6.2 Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

A = PDP⁻¹, Aⁿ = PDⁿP⁻¹, og lim Aⁿv via egenvektordekomponering — Markov-langtidsgrensen som var fast slutteksamensstoff før regimeskiftet.

55 min

11 oppgaver

Diagonaliseringlim Aⁿv (Markov)

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Egenverdier og egenvektorer

Egenverditeoriens store nyttegjøring — og slutteksamensstoff i det gamle regimet.

- Diagonalisering og langtidsgrensen (sjanger B/C) — å skrive $A=PDP^{-1}$ , regne $A^n$ , og bestemme $\lim_{n\to\infty} A^n v$ for en Markov-prosess — dukker opp i 12 av 20 arkiverte sett (60 %), med Markov-kontekst (befolkning, bestand, andeler) i 2007, 2008, 2016, 2019, 2022 og 2024. Matrise-kvadratrot og spektralbasis (sjanger C) i 3 sett.
- Men: 0 av 3 sett i V2025, som for egenverdier ellers. Dette er beredskap — fullt dekket fordi det hviler tungt på formelsamlingen og var karakterskiller i alle gamle sett, men prioritert etter det nye tyngdepunktet.
- Fasiten aksepterer to gyldige veier for $\lim A^n v$ : (a) egenvektordekomponering (ryddigst — 2022/2024), og (b) full diagonalisering. Vi viser begge; velg den raskeste.
- Ingen offisiell fasit i arkivet (⚠️) — metoden er faglig standard.

Prioritet: beredskap. Målet er at du kan splitte en startvektor i egenvektorer og lese langtidsgrensen direkte av den dominerende egenverdien.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger direkte på kap. 6.1 (egenverdier og egenvektorer) og på inversregning fra kap. 1.3 (vi trenger

P^{-1}

). Overgangsmatriser og andeler (se MAT1100 kap. 5.3) modnes her til egenverditeori: der du før regnet steg for steg, leser du nå av grensen med én gang.

Sist du var her (kap. 6.1): egenverdiene løses fra $\det(\lambda I - A)=0$ ; egenvektorene er nullrommet til $A-\lambda I$ ; egenvektorer for ulike egenverdier er lineært uavhengige. Alt dette bruker vi nå.

Å gange en matrise med seg selv mange ganger — $A^n$ — er tungt direkte, men lett hvis vi bytter til egenvektorbasis. I den basisen er $A$ bare en diagonalmatrise som strekker hver egenretning med sin egenverdi, og da blir $A^n$ trivielt: strekk hver retning med $\lambda^n$ . Dette er hele ideen bak diagonalisering.

Den viktigste anvendelsen er langtidsoppførsel: en Markov-prosess (andeler som flyttes rundt hvert år) styres av matrisen $A$ , og tilstanden etter $n$ år er $A^n x_0$ . Splitter vi $x_0$ i egenvektorer, ser vi umiddelbart hva som skjer når $n\to\infty$ : ledd med $|\lambda|<1$ dør ut, og bare den stasjonære komponenten ( $\lambda=1$ ) overlever. Vi bygger dette i tre løkker: (1) diagonalisering $A=PDP^{-1}$ ; (2) $A^n = PD^nP^{-1}$ ; (3) $\lim A^n v$ via egenvektordekomponering, med Markov.

Løkke 1 — Diagonalisering $A = PDP^{-1}$ (~18 min)

Diagonalisering

A = PDP^{-1}

A = PDP^{-1},

📜Diagonaliserbarhetskriteriet

En $n\times n$ -matrise $A$ er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har $n$ lineært uavhengige egenvektorer. To tilstrekkelige situasjoner:

- $A$ har $n$ forskjellige egenverdier (da er egenvektorene automatisk uavhengige), eller
- geometrisk multiplisitet $=$ algebraisk multiplisitet for hver egenverdi.

Er disse uavhengige egenvektorene funnet, settes de som søyler i $P$ , og $D = P^{-1}AP$ blir diagonal med egenverdiene.

Matrisen

P

og matrisen

D

P

✏️Eksempel 1: Diagonaliser en $2\times2$-matrise

Diagonaliser $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$ .

Egenverdier:

\det(\lambda I - A) = (\lambda-3)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-4)(\lambda-2)

, så

\lambda_1 = 4,\ \lambda_2 = 2

. (Kontroll:

4+2=6=\operatorname{tr}A

✓,

4\cdot2=8=\det A

✓.)

Egenvektorer. $\lambda=4$ : $A-4I=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\overset{\;II+I\;}{\sim}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , egenvektor $(1,1)$ . $\lambda=2$ : $A-2I=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\overset{\;II-I\;}{\sim}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , egenvektor $(1,-1)$ .

Sett sammen (egenvektorer som søyler, egenverdier i samme rekkefølge):

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix},\qquad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix},\qquad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}.$

Konklusjon: $A = PDP^{-1}$ . To forskjellige egenverdier ⇒ $A$ er diagonaliserbar.

📝Oppgave 1

Diagonaliser $A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$ : finn $P$ , $D$ og $P^{-1}$ .

Løkke 2 — Potenser: $A^n = PD^nP^{-1}$ (~14 min)

📜Potensformelen

A^n = PD^nP^{-1}

Når

A = PDP^{-1}

, teleskoperer produktet

A^n

: de indre

P^{-1}P

-paene blir identitet, så

$A^n = PD^nP^{-1},\qquad D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).$

Det tunge $A^n$ er dermed redusert til å opphøye tall i $n$ -te potens på diagonalen. Dette er hele nyttegjøringen av diagonalisering: gjentatt matrisemultiplikasjon blir triviell i egenvektorbasisen.

Diagonalmatrise og dens potens

n

✏️Eksempel 2: Regn $A^n$ med diagonalisering

Bruk diagonaliseringen fra Eksempel 1 til å finne et lukket uttrykk for $A^n$ når $A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$ .

Fra Eksempel 1:

P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

D=\operatorname{diag}(4,2)

P^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}

. Da er

D^n = \operatorname{diag}(4^n,2^n)

, og

$A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix}.$

Regn de to produktene: $\begin{pmatrix} 4^n & 2^n \\ 4^n & -2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & -\tfrac12\end{pmatrix} = \dfrac12\begin{pmatrix} 4^n+2^n & 4^n-2^n \\ 4^n-2^n & 4^n+2^n\end{pmatrix}.$

Konklusjon: $A^n = \dfrac12\begin{pmatrix} 4^n+2^n & 4^n-2^n \\ 4^n-2^n & 4^n+2^n\end{pmatrix}$ . (Sjekk $n=1$ : $\tfrac12\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = A$ ✓.)

📝Oppgave 2

La $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$ . Finn egenverdiene og bruk $A^n=PD^nP^{-1}$ til å skrive $A^n$ på lukket form.

Løkke 3 — $\lim A^n v$ via egenvektordekomponering og Markov (~18 min)

Egenvektordekomponering

A

📜Langtidsgrensen

\lim_{n\to\infty} A^n v

Med $A^n v = \sum_i c_i\lambda_i^n v_i$ avgjør størrelsen på egenverdiene grensen ledd for ledd:

- $|\lambda_i| < 1$ : leddet $\lambda_i^n \to 0$ — dør ut.
- $\lambda_i = 1$ : leddet $\to c_i v_i$ — den stasjonære komponenten overlever.
- $|\lambda_i| > 1$ : leddet divergerer (vokser ubegrenset).

For en Markov-matrise (der $\lambda=1$ og alle andre $|\lambda|<1$ ) er derfor $\lim_{n\to\infty} A^n v = c\,v_1$ , komponenten langs egenvektoren for $\lambda=1$ .

Stokastisk (Markov-) matrise

1

Stasjonær fordeling

\lambda=1

✏️Eksempel 3: Markov-langtidsgrense via dekomponering

En Markov-matrise er $A=\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}$ (søylesum $1$ ). Skriv startvektoren $x_0=(1,0)^T$ som lineærkombinasjon av egenvektorene og bestem $\lim_{n\to\infty} A^n x_0$ .

Egenverdier.

\operatorname{tr}A = 1{,}5

\det A = 0{,}56 - 0{,}06 = 0{,}5

, så

\lambda^2 - 1{,}5\lambda + 0{,}5 = 0 \Rightarrow \lambda = 1

eller

\lambda = 0{,}5

. (En stokastisk matrise har alltid

\lambda=1

Egenvektorer. $\lambda=1$ : $A-I=\begin{pmatrix} -0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & -0{,}3\end{pmatrix}$ gir $0{,}2v_1 = 0{,}3v_2$ , egenvektor $v_1=(3,2)$ . $\lambda=0{,}5$ : $A-0{,}5I=\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}2\end{pmatrix}$ gir $v_1=-v_2$ , egenvektor $v_2=(1,-1)$ .

Dekomponering. Løs $c_1(3,2) + c_2(1,-1) = (1,0)$ : $3c_1 + c_2 = 1$ og $2c_1 - c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = 2c_1$ , så $5c_1 = 1 \Rightarrow c_1 = \tfrac15,\ c_2 = \tfrac25$ . Altså $x_0 = \tfrac15(3,2) + \tfrac25(1,-1)$ .

Grensen. $A^n x_0 = \tfrac15\cdot 1^n\,(3,2) + \tfrac25\cdot(0{,}5)^n\,(1,-1)$ . Andre ledd $\to 0$ , så

$\lim_{n\to\infty} A^n x_0 = \tfrac15(3,2) = \left(\tfrac{3}{5},\tfrac{2}{5}\right).$

Konklusjon: systemet nærmer seg den stasjonære fordelingen $(0{,}6,\ 0{,}4)$ — uansett startfordeling, siden bare $\lambda=1$ -komponenten overlever.

📝Oppgave 3

To byer utveksler innbyggere hvert år etter Markov-matrisen $A=\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8\end{pmatrix}$ (søylesum $1$ ). Finn den stasjonære fordelingen ved egenvektordekomponering, og forklar hva den betyr.

Typiske feil

- Regne $A^n$ direkte i stedet for å splitte startvektoren i egenvektorbasis. Dekomponeringen er nesten alltid raskere for $\lim A^n v$ .
- Glemme hvilke ledd som overlever. $|\lambda|<1$ dør ut, $\lambda=1$ gir den stasjonære komponenten, $|\lambda|>1$ divergerer. Ikke la et $\lambda=1$ -ledd forsvinne.
- Feil rekkefølge i $PD^nP^{-1}$ . Det er $P$ (egenvektorer) til venstre og $P^{-1}$ til høyre — bytter du om, får du feil svar. Sjekk med $n=1$ : da må $A^n$ bli $A$ .
- Anta diagonaliserbarhet uten å sjekke. Uten $n$ uavhengige egenvektorer finnes ikke $P^{-1}$ . En defekt egenverdi (geom. < alg. multiplisitet) sperrer diagonaliseringen.
- Ikke skalere den stasjonære fordelingen. Egenvektoren for $\lambda=1$ må skaleres til komponentsum $1$ for å være en fordeling.

Eksamensrettet oppgavepulje

Stigende vanskegrad. Diagonaliser, regn potenser, og les langtidsgrenser av den dominerende egenverdien.

📝Oppgave 4

La $D=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix}$ . Finn $D^{n}$ og $\lim_{n\to\infty} D^n\,(1,1)^T$ .

📝Oppgave 5

Avgjør om $A=\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 5\end{pmatrix}$ er diagonaliserbar, og begrunn.

📝Oppgave 6

Diagonaliser $A=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$ og skriv $A^n$ på lukket form.

📝Oppgave 7

En Markov-prosess har $A=\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6\end{pmatrix}$ (søylesum $1$ ) og start $x_0=(1,0)^T$ . Bestem $\lim_{n\to\infty} A^n x_0$ ved egenvektordekomponering.

📝Oppgave 8

La $A$ være diagonaliserbar med egenverdier $2$ , $1$ og $\tfrac12$ og tilhørende egenvektorer $u_1,u_2,u_3$ . En vektor er $w = 3u_1 + 5u_2 - 2u_3$ .

a) Skriv $A^n w$ .

b) Finnes $\lim_{n\to\infty} A^n w$ ?

c) Hva blir $\lim_{n\to\infty} \left(\tfrac12 A\right)^n w$ ?

Begrepsbank

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet som oppslag og flashcards.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Egenbasis (spektralbasis)

\mathbb{R}^n

Potensformelen (oppslag)

A^n = PD^nP^{-1}

Dominerende egenverdi

|\lambda|

Overgangsmatrise

(i,j)

Konvergens av en Markov-kjede

\lambda=1

Ortogonal diagonalisering (symmetrisk)

A = QDQ^T

Matrise-kvadratrot

A^{1/2}

A = PDP^{-1}

Similære matriser

A

Defekt (ikke-diagonaliserbar) matrise

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

Repetisjon

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

6.2 Diagonalisering, Aⁿ og lim Aⁿv (Markov)

Løkke 1 — Diagonalisering A=PDP−1A = PDP^{-1}A=PDP−1 (~18 min)

Løkke 2 — Potenser: An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}An=PDnP−1 (~14 min)

Løkke 3 — lim⁡Anv\lim A^n vlimAnv via egenvektordekomponering og Markov (~18 min)

Eksamensrettet oppgavepulje

Begrepsbank

Løkke 1 — Diagonalisering $A = PDP^{-1}$ (~18 min)

Løkke 2 — Potenser: $A^n = PD^nP^{-1}$ (~14 min)

Løkke 3 — $\lim A^n v$ via egenvektordekomponering og Markov (~18 min)