3.6 Volum av omdreiningslegemer

Pottemakerens matematikk

Se på en vase, et vinglass eller en flaske. Felles for dem alle: de er rotasjonssymmetriske — formet som om en kurve er dreid rundt en akse, slik pottemakeren dreier leiren på skiven. Matematisk kalles slike former omdreiningslegemer, og de er overalt: tanker og siloer, kupler og rakettdeler, lyspærer og planeter.

Og her kommer integralregningens kanskje mest håndgripelige triumf: volumet av alle disse formene kan beregnes med et integral. Ideen er Riemann-tankegangen løftet én dimensjon opp. Der vi før fylte et areal med tynne striper, fyller vi nå et volum med tynne skiver — og hver skive er en sirkel, den enkleste formen som finnes. Allerede Arkimedes fant kulens volum med en beslektet tankegang; vi gjør det på tre linjer.

I dette kapittelet utleder vi skivemetoden for rotasjon om begge akser, gjenoppdager de klassiske volumformlene for sylinder, kule og paraboloid, håndterer hule legemer og forskjøvede akser — og fyller til slutt vanntanker og vinglass med ekte liter.

Skivemetoden: volum av sirkler i stabel

La grafen til $y = f(x)$ over $[a,b]$ rotere rundt $x$-aksen. Skjær det resulterende legemet i tynne skiver vinkelrett på aksen. Hver skive er (tilnærmet) en sirkulær plate med radius $|f(x)|$, areal $\pi[f(x)]^2$ og tykkelse $dx$ — altså volum $\pi[f(x)]^2\,dx$. Summer alle skivene, og la tykkelsen gå mot null:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

Det er hele skivemetoden. Legg merke til kvadratet: det er radien i andre som inngår, så formelen bryr seg ikke om $f$ er negativ.

Test på $f(x) = x^2$ over $[0,2]$:

$$V = \pi\int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi\int_0^2 x^4\,dx = \pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{32\pi}{5} \approx 20{,}1$$

Det vakreste er at de klassiske volumformlene nå blir teoremer i stedet for pugg. Sylinderen: roter den konstante linjen $y = r$ over $[0,h]$ — $V = \pi\int_0^h r^2\,dx = \pi r^2 h$, grunnflate ganger høyde. Kulen: roter halvsirkelen $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ over $[-r, r]$:

$$V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2 - x^2)\,dx = \pi\left[r^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \frac{4\pi r^3}{3}$$

Formelen Arkimedes var så stolt av at han ville ha den inngravert på gravsteinen — utledet på tre linjer. (Kjeglen får du selv: roter $\displaystyle y = \frac{r}{h}x$, og $\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 h$ faller ut.)

Rotasjon om y-aksen og hule legemer

Pottemakerens skive står vertikalt: mange former er mer naturlige å rotere om y-aksen. Da skjærer vi horisontale skiver i stedet, og radien må uttrykkes ved $y$: løs $y = f(x)$ for $x$, kall resultatet $x = g(y)$, og

$$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$$

Eksempel: parabelen $y = x^2$ rotert om $y$-aksen fra $y = 0$ til $y = 4$. Vi løser: $x = \sqrt{y}$, og

$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{y})^2\,dy = \pi\int_0^4 y\,dy = 8\pi$$

Skålen som oppstår, kalles en paraboloid — formen til parabolantenner og enkelte vinglass. Generelt rommer paraboloiden $\displaystyle V = \frac{\pi r^2 h}{2}$: nøyaktig halvparten av den omskrevne sylinderen, et resultat med nesten mistenkelig eleganse.

Hva med hule legemer — et rør, en skål med tykkelse? Roterer vi området mellom en ytre kurve $f$ og en indre kurve $g$ (med $f \geq g \geq 0$), blir hver skive en ring: ytre sirkel minus hull,

$$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$$

Eksempel: området mellom $y = x$ og $y = x^2$ på $[0,1]$ rotert om $x$-aksen. Linjen ligger øverst ($x \geq x^2$ der), så

$$V = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

Pass på den klassiske fellen: $[f]^2 - [g]^2$, ikke $[f-g]^2$ — differansen av kvadrater, ikke kvadratet av differansen. Samme idé håndterer rotasjon om forskjøvede akser som $y = k$: radien blir avstanden til aksen, $|f(x) - k|$, og $V = \pi\int_a^b [f(x) - k]^2\,dx$ (eventuelt som ringvolum hvis det oppstår hulrom).

Skallmetoden og virkelige beholdere

Noen ganger er skivene upraktiske. Roter området under $y = \sin x$ over $[0, \pi]$ om y-aksen: skiver krever at vi løser $y = \sin x$ for $x$ — to løsninger per $y$-verdi, et mareritt. Da bytter vi byggekloss: i stedet for skiver i stabel, sylindriske skall inni hverandre, som årringene i en trestamme. Et skall med radius $x$, høyde $f(x)$ og tykkelse $dx$ har volum $2\pi x \cdot f(x)\,dx$ (omkrets ganger høyde ganger tykkelse), og totalen blir

$$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx$$

For sinus-eksempelet: $V = 2\pi\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$. Restintegralet er en gammel kjenning — delvis integrasjon med $u = x$, $v' = \sin x$ gir $\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi}\cos x\,dx = \pi + 0$, så $V = 2\pi^2$. Teknikkene fra kapittel 3.2 og volumene spiller på lag. (Kontrollmulighet: for $y = x^2$ over $[0,2]$ om $y$-aksen gir skallmetoden $2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 8\pi$ — nøyaktig som skivemetoden ga.)

Til slutt: ekte beholdere. En vanntank formet ved å rotere $\displaystyle y = \frac{x^2}{4}$ om $y$-aksen opp til $y = 4$ meter: $x^2 = 4y$ gir $V = \pi\int_0^4 4y\,dy = 32\pi \approx 100{,}5$ m³ — over hundre tusen liter. Et vinglass formet av $y = x^3$ rotert om $y$-aksen opp til $y = 8$ cm: $x = y^{1/3}$, så $\displaystyle V = \pi\int_0^8 y^{2/3}\,dy = \frac{3\pi}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5} \approx 60{,}3$ cm³. Fylles glasset bare til halv høyde ($y = 4$), rommer det $\displaystyle \left(\frac{4}{8}\right)^{5/3} \approx 31{,}5\,\%$ av volumet — et halvfullt glass er altså under en tredjedels fullt. Geometrien i hverdagen lurer øyet; integralet gjør det ikke.

Oppsummering: dreieskiven i formler

Pottemakerens dreieskive er blitt til tre formler og en tankegang. Skivemetoden stabler sirkulære plater: $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ om $x$-aksen, og $V = \pi\int_c^d [g(y)]^2\,dy$ om $y$-aksen etter at $y = f(x)$ er løst for $x$. Med den gjenfant vi klassikerne som teoremer: sylinderen $\pi r^2 h$, kulen $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$ fra halvsirkelen, paraboloiden $\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{2}$ — halvparten av sin sylinder. Ringskivene $V = \pi\int_a^b ([f]^2 - [g]^2)\,dx$ tar hule legemer (husk: differansen av kvadrater!), og forskjøvede akser håndteres ved å måle radien fra aksen: $[f(x) - k]^2$. Skallmetoden $V = 2\pi\int_a^b x f(x)\,dx$ bygger med sylindriske årringer og redder oss når inverteringen av $f$ er stygg — gjerne i samarbeid med delvis integrasjon, som i $2\pi\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = 2\pi^2$.

Sjekklisten før du regner: identifiser rotasjonsaksen, tegn en skisse, velg skiver eller skall, pass på at grensene hører til riktig variabel — og husk kvadratet og $\pi$-en. Vanntanken og vinglasset viste at dette er bruksmatematikk med literpresisjon. I sagaens siste kapittel samler vi alle trådene: derivasjon og integrasjon side om side i full funksjonsdrøfting.