Tilbake
6.1
Alle fag for Høyskole

6.1 Egenverdier og egenvektorer

Løs det(λI − A) = 0, finn egenvektorene fra (A − λI)v = 0 — den historiske åpningssjangeren som forsvant i V2025, holdt varm som beredskap.

50 min
11 oppgaver
Egenverdieregenvektorer
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet hviler helt på radreduksjon fra Del 1: kap. 1.1 (Gauss-eliminasjon med merkede radoperasjoner), kap. 1.2 (nullrom og lineær uavhengighet) og kap. 1.3 (determinant og inverterbarhet). Egenvektorene finnes nettopp som nullrommet til matrisen A−λIA-\lambda I, så teknikken er kjent — det nye er hvordan vi finner tallene λ\lambda.

Determinant av 2×22\times2- og 3×33\times3-matriser (se MAT1100 kap. 5.1–5.2) forutsettes kjent. Formelsamlingen gir definisjonen av egenverdi/egenvektor og betingelsen det⁡(λIn−A)=0\det(\lambda I_n - A) = 0.

Noen retninger i rommet er spesielle for en matrise: når AA virker på dem, blir vektoren bare strukket eller krympet — den peker fortsatt samme vei. En slik retning er en egenvektor, og strekkfaktoren er en egenverdi. Dette er ikke en kuriositet: så snart vi kan splitte en vektor i egenvektorer, blir gjentatt matrisemultiplikasjon AnA^n triviell (kap. 6.2), og langtidsoppførselen til en Markov-prosess (befolkning, andeler, bestand) kan leses direkte av den største egenverdien.

Vi bygger temaet i tre løkker: (1) hva egenverdier og egenvektorer er, og hvordan den karakteristiske likningen det⁡(λI−A)=0\det(\lambda I - A) = 0 finner egenverdiene; (2) egenvektorene fra (A−λI)v=0(A-\lambda I)v = 0 ved radreduksjon, med multiplisitet; (3) kontrollverktøyene (spor og determinant) og de symmetriske matrisenes spesialposisjon. Hver løkke går teori → gjennomregnet eksempel → øvingsoppgave.

Løkke 1 — Egenverdier og den karakteristiske likningen (~16 min)

Egenverdi og egenvektor
La AA være en kvadratisk n×nn\times n-matrise. En egenvektor er en vektor v≠0v\ne 0 som AA bare strekker langs sin egen retning, og den tilhørende strekkfaktoren λ\lambda er en egenverdi. I symboler:

Av=λv,v≠0.Av = \lambda v,\qquad v\ne 0.

Kravet v≠0v\ne 0 er vesentlig: nullvektoren oppfyller A⋅0=λ⋅0A\cdot 0 = \lambda\cdot 0 for enhver λ\lambda og er aldri en egenvektor. Egenverdien λ\lambda kan derimot godt være 00.

Karakteristisk likning det⁡(λI−A)=0\det(\lambda I - A)=0
Å lete etter egenverdier er å lete etter λ\lambda slik at Av=λvAv=\lambda v har en løsning v≠0v\ne 0. Skriv om: Av−λv=0Av-\lambda v = 0, altså (λI−A)v=0(\lambda I - A)v = 0 (der II er identitetsmatrisen). Dette homogene systemet har en løsning forskjellig fra null nøyaktig når matrisen λI−A\lambda I - A ikke er inverterbar, det vil si når

det⁡(λI−A)=0.\det(\lambda I - A) = 0.

Dette er den karakteristiske likningen (formelsamlingens form). Formen det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 er ekvivalent og gir samme egenverdier — de to determinantene skiller seg bare med faktoren (−1)n(-1)^n.

Karakteristisk polynom

Venstresiden p(λ)=det⁡(λI−A)p(\lambda)=\det(\lambda I - A) er et polynom av grad nn i λ\lambda, kalt det karakteristiske polynomet. Egenverdiene er nettopp røttene til dette polynomet. For en 2×22\times2-matrise blir det andregrads, for en 3×33\times3 tredjegrads. Å finne egenverdier er derfor å faktorisere et polynom — se etter heltallsrøtter først.

📜Spor–determinant-formen for 2×22\times2
For A=(abcd)A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} er det karakteristiske polynomet

p(λ)=λ2−(a+d) λ+(ad−bc)=λ2−(tr⁡A) λ+det⁡A,p(\lambda)=\lambda^2 - (a+d)\,\lambda + (ad-bc) = \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A,

der tr⁡A=a+d\operatorname{tr}A = a+d er sporet (summen av diagonalen). Egenverdiene er røttene til andregradslikningen λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0. Dette gir en rask håndregning for 2×22\times2-matriser.

✏️Eksempel 1: Egenverdier til en $2\times2$-matrise

Finn egenverdiene til A=(4123)A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}.

Vi bruker den karakteristiske likningen det⁡(λI−A)=0\det(\lambda I - A)=0:

λI−A=(λ−4−1−2λ−3),det⁡(λI−A)=(λ−4)(λ−3)−(−1)(−2).\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-4 & -1 \\ -2 & \lambda-3\end{pmatrix},\qquad \det(\lambda I - A) = (\lambda-4)(\lambda-3) - (-1)(-2).

Regn ut: (λ−4)(λ−3)−2=λ2−7λ+12−2=λ2−7λ+10(\lambda-4)(\lambda-3) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10. Dette faktoriseres:

λ2−7λ+10=(λ−2)(λ−5)=0.\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda-2)(\lambda-5) = 0.

Egenverdiene er λ1=2\lambda_1 = 2 og λ2=5\lambda_2 = 5. Kontroll med spor og determinant: tr⁡A=4+3=7=2+5\operatorname{tr}A = 4+3 = 7 = 2+5 ✓ og det⁡A=4⋅3−1⋅2=10=2⋅5\det A = 4\cdot3 - 1\cdot2 = 10 = 2\cdot5 ✓.

📝Oppgave 1

Finn egenverdiene til A=(2112)A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} ved den karakteristiske likningen, og kontroller svaret mot spor og determinant.

Løkke 2 — Egenvektorer, egenrom og multiplisitet (~18 min)

Egenvektorer fra nullrommet til A−λIA-\lambda I
Når en egenverdi λ\lambda er funnet, finnes egenvektorene ved å løse det homogene systemet

(A−λI)v=0.(A-\lambda I)v = 0.

Dette er en ren radreduksjonsoppgave (kap. 1.1): sett opp A−λIA-\lambda I, radreduser, og les av nullrommet med de frie variablene som parametre. Egenvektorene er alle løsningene v≠0v\ne 0. Bruk radreduksjon, ikke gjetting — det er der sensor honorerer føringen.

Egenrom
Egenrommet til en egenverdi λ\lambda er hele nullrommet Eλ=N(A−λI)={v:(A−λI)v=0}E_\lambda = N(A-\lambda I) = \{v : (A-\lambda I)v = 0\} — det vil si alle egenvektorer for λ\lambda pluss nullvektoren. Det er et underrom, så det har en dimensjon og en basis. Egenrommet samler alle retningene som AA strekker med samme faktor λ\lambda.
Algebraisk multiplisitet

Den algebraiske multiplisiteten til en egenverdi λ\lambda er antall ganger (λ−λ0)(\lambda - \lambda_0) forekommer som faktor i det karakteristiske polynomet — altså røttens multiplisitet. En dobbeltrot (p(λ)=(λ−λ0)2⋯p(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^2\cdots) har algebraisk multiplisitet 22. Summen av de algebraiske multiplisitetene er alltid nn (regnet med komplekse røtter).

Geometrisk multiplisitet

Den geometriske multiplisiteten til λ\lambda er dimensjonen til egenrommet EλE_\lambda — antall lineært uavhengige egenvektorer for λ\lambda, som er antall frie variabler når A−λIA-\lambda I radreduseres. Den er alltid minst 11 og aldri større enn den algebraiske multiplisiteten. Når de to er like for hver egenverdi, er matrisen diagonaliserbar (kap. 6.2).

✏️Eksempel 2: Egenvektorer til en $3\times3$-matrise

Finn egenverdiene og en basis for hvert egenrom til A=(211121112)A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}.

Egenverdier. Vi regner det⁡(λI−A)\det(\lambda I - A). Med λI−A=(λ−2−1−1−1λ−2−1−1−1λ−2)\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-2\end{pmatrix} gir kofaktorutvikling

p(λ)=(λ−1)2(λ−4).p(\lambda) = (\lambda-1)^2(\lambda-4).

(Kontroll: tr⁡A=6=1+1+4\operatorname{tr}A = 6 = 1+1+4 ✓, det⁡A=4=1⋅1⋅4\det A = 4 = 1\cdot1\cdot4 ✓.) Altså λ=1\lambda = 1 med algebraisk multiplisitet 22, og λ=4\lambda = 4 med multiplisitet 11.

Egenrom for λ=4\lambda = 4: løs (A−4I)v=0(A-4I)v=0:
A−4I=(−2111−2111−2)∼  I↔III  (11−21−21−211)∼  II−I, III+2I  (11−20−3303−3)∼  III+II, −13II  (11−201−1000).A-4I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}\overset{\;I\leftrightarrow III\;}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix}\overset{\;II-I,\ III+2I\;}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 3 & -3\end{pmatrix}\overset{\;III+II,\ -\tfrac13 II\;}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Sett v3=tv_3 = t: v2=tv_2 = t, v1=−v2+2v3=tv_1 = -v_2 + 2v_3 = t. Basis for E4E_4: (1,1,1)(1,1,1).

Egenrom for λ=1\lambda = 1: løs (A−I)v=0(A-I)v=0 med A−I=(111111111)∼  II−I, III−I  (111000000).A-I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\overset{\;II-I,\ III-I\;}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}. Én pivot, to frie variabler: v1=−v2−v3v_1 = -v_2 - v_3. Sett (v2,v3)=(1,0)(v_2,v_3)=(1,0) og (0,1)(0,1): basis for E1E_1: (−1,1,0)(-1,1,0) og (−1,0,1)(-1,0,1).

Konklusjon: geometrisk multiplisitet er 22 for λ=1\lambda=1 og 11 for λ=4\lambda=4 — begge lik den algebraiske, så AA er diagonaliserbar (kap. 6.2).

📝Oppgave 2

Finn egenverdiene og en basis for hvert egenrom til A=(300120112)A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}.

Løkke 3 — Kontroller, komplekse og symmetriske egenverdier (~14 min)

📜Spor = sum, determinant = produkt
For enhver n×nn\times n-matrise AA med egenverdier λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n (regnet med multiplisitet) gjelder

λ1+⋯+λn=tr⁡A(diagonalsummen),λ1⋯λn=det⁡A.\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A \quad(\text{diagonalsummen}),\qquad \lambda_1\cdots\lambda_n = \det A.

Dette er de to raskeste kontrollene i hele kapitlet: har du regnet ut egenverdiene, sjekk at summen er sporet og produktet er determinanten før du går videre. En avvikende sum avslører en regnefeil umiddelbart.

Reelle og komplekse egenverdier

Det karakteristiske polynomet kan ha komplekse røtter selv når AA har reelle innganger — da opptrer egenverdiene i konjugerte par α±βi\alpha \pm \beta i. Geometrisk svarer det til en rotasjon som ikke har noen reell egenretning. Eksempel: rotasjonsmatrisen (0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} har egenverdier ±i\pm i og ingen reell egenvektor. I dette kurset holder vi oss stort sett til reelle egenverdier.

Symmetrisk matrise

En matrise er symmetrisk når AT=AA^T = A — den er speilsymmetrisk om diagonalen, så aij=ajia_{ij} = a_{ji}. Symmetriske matriser er spesielt snille: de har alltid bare reelle egenverdier, og egenvektorer for ulike egenverdier står vinkelrett på hverandre. Matrisen (211121112)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} fra Eksempel 2 er symmetrisk.

📜Spektralteoremet (kjennskap)

En reell symmetrisk matrise har nn reelle egenverdier (med multiplisitet) og et fullt sett av innbyrdes ortogonale egenvektorer. Den kan derfor alltid diagonaliseres med en ortogonal matrise: A=QDQTA = QDQ^T der QQ har ortonormale egenvektorsøyler. Dette er broen til ortogonal diagonalisering i kap. 6.2 — her holder det å kjenne resultatet.

✏️Eksempel 3: Kontroll og komplekse egenverdier

Finn egenverdiene til A=(1−213)A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}, og bruk spor/determinant som kontroll.

tr⁡A=1+3=4\operatorname{tr}A = 1+3 = 4 og det⁡A=1⋅3−(−2)⋅1=5\det A = 1\cdot3 - (-2)\cdot1 = 5. Den karakteristiske likningen er derfor

λ2−4λ+5=0⇒λ=4±16−202=4±−42=2±i.\lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2} = \frac{4\pm\sqrt{-4}}{2} = 2 \pm i.

Egenverdiene er λ=2+i\lambda = 2 + i og λ=2−i\lambda = 2 - i — et konjugert komplekst par, så AA har ingen reell egenvektor. Kontroll: summen (2+i)+(2−i)=4=tr⁡A(2+i)+(2-i) = 4 = \operatorname{tr}A ✓, produktet (2+i)(2−i)=4−i2=5=det⁡A(2+i)(2-i) = 4 - i^2 = 5 = \det A ✓.

📝Oppgave 3

En 2×22\times2-matrise har tr⁡A=5\operatorname{tr}A = 5 og det⁡A=6\det A = 6. Finn egenverdiene uten å kjenne matrisen, og forklar hvorfor spor/determinant er nok.

Eksamensrettet oppgavepulje

Stigende vanskegrad. Finn egenverdiene med den karakteristiske likningen, egenvektorene med radreduksjon, og kontroller alltid mot spor og determinant.

📝Oppgave 4

Finn egenverdiene til den diagonale matrisen A=(500−2)A=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix} og en egenvektor for hver.

📝Oppgave 5

Finn egenverdiene og en egenvektor for hver til A=(0223)A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}.

📝Oppgave 6

Vis at λ=1\lambda = 1 er en egenverdi til A=(2−11010−112)A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2\end{pmatrix}, og finn en tilhørende egenvektor.

📝Oppgave 7

Finn egenverdiene til A=(122212221)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix} (matrisen er symmetrisk), og angi den algebraiske multiplisiteten til hver.

📝Oppgave 8

La A=(2102)A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}.

a) Finn egenverdien(e) og den algebraiske multiplisiteten.

b) Bestem den geometriske multiplisiteten og avgjør om AA er diagonaliserbar.

Begrepsbank

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet som oppslag og flashcards.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Identitetsmatrise InI_n

Den kvadratiske matrisen med ettall på diagonalen og null ellers; den virker som 11 under multiplikasjon: Inv=vI_n v = v for alle vv. I egenverditeori dukker den opp i λI−A\lambda I - A, der λI\lambda I er λ\lambda langs hele diagonalen. Uten II ville A−λA - \lambda vært meningsløst (man kan ikke trekke et tall fra en matrise).

Spor (trace)

Sporet tr⁡A\operatorname{tr}A er summen av diagonalinngangene til en kvadratisk matrise. Det er lik summen av egenverdiene, og brukes derfor som lynrask kontroll. For (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} er sporet a+da+d.

Diagonaliserbar matrise

En matrise er diagonaliserbar når den har nn lineært uavhengige egenvektorer — likeverdig: geometrisk multiplisitet == algebraisk multiplisitet for hver egenverdi. Da kan AA skrives PDP−1PDP^{-1} med DD diagonal (kap. 6.2). Matriser med en «manglende» egenvektor (som (2102)\begin{pmatrix} 2&1\\0&2\end{pmatrix}) er ikke diagonaliserbare.

Egenvektorer for ulike egenverdier er uavhengige

Egenvektorer som hører til forskjellige egenverdier, er alltid lineært uavhengige. Har en n×nn\times n-matrise nn forskjellige egenverdier, får man dermed automatisk nn uavhengige egenvektorer — og matrisen er diagonaliserbar. Dette er grunnen til at multiplisitet bare skaper problemer når en egenverdi gjentas.

Stokastisk (Markov-) matrise og egenverdi 1

En stokastisk matrise har ikke-negative innganger og hver søyle summerer til 11 (andeler som fordeles). En slik matrise har alltid λ=1\lambda = 1 som egenverdi, og alle egenverdier oppfyller ∣λ∣≤1|\lambda|\le 1. Egenvektoren for λ=1\lambda=1 gir den stasjonære fordelingen — grunnlaget for langtidsgrensen lim⁡Anv\lim A^n v i kap. 6.2.

Grad og røtter til det karakteristiske polynomet

For en n×nn\times n-matrise har det karakteristiske polynomet grad nn, så det har nøyaktig nn røtter regnet med multiplisitet (og komplekse røtter). Antall forskjellige egenverdier kan være færre. Å finne egenverdier er derfor et polynomfaktoriseringsproblem — let etter heltallsrøtter blant divisorene av konstantleddet det⁡A\det A.

Repetisjon
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.