4.5 Drill: multiple integraler — område, koordinatvalg og faktorisering

95 %-sjangeren drillet: velg riktig koordinatsystem, beskriv området med ulikheter, løs skjæringen først og faktoriser — med fasitens føring hele veien.

90 min

12 oppgaver

Drillmultiple integralerområdekoordinatvalgfaktorisering

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.4Uegentlige multiple integraler: konvergens via voksende kompakter

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Multiple integraler

Dette er treningsleiren for multiple integraler — de dyreste, mest garanterte poengene på hvert eneste sett, drillet til automatikk.

- Kapitlet dekker sjanger G (dobbeltintegral, 95 %), sjanger I (trippelintegral sylinder/kule, 50 %) og sjanger H (uegentlig, konvergens) samlet. Ingen ny teori — bare mengdetrening på kap. 4.1–4.4.
- Variantkatalogen du skal kjenne igjen på reflekst: (1) dobbeltintegral over kurveavgrenset område, (2) polar/variabelskifte, (3) trippel i sylinder, (4) trippel i kule, (5) uegentlig med konvergens/divergens.
- Føringspoengene sensor teller: skjæringen løst før grensene, området som ulikheter, riktig volumelement ( $r$ , $\rho^2\sin\varphi$ , Jacobi), faktorisering når mulig, lim-føring ved uegentlige, og eksakt svar.

Prioritet: høyeste. Målet er at du på sekunder velger koordinatsystem, løser skjæringen og fører integralet feilfritt.

Forkunnskaper. Hele Del 4: dobbeltintegral og skjæring (kap. 4.1), polar og variabelskifte med Jacobi (kap. 4.2), trippelintegral i sylinder/kule (kap. 4.3) og uegentlige integraler via voksende kompakter (kap. 4.4). Alt forutsettes lært — her trener vi bruken under tidspress, med fasitens føring hele veien.

Løsningsoppskrift — beslutningstreet for multiple integraler

Før du regner, still deg spørsmålene i rekkefølge:

1. Dimensjon — dobbelt (flate) eller trippel (kropp)?

2. Symmetri → koordinatsystem:
- Rektangel / polynom-område → kartesisk.
- Sirkel, ring, sektor, $x^2+y^2$ i integranden → polar ( $dA = r\,dr\,d\theta$ ).
- Ellipse → ellipsekoordinater (Jacobi $ab\,r$ ).
- Rotasjon om $z$ -aksen (sylinder/kjegle/paraboloide) → sylinder ( $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ ).
- Kule / kuleskall / kjegle-i-rommet → kule ( $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$ ).

3. Løs skjæringen der kurver/flater møtes — sett dem lik hverandre, regn grensene (aldri gjett).

4. Beskriv området med eksplisitte ulikheter — innerste variabel mellom kurver/flater, ytterste mellom tall.

5. Riktig volumelement — husk faktoren $r$ (polar/sylinder), $\rho^2\sin\varphi$ (kule), $\left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$ (generelt skifte).

6. Integrer innerst først, og faktoriser når integrand og grenser separerer (særlig $\theta$ -delen $= 2\pi$ ).

7. Uegentlig? Bytt til voksende kompakter $K_n$ / $K_R$ og ta grensen — aldri «sett inn $\infty$ ».

8. Svar eksakt — behold brøker, $\pi$ og røtter.

Beslutningstreet (algoritme)

Den faste rekkefølgen for enhver oppgave om multiple integraler: dimensjon \to koordinatsystem etter symmetri \to løs skjæringen \to beskriv området med ulikheter \to riktig volumelement \to integrer innerst først og faktoriser \to uegentlig? bruk voksende kompakter + lim \to eksakt svar. Å følge treet punkt for punkt er det som gjør at føringen sitter under tidspress.

Koordinatvalg etter symmetri

z

Skjæringen løst før oppsett

r^2 = 8 - r^2 \Rightarrow r = 2

Volumelementets faktor

r

Faktorisering og lim-føring

\theta

✏️Gjennomregnet eksamenscase — trippelintegral der to flater møtes (sylinder, faktorisert)

Regn ut $\displaystyle\iiint_V z\,dV$ , der $V$ er kroppen avgrenset nedenfra av paraboloiden $z = x^2 + y^2$ og ovenfra av paraboloiden $z = 8 - x^2 - y^2$ .

Steg 1–2 (dimensjon, koordinater): trippelintegral over en kropp med rotasjonssymmetri om

z

-aksen ⇒ sylinderkoordinater, med nedre flate

z = r^2

og øvre

z = 8 - r^2

.
Sensor: riktig koordinatvalg begrunnet med symmetrien er første føringspoeng.

Steg 3 (løs skjæringen):
$r^2 = 8 - r^2 \;\Longrightarrow\; 2r^2 = 8 \;\Longrightarrow\; r = 2 \quad(z = 4).$
Sensor: skjæringen $r = 2$ skal regnes, ikke gjettes — eget poeng.

Steg 4 (området som ulikheter):
$V = \{0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le 2,\ r^2 \le z \le 8 - r^2\}.$
Sensor: eksplisitte ulikheter før oppsett.

Steg 5–6 (volumelement $r$ , integrer innerst, faktoriser):
$\iiint_V z\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_{r^2}^{8-r^2} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.$
Innerst ( $z$ ): $\displaystyle\int_{r^2}^{8-r^2} z\,dz = \tfrac12\big((8-r^2)^2 - (r^2)^2\big) = \tfrac12\big(64 - 16r^2\big) = 32 - 8r^2$ .

Så $\iiint_V z\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (32 - 8r^2)\,r\,dr\,d\theta$ . Faktoriser $\theta$ -delen:
$= 2\pi\int_0^2 (32r - 8r^3)\,dr = 2\pi\Big[16r^2 - 2r^4\Big]_0^2 = 2\pi(64 - 32) = 64\pi.$
Sensor: faktoriseringen av $\theta$ -delen ( $2\pi$ ) og det riktige volumelementet $r$ er føringspoeng.

Steg 8 (svar eksakt): $\displaystyle\iiint_V z\,dV = 64\pi$ .
Sensor: eksakt verdi ( $64\pi$ , ikke $201{,}06$ ), verbal konklusjon — full uttelling.

Drilloppgaver — hele variantkatalogen

Hver oppgave er merket med hvilken variant den trener. Følg beslutningstreet: velg system, løs skjæringen, skriv ulikheter, riktig volumelement, eksakt svar.

📝Oppgave 1

(Variant: dobbelt kurveavgrenset.) La $A$ være området avgrenset av $y = x^2$ og $y = x$ . Regn ut $\iint_A 2x\,dA$ .

📝Oppgave 2

(Variant: polar.) Regn ut $\iint_A (x^2 + y^2)\,dA$ over skiven $A: x^2 + y^2 \le 9$ .

📝Oppgave 3

(Variant: sylinder.) Finn volumet av kjeglen avgrenset av $z = \sqrt{x^2+y^2}$ og planet $z = 4$ .

📝Oppgave 4

(Variant: kule.) Finn volumet av kula $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ i kulekoordinater.

📝Oppgave 5

(Variant: uegentlig med konvergens.) Avgjør om $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-2(x^2+y^2)}\,dA$ konvergerer, og finn verdien.

📝Oppgave 6

(Variant: dobbelt, bytte rekkefølge.) Regn ut $\displaystyle\int_0^1\!\int_{2y}^{2} e^{x^2}\,dx\,dy$ ved å snu integrasjonsrekkefølgen.

📝Oppgave 7

(Variant: variabelskifte/ellipse.) Finn arealet av ellipseskiven $D: \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} \le 1$ .

📝Oppgave 8

(Variant: sylinder, faktorisering.) Regn ut $\iiint_V (x^2+y^2)\,dV$ over sylinderen $V: x^2+y^2 \le 4,\ 0 \le z \le 5$ .

📝Oppgave 9

(Variant: kule, ikke-triviell integrand.) Regn ut $\iiint_V z^2\,dV$ over kula $V: \rho \le 2$ .

📝Oppgave 10

(Variant: trippel, to flater møtes.) Finn volumet av kroppen avgrenset nedenfra av kjeglen $z = \sqrt{x^2+y^2}$ og ovenfra av $z = 6 - x^2 - y^2$ .

📝Oppgave 11

(Variant: uegentlig, divergens.) Avgjør om $\iint_A \dfrac{1}{(x^2+y^2)^{1/2}}\,dA$ over $A: x^2+y^2 \ge 1$ konvergerer.

📝Oppgave 12

(Variant: dobbelt kurveavgrenset, eksamensnivå.) La $A$ være området i første kvadrant avgrenset av $y = 4 - x^2$ og de to aksene. Regn ut $\iint_A x\,dA$ .

Typiske feil (hele Del 4 under tidspress)

Fellene fra kap. 4.1–4.4 slår hardest når klokka går:

- Glemt volumelement-faktor — $r$ (polar/sylinder), $\rho^2\sin\varphi$ (kule), Jacobi (generelt skifte). Den dyreste enkeltfeilen; skriv den inn med én gang du bytter koordinater.
- Gjettede grenser i stedet for løst skjæring. Sett flatene/kurvene lik hverandre og regn ( $r^2 = 8 - r^2 \Rightarrow r = 2$ ).
- Feil koordinatvalg for symmetrien — kartesisk der polar var lett, eller omvendt.
- Ikke faktorisert når integrand og grenser separerer — unødig dobbeltarbeid ( $\theta$ -delen er ofte bare $2\pi$ ).
- «Sett inn $\infty$ » ved uegentlige integraler i stedet for $\lim_{R\to\infty}$ med voksende kompakter.
- Feil $\varphi$ -grenser i kule, og $\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi$ regnet som $0$ (det er $2$ ).
- Desimaltilnærming der eksakt svar kreves — behold $64\pi$ , $\tfrac{128\pi}{15}$ , $\tfrac{\pi}{2}$ .

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.