3.6 Volum av omdreiningslegemer | Matematikk R2

Beregne volum når en graf roteres rundt en akse.

60 min

23 oppgaver

OmdreiningslegemeVolumSkivemetodenSkallmetoden

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.6Areal under grafer

Brukes videre i

3.7Funksjonsdrøfting med integrasjon

Introduksjon til omdreiningslegemer

Når vi roterer et planområde rundt en akse, dannes et tredimensjonalt legeme kalt et omdreiningslegeme eller rotasjonslegeme. Dette er en av de mest elegante anvendelsene av integrasjon - vi kan beregne volumet av komplekse tredimensjonale figurer ved å "bygge dem opp" av uendelig tynne skiver.

Tenk deg at du har en kurve $y = f(x)$ definert på intervallet $[a, b]$ . Hvis vi roterer området mellom kurven og $x$ -aksen rundt $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme. Hvert tverrsnitt vinkelrett på $x$ -aksen er en sirkel, og ved å "summere" (integrere) alle disse sirkelskivene får vi volumet.

I dette kapitlet skal vi:
- Forstå hva et omdreiningslegeme er
- Lære skivemetoden for rotasjon om $x$ - og $y$ -aksen
- Utlede klassiske volumformler ved integrasjon
- Løse praktiske problemer med omdreiningslegemer
- Introdusere skallmetoden som et alternativ (fordypning, utenfor læreplanen)

Forkunnskap fra kapittel 4: Eksempler og oppgaver i dette kapitlet som bruker sinus, cosinus eller tangens, bygger på radianer og derivasjonsreglene

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

fra kapittel 4. Hopp over dem ved første gjennomgang og kom tilbake til dem etter kapittel 4.

Omdreiningslegeme (Rotasjonslegeme)

y = f(x)

✏️Eksempel 1: Visualisering av omdreiningslegemer

Beskriv hvilke omdreiningslegemer som dannes når følgende områder roteres rundt $x$ -aksen:

a) En rett linje $y = c$ (konstant) på intervallet $[0, h]$

b) En rett linje $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ på intervallet $[0, h]$

c) En halvsirkel $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ på intervallet $[-r, r]$

Løsning:

a) Sylinder: Når linjen $y = c$ roteres rundt $x$ -aksen, dannes en sylinder med radius $c$ og høyde $h$ .

b) Kjegle: Når linjen $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ roteres rundt $x$ -aksen, dannes en kjegle med grunnflateradius $r$ og høyde $h$ . Linjens stigningstall bestemmer kjeglens form.

c) Kule: Når halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ roteres rundt $x$ -aksen, dannes en kule med radius $r$ .

Dette viser at mange kjente geometriske figurer kan beskrives som omdreiningslegemer.

Svar:
- a) Sylinder med radius $c$ og høyde $h$
- b) Kjegle med grunnflateradius $r$ og høyde $h$
- c) Kule med radius $r$

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Området som danner omdreiningslegemet

Området under

f(x) = \sqrt{x}

fra 0 til 4 (skravert) roteres om

x

-aksen. Volumet blir

V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = 8\pi

. Den stiplede speilingen antyder rotasjonen om aksen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = sqrt(x)
a = Integral(f, 0, 4)
g(x) = -sqrt(x)
SetLineStyle(g, 2)
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Gray")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3.6.1

Beskriv hvilke omdreiningslegemer som dannes når følgende områder roteres rundt $x$ -aksen:

a) $y = 2$ på intervallet $[0, 5]$

b) $y = x$ på intervallet $[0, 3]$

c) $y = \sqrt{4 - x^2}$ på intervallet $[-2, 2]$

Skivemetoden - Rotasjon om x-aksen

For å finne volumet av et omdreiningslegeme, deler vi det opp i uendelig tynne sirkelskiver. Hver skive har:
- Radius lik $|f(x)|$
- Tykkelse lik $dx$
- Areal lik $\pi [f(x)]^2$
- Volum lik $\pi [f(x)]^2 \, dx$

Ved å integrere (summere) alle disse skivene fra $a$ til $b$ , får vi det totale volumet.

📜Volumformel: Rotasjon om x-aksen

Når området mellom grafen til

y = f(x)

x

-aksen på intervallet

[a, b]

roteres rundt

x

-aksen, er volumet av omdreiningslegemet gitt ved:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Merk: Formelen gjelder når $f(x) \geq 0$ på hele intervallet. Hvis $f(x) < 0$ på deler av intervallet, bruker vi $[f(x)]^2$ som alltid er positiv.

✏️Eksempel 2: Rotasjon om x-aksen

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 2]$ roteres rundt $x$ -aksen.

Løsning:

Vi bruker volumformelen for rotasjon om $x$ -aksen:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Her er $f(x) = x^2$ , $a = 0$ og $b = 2$ :

$V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{32\pi}{5}$ eller ca. $20{,}1$ (volumenheter).

📝Oppgave 3.6.2

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 4]$ roteres rundt $x$ -aksen.

✏️Eksempel 3: Utledning av sylinderens volumformel

Utled volumformelen for en sylinder med radius $r$ og høyde $h$ ved hjelp av integrasjon.

Løsning:

En sylinder kan dannes ved å rotere linjen $y = r$ (konstant) på intervallet $[0, h]$ rundt $x$ -aksen.

Vi bruker volumformelen:

$V = \pi \int_0^h r^2 \, dx$

Siden $r$ er konstant:

$V = \pi r^2 \int_0^h 1 \, dx = \pi r^2 [x]_0^h = \pi r^2 (h - 0) = \pi r^2 h$

Svar: Sylinderens volum er $V = \pi r^2 h$ , som er den velkjente formelen "grunnflate ganger høyde".

📝Oppgave 3.6.3

Utled volumformelen for en kjegle med grunnflateradius $r$ og høyde $h$ ved hjelp av integrasjon.

Hint: Kjeglens overflate kan beskrives som linjen $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$ rotert rundt $x$ -aksen på intervallet $[0, h]$ .

✏️Eksempel 4: Utledning av kulens volumformel

Utled volumformelen for en kule med radius $r$ ved hjelp av integrasjon.

Løsning:

En kule dannes ved å rotere halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ rundt $x$ -aksen på intervallet $[-r, r]$ .

Vi bruker volumformelen:

$V = \pi \int_{-r}^{r} \left( \sqrt{r^2 - x^2} \right)^2 \, dx = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2) \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r}$

Vi setter inn grensene:

$V = \pi \left[ \left( r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \left( -r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right]$

$V = \pi \left[ r^3 - \frac{r^3}{3} + r^3 - \frac{r^3}{3} \right] = \pi \left[ 2r^3 - \frac{2r^3}{3} \right]$

$V = \pi \cdot \frac{6r^3 - 2r^3}{3} = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}$

Svar: Kulens volum er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$ .

📝Oppgave 3.6.4

En halvkule dannes ved å rotere $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ rundt $x$ -aksen på intervallet $[0, r]$ .

a) Finn volumet av halvkulen ved integrasjon.

b) Verifiser at svaret er halvparten av kulens volum.

Skivemetoden - Rotasjon om y-aksen

Noen ganger er det mer naturlig å rotere et område rundt $y$ -aksen istedenfor $x$ -aksen. I dette tilfellet må vi uttrykke $x$ som en funksjon av $y$ .

Hvis vi har $x = g(y)$ og roterer området mellom kurven og $y$ -aksen fra $y = c$ til $y = d$ rundt $y$ -aksen, får vi skiver der:
- Radius er $|g(y)|$
- Tykkelse er $dy$
- Areal er $\pi [g(y)]^2$

📜Volumformel: Rotasjon om y-aksen

Når området mellom grafen til

x = g(y)

y

-aksen på intervallet

[c, d]

roteres rundt

y

-aksen, er volumet av omdreiningslegemet gitt ved:

$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

Merk: For å bruke denne formelen må vi ofte løse $y = f(x)$ for $x$ for å få $x = g(y)$ .

✏️Eksempel 5: Rotasjon om y-aksen

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 4$ roteres rundt $y$ -aksen.

Løsning:

Først løser vi $y = x^2$ for $x$ :
$x = \sqrt{y} \quad (\text{vi velger positiv rot siden } x \geq 0)$

Så bruker vi volumformelen for rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 y \, dy$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 8\pi$

Svar: Volumet er $8\pi$ eller ca. $25{,}1$ (volumenheter).

📝Oppgave 3.6.5

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = \sqrt{x}$ (dvs. $x = y^2$ ) og $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 3$ roteres rundt $y$ -aksen.

✏️Eksempel 6: Volum av en paraboloid

En paraboloid dannes når parabelen $y = x^2$ roteres rundt $y$ -aksen. Finn volumet av paraboloiden for $0 \leq y \leq h$ .

Løsning:

Vi har $y = x^2$ , så $x = \sqrt{y}$ .

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^h (\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^h y \, dy$

$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^h = \frac{\pi h^2}{2}$

Ved $y = h$ har vi $x = \sqrt{h}$ , så grunnflateradius er $r = \sqrt{h}$ , dvs. $h = r^2$ .

Vi kan skrive volumet som:

$V = \frac{\pi (r^2)^2}{2} = \frac{\pi r^4}{2} \quad \text{eller} \quad V = \frac{\pi r^2 h}{2}$

Svar: Paraboloidens volum er $\displaystyle V = \frac{\pi r^2 h}{2}$ , som er halvparten av den omskrevne sylinderens volum.

📝Oppgave 3.6.6

En skål har form som en paraboloid dannet ved å rotere $\displaystyle y = \frac{x^2}{8}$ rundt $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 2$ (målt i desimeter).

a) Finn radius av skålens åpning.

b) Finn volumet av skålen.

c) Hvor mange liter kan skålen romme?

Volum mellom to kurver

Noen ganger ønsker vi å finne volumet av et omdreiningslegeme der området er begrenset av to kurver. Hvis vi roterer området mellom $y = f(x)$ (ytre kurve) og $y = g(x)$ (indre kurve) rundt $x$ -aksen, der $f(x) \geq g(x) \geq 0$ , dannes et "hulrom" i midten.

Volumet blir da differansen mellom det ytre og det indre volumet.

📜Volumformel: Rotasjon av område mellom to kurver

Når området mellom

y = f(x)

(ytre kurve) og

y = g(x)

(indre kurve) på intervallet

[a, b]

roteres rundt

x

-aksen, der

f(x) \geq g(x) \geq 0

, er volumet:

$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \, dx$

Dette gir oss ringskiver.

✏️Eksempel 7: Volum mellom to kurver

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $y = x$ på intervallet $[0, 1]$ roteres rundt $x$ -aksen.

Løsning:

Først sjekker vi hvilken kurve som ligger øverst. For $x \in [0, 1]$ :
- Ved $x = 0{,}5$ : $y = x = 0{,}5$ og $y = x^2 = 0{,}25$
- Altså er $y = x$ den ytre kurven og $y = x^2$ den indre kurven.

Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^1 \left( x^2 - (x^2)^2 \right) \, dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx$

Vi integrerer:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{5 - 3}{15} = \frac{2\pi}{15}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{2\pi}{15}$ eller ca. $0{,}42$ (volumenheter).

📝Oppgave 3.6.7

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $y = x$ på intervallet $[0, 1]$ roteres rundt $x$ -aksen.

✏️Eksempel 8: Hult omdreiningslegeme (rør)

Et rør har ytre radius gitt ved $R(x) = 3$ og indre radius $r(x) = 2$ for $0 \leq x \leq 5$ . Finn volumet av røret ved å bruke formelen for volum mellom to kurver.

Løsning:

Røret er et omdreiningslegeme med konstante radier. Vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^5 (R^2 - r^2) \, dx = \pi \int_0^5 (9 - 4) \, dx$

$V = 5\pi \int_0^5 1 \, dx = 5\pi [x]_0^5 = 5\pi \cdot 5 = 25\pi$

Alternativ metode:
Vi kan også regne ut volumet som differansen mellom en ytre og en indre sylinder:

$\begin{aligned} V &= \pi R^2 h - \pi r^2 h \\ &= \pi (R^2 - r^2) h \\ &= \pi (9 - 4) \cdot 5 = 25\pi \end{aligned}$

Svar: Rørets volum er $25\pi$ eller ca. $78{,}5$ (volumenheter).

📝Oppgave 3.6.8

Et vannrør har ytre diameter 10 cm og veggtykkelse 1 cm. Røret er 200 cm langt.

a) Hva er ytre og indre radius?

b) Finn volumet av selve rørmaterialet (ikke hulrommet).

c) Hvis rørmaterialet har tetthet $\rho = 2{,}5$ g/cm $^3$ , hva er massen av røret?

Rotasjon om andre akser enn koordinataksene

Noen ganger må vi rotere et område rundt en linje som ikke er $x$ - eller $y$ -aksen. For eksempel kan vi rotere rundt linjen $y = k$ eller $x = c$ .

Nøkkelen er å justere radiusen til skivene. Hvis vi roterer rundt linjen $y = k$ istedenfor $x$ -aksen, blir radiusen til hver skive $|f(x) - k|$ istedenfor $|f(x)|$ .

📜Volumformel: Rotasjon om linjen y = k

Når området mellom

y = f(x)

og linjen

y = k

på intervallet

[a, b]

roteres rundt linjen

y = k

, er volumet:

$V = \pi \int_a^b [f(x) - k]^2 \, dx$

Merk: Pass på fortegnet - hvis $f(x) < k$ på intervallet, vil $[f(x) - k]^2$ fortsatt gi et positivt bidrag.

✏️Eksempel 9: Rotasjon om linjen y = -1

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 1]$ roteres rundt linjen $y = -1$ .

Løsning:

Når vi roterer rundt $y = -1$ , er avstanden fra kurven $y = x^2$ til rotasjonsaksen lik $x^2 - (-1) = x^2 + 1$ .

Avstanden fra $x$ -aksen ( $y = 0$ ) til rotasjonsaksen er $0 - (-1) = 1$ .

Vi får et hulrom i midten, så vi bruker formelen for volum mellom to kurver:

$V = \pi \int_0^1 \left[ (x^2 + 1)^2 - 1^2 \right] dx$

Vi utvider $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$ :

$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2 + 1 - 1) \, dx \\ &= \pi \int_0^1 (x^4 + 2x^2) \, dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} V &= \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \pi \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) \\ &= \pi \cdot \frac{3 + 10}{15} \\ &= \frac{13\pi}{15} \end{aligned}$

Svar: Volumet er $\displaystyle \frac{13\pi}{15}$ eller ca. $2{,}72$ (volumenheter).

📝Oppgave 3.6.9

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = \sqrt{x}$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 4]$ roteres rundt linjen $y = 3$ .

Praktiske anvendelser

Volumformler for omdreiningslegemer har mange praktiske anvendelser:

- Ingeniørfag: Beregning av volum for tanker, siloer, rakettdeler
- Arkitektur: Kupler, søyler og rotasjonssymmetriske bygningselementer
- Medisin: Volum av organer og kroppsdeler fra CT/MR-bilder
- Industri: Design av beholdere, flasker og maskindeler

La oss se på noen praktiske eksempler.

✏️Eksempel 10: Vanntank

En vanntank har form som et omdreiningslegeme dannet ved å rotere kurven $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ rundt $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 4$ meter. Finn tankens volum i liter.

Løsning:

Vi må først løse $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ for $x$ :
$x^2 = 4y \implies x = 2\sqrt{y}$

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^4 (2\sqrt{y})^2 \, dy = \pi \int_0^4 4y \, dy$

$V = 4\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4 = 4\pi \cdot \frac{16}{2} = 32\pi \text{ m}^3$

Vi konverterer til liter ( $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$V = 32\pi \cdot 1000 \approx 100{\,}531 \text{ liter}$

Svar: Tankens volum er $32\pi \text{ m}^3 \approx 100{\,}500$ liter.

📝Oppgave 3.6.10

En vase har form som et omdreiningslegeme dannet ved å rotere kurven $y = x^2 + 1$ rundt $y$ -aksen fra $y = 1$ til $y = 5$ (målt i desimeter).

a) Løs likningen $y = x^2 + 1$ for $x$ .

b) Finn vasens volum.

c) Hvor mange liter vann kan vasen romme? ( $1 \text{ dm}^3 = 1$ liter)

✏️Eksempel 11: Volum av en torus (smultring)

En torus (smultring) kan dannes ved å rotere en sirkel med radius $r$ og sentrum i $(R, 0)$ rundt $y$ -aksen, der $R > r$ . Finn volumet av torusen.

Løsning:

Sirkelen har likningen $(x - R)^2 + y^2 = r^2$ .

Vi løser for $x$ :
$x = R \pm \sqrt{r^2 - y^2}$

Den ytre delen av sirkelen er $x_{\text{ytre}} = R + \sqrt{r^2 - y^2}$
Den indre delen er $x_{\text{indre}} = R - \sqrt{r^2 - y^2}$

Volumet av torusen er differansen mellom volumet fra den ytre og den indre kurven:

$V = \pi \int_{-r}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - y^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - y^2})^2 \right] dy$

Vi utvider:
$\begin{aligned} = {}&\pi \int_{-r}^{r} \Big[ R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} + (r^2-y^2) \\ &\quad {} - R^2 + 2R\sqrt{r^2-y^2} - (r^2-y^2) \Big] dy \end{aligned}$

$= \pi \int_{-r}^{r} 4R\sqrt{r^2-y^2} \, dy = 4\pi R \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$

Integralet $\int_{-r}^{r} \sqrt{r^2-y^2} \, dy$ er arealet av en halvsirkel med radius $r$ , altså $\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}$ .

$V = 4\pi R \cdot \frac{\pi r^2}{2} = 2\pi^2 R r^2$

Svar: Volumet av torusen er $V = 2\pi^2 R r^2$ .

📝Oppgave 3.6.11

En smultringformet livbøye har tverrsnittsradius $r = 10$ cm (sirkelen som roteres har radius 10 cm). Avstanden fra sentrum av livbøyen til sentrum av sirkelen er $R = 30$ cm.

a) Bruk formelen $V = 2\pi^2 R r^2$ til å finne volumet av livbøyen.

b) Hvis livbøyen er laget av materiale med tetthet $\rho = 0{,}05$ g/cm $^3$ , hva er massen?

Skallmetoden (sylindrisk skallmetode) (fordypning, utenfor læreplanen)

Skivemetoden er ikke alltid den mest praktiske metoden. Noen ganger er det enklere å bruke skallmetoden, der vi tenker oss at vi bygger opp volumet av konsentriske sylindriske skall.

Skallmetoden er spesielt nyttig når:
- Vi roterer rundt $y$ -aksen, men funksjonen er enklest å uttrykke som $y = f(x)$
- Skivemetoden ville kreve at vi løser kompliserte likninger for $x$

📜Skallmetoden: Rotasjon om y-aksen (fordypning, utenfor læreplanen)

Når området mellom

y = f(x)

x

-aksen på intervallet

[a, b]

(der

a \geq 0

) roteres rundt

y

-aksen, er volumet:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Forklaring: Hvert sylindrisk skall har:
- Radius $x$ (avstanden fra $y$ -aksen)
- Høyde $f(x)$
- Tykkelse $dx$
- Areal av sylinderflaten: $2\pi x \cdot f(x)$
- Volum: $2\pi x \cdot f(x) \, dx$

✏️Eksempel 12: Skallmetoden (fordypning, utenfor læreplanen)

Bruk skallmetoden til å finne volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = x^2$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 2]$ roteres rundt $y$ -aksen.

Løsning:

Vi bruker skallmetodens formel:

$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

Her er $f(x) = x^2$ , $a = 0$ og $b = 2$ :

$V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^3 \, dx$

$V = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = 2\pi \cdot \frac{16}{4} = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$

Kontroll med skivemetoden:
Snittet i høyden $y$ ( $0 \leq y \leq 4$ ) er en ring med ytre radius $2$ og indre radius $x = \sqrt{y}$ .

$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^4 \left(2^2 - (\sqrt{y})^2\right) dy \\ &= \pi \int_0^4 (4 - y) \, dy \\ &= \pi \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_0^4 \\ &= \pi(16 - 8) = 8\pi \end{aligned}$

Svar: Volumet er $8\pi$ (begge metoder gir samme svar).

📝Oppgave 3.6.12

Fordypning (utenfor læreplanen). Bruk skallmetoden til å finne volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom

y = x - x^2

x

-aksen (for

0 \leq x \leq 1

) roteres rundt

y

-aksen.

✏️Eksempel 13: Sammenlikning av skive- og skallmetoden (fordypning, utenfor læreplanen)

Området mellom $y = \sin x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, \pi]$ roteres rundt $y$ -aksen. Beregn volumet med skallmetoden.

Løsning:

Med skallmetoden:

$V = 2\pi \int_0^{\pi} x \sin x \, dx$

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ og $v' = \sin x$ :
- $u' = 1$
- $v = -\cos x$

$V = 2\pi \left[ -x\cos x \Big|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \, dx \right]$

$= 2\pi \left[ -\pi \cdot (-1) + 0 + [\sin x]_0^{\pi} \right]$

$= 2\pi \left[ \pi + 0 - 0 \right] = 2\pi^2$

Svar: Volumet er $2\pi^2$ eller ca. $19{,}7$ (volumenheter).

Merk: Skivemetoden ville vært mye mer komplisert her, fordi vi måtte løst $y = \sin x$ for $x$ og håndtert at $\sin x$ har flere løsninger.

📝Oppgave 3.6.13

Fordypning (utenfor læreplanen). Området mellom

y = e^{-x}

x

-aksen på intervallet

[0, 1]

roteres rundt

y

-aksen. Beregn volumet med skallmetoden.

Hint: Du trenger delvis integrasjon.

✏️Eksempel 14: Fontene

En fontene har et basseng formet som et omdreiningslegeme. Bunnen av bassenget beskrives av kurven $y = 0{,}1x^2$ for $-3 \leq x \leq 3$ meter, rotert rundt $y$ -aksen.

a) Finn volumet av bassenget fra bunnen til $y = 0{,}9$ meter.

b) Hvor mange liter vann trengs for å fylle bassenget til dette nivået?

Løsning:

a) Vi har $y = 0{,}1x^2$ , så $x^2 = 10y$ og $x = \sqrt{10y}$ .

Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 0{,}9$ :

$V = \pi \int_0^{0{,}9} (\sqrt{10y})^2 \, dy = \pi \int_0^{0{,}9} 10y \, dy$

$V = 10\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{0{,}9} = 10\pi \cdot \frac{0{,}81}{2} = 4{,}05\pi \text{ m}^3$

b) Vi konverterer til liter ( $1 \text{ m}^3 = 1000$ liter):

$V = 4{,}05\pi \cdot 1000 \approx 12{\,}723 \text{ liter}$

Svar:
a) Volumet er $4{,}05\pi \approx 12{,}72$ m $^3$
b) Ca. 12 700 liter vann trengs.

📝Oppgave 3.6.14

En oljetank har form som et liggende omdreiningslegeme (sylinder med halvkuleformede ender). Tanken er 6 meter lang totalt, der den sylindriske delen er 4 meter og radius er 1 meter.

a) Finn volumet av den sylindriske delen.

b) Finn volumet av de to halvkuleformede endene (som tilsammen utgjør en hel kule).

c) Finn det totale volumet i liter.

✏️Eksempel 15: Vinglass

Et vinglass har form som et omdreiningslegeme dannet ved å rotere kurven $y = x^3$ rundt $y$ -aksen fra $y = 0$ til $y = 8$ (målt i cm).

a) Uttrykk $x$ som funksjon av $y$ .

b) Finn volumet av vinglasset.

c) Hvis glasset fylles til $y = 4$ , hvor stor del av det totale volumet er fylt?

Løsning:

a) $y = x^3 \implies x = y^{1/3} = \sqrt[3]{y}$

b) Volumet ved rotasjon om $y$ -aksen:

$V = \pi \int_0^8 (y^{1/3})^2 \, dy = \pi \int_0^8 y^{2/3} \, dy$

$V = \pi \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_0^8 = \pi \cdot \frac{3}{5} \left[ y^{5/3} \right]_0^8$

$V = \frac{3\pi}{5} \cdot 8^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5} \text{ cm}^3 \approx 60{,}3 \text{ cm}^3$

c) Volumet til $y = 4$ :

$V_4 = \frac{3\pi}{5} \cdot 4^{5/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot 4^{2/3} = \frac{3\pi}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{16}$

$V_4 = \frac{12\pi}{5} \cdot 2^{4/3} = \frac{12\pi \cdot 2\sqrt[3]{2}}{5} \approx 19{,}0 \text{ cm}^3$

Andelen fylt er:
$\begin{aligned} \frac{V_4}{V} &= \frac{4^{5/3}}{8^{5/3}} \\ &= \left( \frac{4}{8} \right)^{5/3} \\ &= \left( \frac{1}{2} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^{5/3}} \\ &\approx 0{,}315 \\ &= 31{,}5\,\% \end{aligned}$

Svar: a) $x = \sqrt[3]{y}$ , b) $\displaystyle \frac{96\pi}{5} \approx 60{,}3$ cm $^3$ , c) ca. $31{,}5\,\%$

📝Oppgave 3.6.15

En designvase har en spesiell form der profilen følger kurven $y = \ln(x+1)$ for $0 \leq x \leq e-1$ , rotert rundt $y$ -aksen.

a) Finn høyden på vasen (verdien av $y$ ved $x = e-1$ ).

b) Uttrykk $x$ som funksjon av $y$ .

c) Finn volumet av vasen.

Oppsummering

I dette kapitlet har vi lært:

1. Omdreiningslegemer dannes når et planområde roteres rundt en akse.

2. Skivemetoden for rotasjon om x-aksen:
$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

3. Skivemetoden for rotasjon om y-aksen:
$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$

4. Volum mellom to kurver (rotasjon om x-aksen):
$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) \, dx$

5. Rotasjon om linjen $y = k$ :
$V = \pi \int_a^b [f(x) - k]^2 \, dx$

6. Skallmetoden (rotasjon om y-aksen, fordypning):
$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$

7. Klassiske volumformler utledet ved integrasjon:
- Sylinder: $V = \pi r^2 h$
- Kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
- Kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$
- Paraboloid: $\displaystyle V = \frac{1}{2}\pi r^2 h$
- Torus: $V = 2\pi^2 R r^2$

📝Oppgave 3.6.16

Regn ut volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom grafen til $f(x) = e^x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, 1]$ roteres rundt $x$ -aksen.

📝Oppgave 3.6.17

Finn volumet av omdreiningslegemet som dannes når området mellom $y = \sin x$ og $x$ -aksen på intervallet $[0, \pi]$ roteres rundt $x$ -aksen.

Hint: Bruk identiteten $\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ .

📝Oppgave 3.6.18

Eksamensstil

Området $A$ er avgrenset av $y = 4 - x^2$ , $y = 0$ og $y$ -aksen (i første kvadrant).

a) Skisser området $A$ .

b) Finn arealet av $A$ .

c) Området $A$ roteres rundt $x$ -aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet.

d) Området $A$ roteres rundt $y$ -aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet.

Tips for eksamen: Når du skal finne volum av omdreiningslegemer:

1. Identifiser rotasjonsaksen - dette bestemmer hvilken formel du skal bruke.

2. Tegn en skisse - det hjelper å visualisere hva som roteres.

3. Velg riktig metode:
- Skivemetoden: Når tverrsnittet vinkelrett på aksen er en sirkel (eller ring)
- Skallmetoden (fordypning, utenfor læreplanen): Når det er enklere å uttrykke funksjonen i den andre variabelen

4. Sjekk grensene - Ved rotasjon om $y$ -aksen må grensene være $y$ -verdier.

5. Kontroller dimensjonen - Volum skal ha tredjepotens i enhetene.

Vanlige feil

1. Glemmer å kvadrere funksjonen: Volumformelen har $[f(x)]^2$ , ikke bare $f(x)$ .

2. Feil akse: Sjekk alltid hvilken akse det roteres rundt. Formelen er forskjellig for $x$ - og $y$ -aksen.

3. Feil grenser: Ved rotasjon om $y$ -aksen må grensene være $y$ -verdier, ikke $x$ -verdier.

4. Glemmer $\pi$ : Volumformelen inneholder alltid $\pi$ foran integralet (for skivemetoden) eller $2\pi$ (for skallmetoden).

5. Blander skive- og skallmetoden: Skivemetoden har $\pi \int [f]^2$ , skallmetoden har $2\pi \int x \cdot f$ .

6. Feil ved rotasjon om andre akser: Husk å justere radiusen når du roterer om $y = k$ eller $x = c$ .

Historisk note: Metodene for å beregne volum av omdreiningslegemer ble utviklet av matematikere som Archimedes (ca. 287-212 f.Kr.), som fant volumet av kulen, og Cavalieri (1598-1647), som utviklet en tidlig versjon av integrasjonsmetoder. Den moderne formuleringen med integraler ble utviklet av Newton og Leibniz på 1600-tallet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.