoremet og fluks fra kap. 5.4 (Stokes er den andre store integralsatsen) og linjeintegral fra kap. 5.2 (venstre side av Stokes er et linjeintegral). Kryssproduktet fra kap. 5.1 brukes i curl⁡\operatorname{curl}.

Sist du var her. Linjeintegral: ∮CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt. Fluks: ∫SF⋅n dS=∬RF(ϕ)⋅(ϕu×ϕv) du dv\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_R\mathbf F(\boldsymbol{\phi})\cdot(\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v)\,du\,dv. Greens teorem (kap. 5.2): ∮CP dx+Q dy=∬A(∂xQ−∂yP) dA\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_A(\partial_x Q-\partial_y P)\,dA — som vi nå ser er Stokes i planet.

Der divergensteoremet knytter et volumintegral til fluks gjennom en lukket flate, knytter Stokes' teorem et flateintegral til et linjeintegral rundt flatens rand. Det lar deg bytte et vanskelig linjeintegral rundt en kurve mot et fluksintegral av curl gjennom en flate den spenner opp — eller omvendt.

Curl curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F måler feltets lokale «virvling» (rotasjon). Det virkelig nyttige på eksamen er å regne curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F og kjenne igjen at det er et felt du allerede har fluksen til — da er linjeintegralet gratis. Vi går i to løkker: (1) curl og Stokes' teorem, (2) gjenkjenningsgrepet og randbidrag som forsvinner.

Løkke 1 — Curl og Stokes' teorem (~22 min)

Curl (virvling)
Curl til F=(F1,F2,F3)\mathbf F=(F_1,F_2,F_3) er vektorfeltet
curl⁡F=∇×F=∣ijk∂x∂y∂zF1F2F3∣=(∂F3∂y−∂F2∂z,  ∂F1∂z−∂F3∂x,  ∂F2∂x−∂F1∂y).\operatorname{curl}\mathbf F=\nabla\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ F_1&F_2&F_3\end{vmatrix}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
Det måler feltets lokale rotasjon: peker curl langs en akse, virvler feltet rundt den aksen. Regnes greiest som en 3×33\times3-determinant.
📜Stokes' teorem
La SS være en orientert flate med enhetsnormal n\mathbf n og positivt orientert randkurve C=∂SC=\partial S (høyrehåndsregelen). For et C1C^1-felt F\mathbf F:
∮CF⋅dr=∬Scurl⁡F⋅n dS.\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.
Sirkulasjonen av F\mathbf F rundt randen er lik fluksen av curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F gjennom flaten. (Formelsamlingens V2022-utgave mangler dette — kunn det utenat.)
Høyrehåndsregelen (orientering)

Normalen n\mathbf n og randens gjennomløpsretning CC må henge sammen: krøll høyre hånds fingre i kurvens retning, så peker tommelen langs n\mathbf n. For en flate i xyxy-planet med oppadrettet normal n=k\mathbf n=\mathbf k betyr det at randen gjennomløpes mot klokka sett ovenfra. Feil kobling gir feil fortegn.

✏️Eksempel 1: Stokes på en disk i planet

La F=(−y, x, z)\mathbf F=(-y,\,x,\,z) og CC være enhetssirkelen x2+y2=1x^2+y^2=1 i planet z=0z=0, orientert mot klokka sett ovenfra. Bruk Stokes' teorem til å regne ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.

Curl:
curl⁡F=(∂yz−∂zx,  ∂z(−y)−∂xz,  ∂xx−∂y(−y))=(0−0,  0−0,  1−(−1))=(0,0,2).\operatorname{curl}\mathbf F=\Big(\partial_y z-\partial_z x,\;\partial_z(-y)-\partial_x z,\;\partial_x x-\partial_y(-y)\Big)=(0-0,\;0-0,\;1-(-1))=(0,0,2).

Velg flaten SS = disken x2+y2≤1x^2+y^2\le1 i z=0z=0, med oppadrettet normal n=k\mathbf n=\mathbf k (høyrehåndsregelen: mot klokka ↔\leftrightarrow oppover — stemmer med orienteringen).

Fluks av curl: curl⁡F⋅n=(0,0,2)⋅(0,0,1)=2\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n=(0,0,2)\cdot(0,0,1)=2 (konstant). Ved den geometriske snarveien (plan flate, konstant integrand):
∮CF⋅dr=∬S2 dS=2⋅Areal(S)=2⋅π⋅12=2π.\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S 2\,dS=2\cdot\text{Areal}(S)=2\cdot\pi\cdot1^2=2\pi.

Kontroll (direkte): r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,0)\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,0), F=(−sin⁡t,cos⁡t,0)\mathbf F=(-\sin t,\cos t,0), r′=(−sin⁡t,cos⁡t,0)\mathbf r'=(-\sin t,\cos t,0), F⋅r′=sin⁡2t+cos⁡2t=1\mathbf F\cdot\mathbf r'=\sin^2t+\cos^2t=1, ∫02π1 dt=2π\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi. Stemmer. Svar: 2π2\pi.

📝Oppgave 1

(Innsteg — curl.) Regn curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F for a) F=(z,x,y)\mathbf F=(z,x,y) og b) F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z).

📝Oppgave 2

(Stokes på en disk.) La F=(−3y, 3x, z2)\mathbf F=(-3y,\,3x,\,z^2) og CC være sirkelen x2+y2=4x^2+y^2=4 i planet z=0z=0, mot klokka sett ovenfra. Regn ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r med Stokes.

Løkke 2 — Gjenkjenn curl-feltet, la randbidrag forsvinne (~18 min)

Gjenkjenn curl som et alt utregnet felt

Regimets hovedgrep: regn curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F, og kjenn igjen at det er lik et vektorfelt G\mathbf G du allerede har fluksen til gjennom flaten SS. Da er ∮CF⋅dr=∬SG⋅n dS\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S\mathbf G\cdot\mathbf n\,dS — et fluksintegral du har regnet i et tidligere delpunkt. Delpunkt-kjeding satt i system.

Randbidrag som forsvinner

Er randkurven CC satt sammen av flere linjestykker, og F=0\mathbf F=\mathbf 0 på noen av dem, faller bidraget fra de stykkene bort: ∫stykkeF⋅dr=0\int_{\text{stykke}}\mathbf F\cdot d\mathbf r=0 der F=0\mathbf F=\mathbf 0. Da bidrar bare de stykkene der F≠0\mathbf F\ne\mathbf 0 — ofte bare ett. Sjekk feltet på hvert randstykke.

Konservativt felt har curl null

Er F\mathbf F konservativt (F=∇φ\mathbf F=\nabla\varphi), er curl⁡F=curl⁡(∇φ)=0\operatorname{curl}\mathbf F=\operatorname{curl}(\nabla\varphi)=\mathbf 0 overalt. Da gir Stokes ∮CF⋅dr=∬S0⋅n dS=0\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S\mathbf 0\cdot\mathbf n\,dS=0 rundt enhver lukket kurve — samme konklusjon som fundamentalteoremet i kap. 5.2.

✏️Eksempel 2: Stokes ved gjenkjenning av curl-feltet

La F=(z, x, y)\mathbf F=(z,\,x,\,y) og SS være øvre halvkuleflate x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1, z≥0z\ge0, med utadrettet (oppadrettet) normal, og rand CC = ekvatorsirkelen x2+y2=1x^2+y^2=1, z=0z=0. Bruk Stokes til å regne ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.

Curl: curl⁡F=(∂yy−∂zx,  ∂zz−∂xy,  ∂xx−∂yz)=(1,1,1)\operatorname{curl}\mathbf F=(\partial_y y-\partial_z x,\;\partial_z z-\partial_x y,\;\partial_x x-\partial_y z)=(1,1,1) (konstant).

Nøkkelobservasjon: Ved Stokes er ∮CF⋅dr=∬S(1,1,1)⋅n dS\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(1,1,1)\cdot\mathbf n\,dS. Men fluksen av det konstante feltet (1,1,1)(1,1,1) gjennom halvkuleflaten er lettest å regne over den flate randkurven-flaten (disken x2+y2≤1x^2+y^2\le1, z=0z=0) — for Stokes gir samme svar for enhver flate med samme rand CC.

Velg disken S′S': x2+y2≤1x^2+y^2\le1, z=0z=0, oppadrettet n=k\mathbf n=\mathbf k. Da curl⁡F⋅n=(1,1,1)⋅(0,0,1)=1\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n=(1,1,1)\cdot(0,0,1)=1, og
∮CF⋅dr=∬S′1 dS=1⋅Areal=π⋅12=π.\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_{S'}1\,dS=1\cdot\text{Areal}=\pi\cdot1^2=\pi.

Kontroll (direkte over ekvator): r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,0)\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,0), F=(z,x,y)=(0,cos⁡t,sin⁡t)\mathbf F=(z,x,y)=(0,\cos t,\sin t), r′=(−sin⁡t,cos⁡t,0)\mathbf r'=(-\sin t,\cos t,0), F⋅r′=0⋅(−sin⁡t)+cos⁡t⋅cos⁡t+sin⁡t⋅0=cos⁡2t\mathbf F\cdot\mathbf r'=0\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t+\sin t\cdot0=\cos^2t, ∫02πcos⁡2t dt=π\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi. Stemmer. Svar: π\pi. Poenget: vi byttet den krumme halvkulen mot den flate disken med samme rand — Stokes tillater det.

📝Oppgave 3

(Randbidrag som forsvinner.) La F=(y, −x, 0)\mathbf F=(y,\,-x,\,0) og CC være randen (mot klokka sett ovenfra) av kvadratet 0≤x≤20\le x\le2, 0≤y≤20\le y\le2 i planet z=0z=0. Bruk Stokes til å regne ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.

📝Oppgave 4

(Gjenkjenning + kontroll.) La F=(2y, 3z, x)\mathbf F=(2y,\,3z,\,x) og SS være disken x2+y2≤1x^2+y^2\le1 i planet z=0z=0, oppadrettet normal, med rand CC mot klokka. a) Regn curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F. b) Bruk Stokes til å finne ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r.

Blandede eksamensoppgaver

📝Oppgave 5

(Gjengivelse.) Skriv opp Stokes' teorem og forklar høyrehåndsregelen med én setning.

📝Oppgave 6

(Green som spesialtilfelle av Stokes.) Vis at Greens teorem ∮CP dx+Q dy=∬A(∂xQ−∂yP) dA\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_A(\partial_x Q-\partial_y P)\,dA følger av Stokes for et plant felt F=(P,Q,0)\mathbf F=(P,Q,0) i xyxy-planet.

📝Oppgave 7

(Curl null.) La F=(2x, 2y, 2z)\mathbf F=(2x,\,2y,\,2z). a) Regn curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F. b) Hva er ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r rundt enhver lukket kurve? Begrunn med Stokes.

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Curl som rotasjon
curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F i et punkt peker langs rotasjonsaksen til feltets lokale virvling, med lengde proporsjonal med virvlingsstyrken. En liten «padleåre» plassert i feltet ville rotere raskest om denne aksen. Er curl null, er feltet virvelfritt.
Sirkulasjon = fluks av curl

Stokes tolkes slik: sirkulasjonen av F\mathbf F langs randen CC (venstre side) er lik den totale virvlingen (curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F) som «passerer gjennom» flaten SS (høyre side). Virvlingen inni summeres til netto sirkulasjon langs kanten.

Flateuavhengighet

Stokes gir samme verdi for enhver flate SS med samme randkurve CC (så lenge F\mathbf F er glatt på alle). Derfor kan du bytte en krum flate (kuppel) mot den enkleste flate disken med samme rand — et sentralt regnegrep.

Green som spesialtilfelle

Greens teorem er Stokes anvendt på et plant felt F=(P,Q,0)\mathbf F=(P,Q,0) over en flate i xyxy-planet med n=k\mathbf n=\mathbf k: da er curl⁡F⋅n=∂xQ−∂yP\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n=\partial_x Q-\partial_y P, og Stokes reduseres til Green. Samme idé, én dimensjon lavere.

Curl som determinant

Regn curl⁡F\operatorname{curl}\mathbf F som 3×33\times3-determinanten med i,j,k\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k i øverste rad, ∂x,∂y,∂z\partial_x,\partial_y,\partial_z i midten og F1,F2,F3F_1,F_2,F_3 nederst. Dette gir automatisk riktig rekkefølge på de seks leddene og reduserer fortegnsfeil.

De to store integralsatsene

Divergensteoremet (kap. 5.4) og Stokes' teorem er vektoranalysens to store satser. Begge generaliserer analysens fundamentalteorem: divergens knytter volum til lukket flate, Stokes knytter flate til randkurve. Green er 2D-versjonen av begge.

Virvelfritt felt

Et felt med curl⁡F=0\operatorname{curl}\mathbf F=\mathbf 0 overalt er virvelfritt. På et enkeltsammenhengende område er dette ekvivalent med at feltet er konservativt (har et potensial), og da er all sirkulasjon null. Curl-testen er 3D-versjonen av ∂yP=∂xQ\partial_y P=\partial_x Q fra kap. 5.2.

Randstykker med F=0\mathbf F=\mathbf 0

Når randkurven består av flere linjestykker, sjekk feltet på hvert: der F=0\mathbf F=\mathbf 0, er ∫F⋅dr=0\int\mathbf F\cdot d\mathbf r=0 og stykket faller bort. Ofte gjenstår bare ett bidragende stykke — dette er konte-V2025-grepet.

Stokes mangler i formelsamlingen

V2022-formelsamlingen inneholder ikke Stokes' teorem (og heller ikke divergensteoremet). Begge må kunnes utenat. Sammen med orienteringsregelen (høyrehåndsregelen) er dette det du må ha klart før eksamen.

Vannrett flate: bare zz-komponenten av curl teller

Er flaten en vannrett disk med n=k\mathbf n=\mathbf k, er curl⁡F⋅n\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n bare zz-komponenten av curl. De to andre komponentene bidrar ikke — så du trenger ofte ikke regne dem. Fluksen blir (curl⁡F)z⋅areal(\operatorname{curl}\mathbf F)_z\cdot\text{areal} når den er konstant.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.