6.3 Tallrekker og potensrekkers konvergensområde

En rekke $\sum_{n=1}^\infty a_n$ er summen av uendelig mange ledd. Vi gir den mening som grensen av delsummene $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$: hvis $S_N$ nærmer seg et endelig tall $S$ når $N\to\infty$, sier vi at rekka konvergerer og har sum $S$. Delsummen er altså den endelige summen av de $N$ første leddene.

En rekke konvergerer hvis følgen av delsummer $S_N$ har en endelig grense; den divergerer ellers (grensen er $\pm\infty$ eller finnes ikke). Merk skillet: en følge $a_n$ er de enkelte leddene, en rekke er summen deres. En rekke kan divergere selv om leddene $a_n\to 0$.

Hvis leddene ikke går mot null, $a_n \not\to 0$, divergerer rekka $\sum a_n$. Dette er den første testen å prøve: går ikke leddene mot null, er du ferdig — rekka divergerer. Advarsel: det motsatte gjelder ikke. At $a_n\to 0$ er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for konvergens (den harmoniske rekka er moteksempelet).

$$\sum_{n=0}^\infty a\,k^n = \frac{a}{1-k}\qquad(|k|<1).$$

For $|k|\ge 1$ divergerer den. Dette er den ene rekka vi kan summere eksakt uten videre, og referansen for de fleste andre teknikker.

Den harmoniske rekka $\sum_{n=1}^\infty \tfrac1n = 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ divergerer, selv om leddene $\tfrac1n \to 0$. Den er det klassiske moteksempelet på at $a_n\to 0$ ikke er nok for konvergens, og dukker opp hver gang et endepunkt gir $\sum \tfrac1n$.

En $p$-rekke er $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^p}$. Den konvergerer hvis og bare hvis $p>1$, og divergerer for $p\le 1$. Spesialtilfeller: $p=1$ er den harmoniske rekka (divergerer), $p=2$ gir $\sum \tfrac{1}{n^2}$ (konvergerer). $p$-rekkene er standard sammenligningsrekker.

Se på grensen av forholdet mellom nabo­ledd: $L = \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Da:

- $L < 1$: rekka konvergerer (absolutt),
- $L > 1$: rekka divergerer,
- $L = 1$: testen er inkonklusiv — prøv en annen.

Forholdstesten er førstevalget når leddene inneholder fakultet ($n!$) eller potenser ($k^n$), fordi de forenkles kraftig i forholdet.

Se på $L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$. Samme konklusjon som forholdstesten: $L<1$ konvergens, $L>1$ divergens, $L=1$ inkonklusiv. Rottesten er nyttig når hele leddet er opphøyd i $n$-te potens, f.eks. $a_n = \left(\tfrac{n}{2n+1}\right)^n$.

For rekker med ikke-negative ledd: hvis $0\le a_n \le b_n$ og $\sum b_n$ konvergerer, så konvergerer $\sum a_n$; hvis $a_n \ge b_n \ge 0$ og $\sum b_n$ divergerer, så divergerer $\sum a_n$. Navngi alltid sammenligningsrekka $b_n$ (typisk en $p$-rekke eller geometrisk rekke) og pass på riktig ulikhetsretning.

For positive ledd: hvis $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = c$ med $0<c<\infty$, oppfører $\sum a_n$ og $\sum b_n$ seg likt — begge konvergerer eller begge divergerer. Dette er ofte lettere enn ren sammenligning: velg $b_n$ som den dominerende oppførselen til $a_n$ (f.eks. $b_n=\tfrac{1}{n^2}$ når $a_n = \tfrac{n}{n^3+2}$).

Hvis $a_n = f(n)$ der $f$ er positiv, avtakende og kontinuerlig for $x\ge 1$, så konvergerer $\sum_{n=1}^\infty a_n$ hvis og bare hvis det uegentlige integralet $\int_1^\infty f(x)\,dx$ konvergerer. Testen forklarer $p$-rekkene: $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergerer nøyaktig for $p>1$.

En alternerende rekke $\sum (-1)^{n} b_n$ (med $b_n>0$) skifter fortegn hvert ledd. Leibniz' kriterium: hvis $b_n$ er avtakende og $b_n\to 0$, konvergerer rekka. Klassisk eksempel: den alternerende harmoniske rekka $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergerer (til $\ln 2$), selv om $\sum \tfrac1n$ divergerer.

En rekke konvergerer absolutt hvis $\sum |a_n|$ konvergerer — da konvergerer også $\sum a_n$. Konvergerer $\sum a_n$ mens $\sum|a_n|$ divergerer, er konvergensen betinget. Eksempel: $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergerer betinget (selve rekka konvergerer, men absoluttverdirekka er den divergente harmoniske). Absolutt konvergens er «sterkere» og bevares under omordning.

En potensrekke er $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$ (evt. sentrert i $x_0$: $\sum a_n (x-x_0)^n$). Den er en «uendelig polynom» som representerer en funksjon der den konvergerer. Spørsmålet er alltid: for hvilke $x$ konvergerer den?

$$\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \quad(\text{eller } \tfrac1R = \lim \sqrt[n]{|a_n|}).$$

$R$ kan være $0$ (bare $x=0$), et positivt tall, eller $\infty$ (hele $\mathbb{R}$).

Følgen $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ av endelige summer. Hele rekkebegrepet hviler på denne: rekka er grensen $\lim_{N\to\infty} S_N$. En rekke konvergerer nettopp når delsumfølgen konvergerer — nyttig direkte for teleskoperende rekker der $S_N$ har et lukket uttrykk.

En rekke der leddene skrives som en differanse $a_n = b_n - b_{n+1}$, slik at nesten alt kanselleres i delsummen: $S_N = b_1 - b_{N+1}$. Eksempel: $\sum \tfrac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\tfrac1n - \tfrac1{n+1}\right)$ gir $S_N = 1 - \tfrac{1}{N+1} \to 1$. Da finnes den eksakte summen direkte.

Formelsamlingens potensrekker som brukes til summering (kap. 6.4): $\dfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ ($|x|<1$), $e^x=\sum\tfrac{x^n}{n!}$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)=\sum \tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ ($-1<x\le 1$), $\arctan x$. Å gjenkjenne en rekke mot disse er ofte raskeste vei til en lukket sum.