5.6 Drill: vektoranalyse-kjeden O6a–c

Regimets tyngste sluttoppgave drillet som helhet: parametrisert flate → fluks gjennom plan delflate → div F + trippelintegral → fluks gjennom krum delflate via divergensteoremet (evt. Stokes-innslag), med fortegns- og orienteringskontroll hele veien.

90 min

9 oppgaver

Drillvektoranalyse-kjeden O6a–c

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.5Stokes' teorem og curl

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Vektoranalyse: Green, Gauss og Stokes

Dette drillkapitlet trener den kjedede O6-oppgaven — regimets tyngste og dyreste sluttoppgave, 3 av 3 i V2025. Sjangeren er K + L (+ M) samlet: en parametrisert flate, fluks gjennom en plan delflate, $\operatorname{div}\mathbf F$ + trippelintegral, og fluks gjennom en krum delflate via divergensteoremet — noen ganger med et Stokes-innslag.

- Delpunktene er kjedet: fasiten gjenbruker eksplisitt O6a (plan fluks) og O6b (trippelintegral) i O6c (krum fluks $=$ O6b $-$ O6a).
- Fortegns- og orienteringskontroll hele veien: alle normaler ut av $V$ ; høyrehåndsregel i Stokes-varianten. Én fortegnsfeil tidlig forplanter seg gjennom hele kjeden.
- Tidsfelle: kjeden er tung. Planlegg tiden — du har ca. 24 min per deloppgave på den avsluttende eksamenen.

Alt teoristoffet er dekket i kap. 5.1–5.5; her er det ren drill på eksamensnivå.

Forkunnskaper. Hele Del 5: parametrisering og

\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v

kap. 5.1, fluks og geometrisk snarvei kap. 5.3, divergensteoremet kap. 5.4, Stokes kap. 5.5, og trippelintegral kap. 4.3. Dette er et rent drillkapittel — teorien forutsettes kjent.

Sist du var her — nøkkelformlene samlet:

$\text{Fluks: }\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_R\mathbf F(\boldsymbol{\phi})\cdot(\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v)\,du\,dv$
$\text{Snarvei (plan flate): }\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=(\mathbf F\cdot\mathbf n)\cdot\text{areal}$
$\operatorname{div}\mathbf F=\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3,\qquad \iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\oiint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$
$\text{Krum delflate: }\int_{T_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$
$\text{Stokes: }\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$

Løsningsoppskrift — O6-kjeden steg for steg

En typisk O6-oppgave gir et vektorfelt $\mathbf F$ og et solid $V$ hvis rand består av en enkel plan del $T_2$ (topplokk/bunn) og en krum del $T_1$ (paraboloide, kjegle, sylinder-side, sfære). Slik føres den:

1. Parametriser flaten(e) og fastsett normalretningen. Regn $\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v$ der du trenger en parametrisering, og kontroller at den peker som oppgitt $\mathbf n$ (ut av $V$ ). Bytt fortegn ellers.

2. Fluks gjennom den plane/enkle delen $T_2$ — bruk den geometriske snarveien når normalen er konstant og $\mathbf F\cdot\mathbf n$ konstant: $\int_{T_2}=(\mathbf F\cdot\mathbf n)\cdot\text{areal}$ .

3. $\operatorname{div}\mathbf F$ + trippelintegral over $V$ i riktige koordinater (sylinder/kule). Løs skjæringen først, skriv ulikhetene, faktorisér når integranden separerer.

4. Fluks gjennom den krumme delen $T_1=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}$ — navngi divergensteoremet.

5. Kontroller at alle $\mathbf n$ peker ut av $V$ (topp opp, bunn ned, side utover).

6. Stokes-variant: regn $\operatorname{curl}\mathbf F$ , gjenkjenn at det er et alt utregnet felt, og la randbidrag der $\mathbf F=\mathbf 0$ falle bort (høyrehåndsregel for orientering).

✏️Gjennomregnet eksamenscase: full O6a–c-kjede

La $\mathbf F=(x,\,y,\,z)$ og $V$ være det solide området inne i sylinderen $x^2+y^2\le4$ mellom $z=0$ og $z=3$ . a) Regn fluksen ut gjennom topplokket $z=3$ . b) Regn $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ . c) Bruk divergensteoremet til å finne fluksen ut gjennom den krumme sideflaten.

a) Fluks gjennom topplokket $T_2$ (sensor: fastsett normalretning + snarvei). Lokket er disken

z=3

x^2+y^2\le4

. Utadrettet normal peker oppover:

\mathbf n=\mathbf k

. På lokket er

\mathbf F\cdot\mathbf n=F_3=z=3

(konstant) — geometrisk snarvei siden flaten er plan og integranden konstant. Arealet er

\pi\cdot2^2=4\pi

\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=3\cdot4\pi=12\pi.

(Margnotat: her gir sensor uttelling for å (i) fastsette $\mathbf n=\mathbf k$ eksplisitt og (ii) bruke snarveien i stedet for full parametrisering.)

b) $\operatorname{div}\mathbf F$ + trippelintegral (sensor: riktig volumelement, eksakt svar). $\operatorname{div}\mathbf F=1+1+1=3$ (konstant). Sylinderkoordinater, $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ , med $0\le\theta\le2\pi$ , $0\le r\le2$ , $0\le z\le3$ :
$\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=3\iiint_V dV=3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2\!\!\int_0^3 r\,dz\,dr\,d\theta=3\cdot 2\pi\cdot\Big[\tfrac{r^2}{2}\Big]_0^2\cdot 3=3\cdot2\pi\cdot2\cdot3=36\pi.$
(Margnotat: faktoren $r$ i $dV$ er føringspoenget; konstant divergens $\Rightarrow$ $3\cdot\text{volum}$ , volum $=\pi\cdot2^2\cdot3=12\pi$ .)

c) Krum sideflate via divergensteoremet (sensor: navngi teoremet, gjenbruk delsvar, kontroller normaler). Randen er $\partial V=T_1\cup T_2\cup T_{\text{bunn}}$ : krum sideflate $T_1$ , topplokk $T_2$ , og bunn. Fluks gjennom bunnen $z=0$ : utadrettet $\mathbf n=-\mathbf k$ , $\mathbf F\cdot\mathbf n=-z=0$ der $z=0$ — altså $0$ .

Ifølge divergensteoremet er $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\int_{T_1}+\int_{T_2}+\int_{\text{bunn}}$ , så
$\int_{T_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}-\int_{\text{bunn}}=36\pi-12\pi-0=24\pi.$
(Margnotat: (c) gjenbruker (b) $=36\pi$ og (a) $=12\pi$ direkte — delpunkt-kjeding. Normalkontroll: topp opp, bunn ned, side ut — alle ut av $V$ .)

Svar: (a) $12\pi$ , (b) $36\pi$ , (c) $24\pi$ .

Drilloppgaver på eksamensnivå

📝Oppgave 1

(Komplett kjede — paraboloide.) La $\mathbf F=(2x,\,2y,\,2z)$ og $V$ være området mellom paraboloiden $z=x^2+y^2$ og planet $z=1$ . a) Fluks ut gjennom topplokket $z=1$ . b) $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ . c) Fluks ut gjennom paraboloide-delen via divergensteoremet.

📝Oppgave 2

(Komplett kjede — kjegle/sylinder-felt.) La $\mathbf F=(xz,\,yz,\,z^2)$ og $V$ være det solide området inne i sylinderen $x^2+y^2\le1$ mellom $z=0$ og $z=2$ . a) Fluks ut gjennom topplokket $z=2$ . b) $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ . c) Fluks ut gjennom sideflaten via divergensteoremet.

📝Oppgave 3

(Komplett kjede — halvkule.) La $\mathbf F=(x,\,0,\,z)$ og $V$ være det solide halvkuleområdet $x^2+y^2+z^2\le9$ , $z\ge0$ . a) $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ . b) Fluks ut gjennom den flate bunnen $z=0$ . c) Fluks ut gjennom den krumme halvkuleflaten via divergensteoremet.

📝Oppgave 4

(Delferdighet — plan fluks-snarvei.) Regn fluksen av $\mathbf F=(x,y,4z)$ ut gjennom topplokket $z=2$ , $x^2+y^2\le9$ , oppadrettet.

📝Oppgave 5

(Delferdighet — divergens + volum.) La $\mathbf F=(3x,\,y,\,z)$ og $V$ sylinderen $x^2+y^2\le1$ , $0\le z\le4$ . Regn $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ .

📝Oppgave 6

(Delferdighet — bunnflatens fortegn.) La $\mathbf F=(x,y,z+1)$ . Regn fluksen ut gjennom bunnen $z=0$ , $x^2+y^2\le4$ , av et solid som ligger over $z=0$ (utadrettet normal).

📝Oppgave 7

(Stokes-variant.) La $\mathbf F=(-2y,\,2x,\,z^3)$ og $C$ være sirkelen $x^2+y^2=4$ i planet $z=1$ , orientert mot klokka sett ovenfra. a) Regn $\operatorname{curl}\mathbf F$ . b) Bruk Stokes til å finne $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ .

📝Oppgave 8

(Full kjede med faktorisering.) La $\mathbf F=(x,\,y,\,z^2)$ og $V$ sylinderen $x^2+y^2\le1$ , $0\le z\le2$ . a) Fluks ut gjennom topplokket $z=2$ . b) Fluks ut gjennom bunnen $z=0$ . c) $\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV$ . d) Fluks ut gjennom sideflaten via divergensteoremet.

📝Oppgave 9

(Total fluks via Gauss.) La $\mathbf F=(x^3,\,y^3,\,z^3)$ og $V$ enhetskula $x^2+y^2+z^2\le1$ . Sett opp (uten å regne ut det siste integralet fullt) den totale fluksen ut av kuleflaten ved divergensteoremet, og forklar hvorfor direkte flateintegral er mye tyngre.

Typiske feil

- Fortegnsfeil tidlig som forplanter seg. En feil normalretning i (a) forplanter seg gjennom hele kjeden via $T_1=\iiint\operatorname{div}\mathbf F\,dV-T_2$ . Kontroller normalene før du regner videre.
- Regne den krumme delflaten direkte. Det er nesten alltid tyngre enn $\iiint\operatorname{div}\mathbf F\,dV-T_2$ . Bruk teoremet.
- Ikke gjenbruke delsvar. (c) skal gjenbruke (a) og (b) — ikke regn dem på nytt.
- Glemme bunnflaten. En sylinder har topp og bunn i tillegg til siden. Sjekk om bunnfluksen er null (den er det bare når $F_3=0$ på $z=0$ ).
- Glemme faktoren $r$ / $\rho^2\sin\varphi$ i trippelintegralets volumelement.
- Feil orientering i Stokes-varianten. Høyrehåndsregel: mot klokka $\leftrightarrow$ oppadrettet normal.
- Tidsfelle. Kjeden er tung; hold ca. 24 min per deloppgave og skriv eksakte svar.

Begrepsbank — O6-kjedens nøkkelgrep

Flashcard-/repetisjonsstoff — de fem grepene du må ha automatisert. Definisjonene ligger i kap. 5.1–5.5.

O6-kjedens fire steg

T_2

Normalkontroll: alle ut av

V

\to

Snarvei for den plane delen

T_2

Når bunnfluksen er null

z=0

Faktorisering av trippelintegralet

V

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.