4.4 Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

Et dobbelt- eller trippelintegral der området er ubegrenset (f.eks. hele $\mathbb{R}^2$) eller integranden er ubegrenset (sprenger mot $\infty$ i et punkt). Slike integraler er ikke definert på vanlig måte; de gis mening som en grense av integraler over avgrensede biter. Om grensen finnes og er endelig, konvergerer integralet; ellers divergerer det.

En følge av avgrensede, lukkede områder $K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq \cdots$ som til slutt dekker hele integrasjonsområdet, skrevet $K_n \nearrow \mathbb{R}^2$. Typiske valg er skiver $K_R = \{x^2 + y^2 \le R^2\}$ (for radielle integrander) eller bokser $K_n = \{|x| \le n,\ |y| \le n\}$. Hver $K_n$ er avgrenset, så integralet over den er et vanlig (egentlig) integral.

$$\iint_A f\,dA = \lim_{n\to\infty}\iint_{A\cap K_n} f\,dA.$$

Du regner altså først et helt vanlig integral over $A \cap K_n$ (som gir et uttrykk i $n$ eller $R$), og tar deretter grensen. Er integranden ikke-negativ, gir alle rimelige valg av kompakter samme grense.

Regelen for hvordan konvergens vises: regn integralet over $K_R$ som et endelig uttrykk, og ta så grensen $R \to \infty$ eksplisitt. Å bare «sette inn $\infty$» i en antiderivert er en byggefeil — $\infty$ er ikke et tall du kan sette inn. Skriv $\lim_{R\to\infty}(\cdots)$ og regn grensen. Det er halve uttellingen i sjanger H.

Utfallet av grenseprosessen. Går $\lim_{n\to\infty}\iint_{A\cap K_n} f$ mot et endelig tall, konvergerer integralet til den verdien. Går den mot $\infty$ (eller finnes ikke), divergerer det. For radielle integrander avgjøres utfallet ofte av eksponenten: jo raskere integranden avtar mot uendelig (eller jo mildere singulariteten), desto lettere konvergerer det.

Kompaktene skal velges så integralet over hver blir enkelt. For en radiell integrand ($x^2+y^2$) velger vi skiver $K_R$ og regner i polar/kule — da faktoriserer $\theta$-delen. For et rektangulært mønster velger vi bokser $K_n$. Poenget er at følgen skal vokse mot hele området; ellers får du ikke hele integralet.

En mengde som er både lukket (inneholder sin egen rand) og begrenset (får plass innenfor en stor nok kule). Hver $K_n$ i den voksende følgen er kompakt, og over en kompakt mengde er integralet av en kontinuerlig funksjon alltid endelig (egentlig). Det er derfor vi bygger det uegentlige integralet som en grense av integraler over kompakter.

Kompaktene $K_R = \{x^2 + y^2 \le R^2\}$ — voksende sirkelskiver med radius $R$. Riktig valg når integranden er radiell (avhenger av $x^2+y^2$), fordi de passer polarkoordinatene: $A \cap K_R$ blir bare $\{0 \le r \le R,\ \ldots\}$, og $\theta$-delen faktoriseres. La deretter $R \to \infty$.

Kompaktene $K_n = \{|x| \le n,\ |y| \le n\}$ — voksende kvadrater. Riktig valg når integranden eller området har et rektangulært mønster (produkt av funksjoner i $x$ og $y$ hver for seg). Da faktoriserer integralet i to endimensjonale uegentlige integraler. La deretter $n \to \infty$.

Et punkt der integranden sprenger mot $\infty$ (typisk origo, der $\tfrac{1}{x^2+y^2} \to \infty$). Da lager vi kompakter som utelater en liten skive rundt punktet, $\{r \ge \varepsilon\}$, og lar $\varepsilon \to 0^+$. Konvergens avgjøres av hvor sterk singulariteten er — akkurat som for uendelig område, men grensen går den andre veien.

Er $f \ge 0$ overalt, er integralene over $K_n$ voksende i $n$, så grensen finnes alltid (endelig eller $+\infty$) og er uavhengig av hvilken voksende følge man velger (skiver eller bokser gir samme svar). Dette er grunnen til at vi trygt kan velge den kompaktfølgen som gjør regningen enklest når integranden er positiv.

Den praktiske broen: for en radiell integrand regner vi over en skive $K_R$ (2D) eller kule $K_a$ (3D) i polar/kulekoordinater, får et uttrykk i $R$ (eller $a$), og tar grensen. Faktoren $r$ (eller $\rho^2\sin\varphi$) fra kap. 4.2–4.3 må være med — det er den som avgjør om det radielle integralet konvergerer.

Tallet et uttrykk $a_n$ nærmer seg når $n \to \infty$ — verktøyet vi bruker på integralet over $K_n$. Konvergens av det uegentlige integralet er rett og slett konvergens av følgen $\iint_{A\cap K_n} f$. Standardgrenser vi bruker: $e^{-R^2} \to 0$, $\tfrac1R \to 0$, $\arctan R \to \tfrac{\pi}{2}$, mens $\ln R \to \infty$.

For radielle integraler avhenger utfallet av eksponenten. Over et uendelig område konvergerer $\iint \tfrac{1}{(x^2+y^2)^p}$ når integranden avtar raskt nok ($p$ stor); nær en singularitet i origo konvergerer den når $p$ er liten nok. Grensetilfellet $\tfrac{1}{x^2+y^2}$ ($p=1$) divergerer begge veier fordi det gir integralet $\ln r$. Regn alltid grensen — «integranden $\to 0$» er ikke bevis for konvergens.

Det viktigste konvergente eksempelet: $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \pi$. Det regnes rett i polar (skiver $K_R$, $\lim_{R\to\infty}$), og fra det følger det berømte $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt\pi$ ved å faktorisere planintegralet — fundamentet for normalfordelingen i statistikk.