Tilbake
6.1
Alle fag for Høyskole

6.1 Symmetriske matriser og spektralteoremet: ortogonal diagonalisering A=PDPᵀ

Spektralteoremet: en symmetrisk matrise er ortogonalt diagonaliserbar A=PDPᵀ med ortonormale egenvektorer. Metoden: normalisér, og kjør Gram–Schmidt INNEN et egenrom med multiplisitet.

60 min
9 oppgaver
Symmetriske matriserspektralteoremetortogonal diagonalisering A=PDPᵀ
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 3.2 — diagonalisering A=PDP−1A=PDP^{-1} og diagonaliserbarhetskriteriet; hele metoden bygges videre her
- Kap. 4.2 — Gram–Schmidt og ortonormal basis, verktøyet vi bruker inne i et egenrom
- Kap. 3.1 — egenverdier, egenvektorer og egenrom Eλ=Nul⁡(A−λI)E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)
- Kap. 4.1 — norm og skalarprodukt i Rn\mathbb{R}^{n}
- Matriseregning og transponering (MAT1110) — matriseprodukt og transponering

Sist du var her

Dette kapitlet står på tre resultater du bør ha friskt i minne:

- Diagonalisering (kap. 3.2): A=PDP−1A=PDP^{-1} der søylene i PP er uavhengige egenvektorer og DD har egenverdiene, matchet søyle for søyle.
- Gram–Schmidt (kap. 4.2): gjør en basis {v1,v2}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} ortogonal ved w2=v2−v2⋅v1v1⋅v1v1\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\dfrac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1.
- Normalisering: en vektor v≠0\mathbf{v}\ne\mathbf{0} gjøres til enhetsvektor ved u=1∥v∥v\mathbf{u}=\dfrac{1}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\mathbf{v}.

Spektralteoremet setter disse sammen: symmetri gir en ortonormal egenbasis, og PP blir ortogonal.

En symmetrisk matrise (A=ATA=A^{T}) er ikke en hvilken som helst diagonaliserbar matrise — den har en ekstra, sterk struktur: du kan velge egenvektorene slik at de står vinkelrett på hverandre og har lengde 1. Da blir egenvektormatrisen PP ortogonal, og diagonaliseringen får den pene formen A=PDPTA=PDP^{T}. Dette er spektralteoremet, ett av de mest brukte resultatene i hele faget.

Kapitlet går i fire løkker:

1. Hva symmetri gir: spektralteoremet og hvorfor egenrom står vinkelrett.
2. Metoden når egenverdiene er distinkte: normalisér, bygg ortogonal PP.
3. Gram–Schmidt innen et egenrom når en egenverdi er gjentatt.
4. Spektral dekomposisjon og ortogonale matriser (bro til kap. 7.3).

Løkke 1 — Symmetri, spektralteoremet og ortogonale egenrom (~16 min)

En matrise er symmetrisk hvis den er lik sin egen transponerte: speiler du den om hoveddiagonalen, får du samme matrise. For slike matriser gjelder tre ting som ingen generell diagonaliserbar matrise kan love:

1. Alle egenverdiene er reelle (ingen komplekse par).
2. Egenvektorer som hører til ulike egenverdier er automatisk ortogonale — de står vinkelrett uten at du gjør noe.
3. Det finnes alltid en ortonormal basis av egenvektorer, så AA er ortogonalt diagonaliserbar.

Det er punkt 3 som gir formen A=PDPTA=PDP^{T}.

Symmetrisk matrise

En kvadratisk matrise AA er symmetrisk dersom den er lik sin transponerte: A=ATA=A^{T}, altså aij=ajia_{ij}=a_{ji} for alle i,ji,j. Speilingen om hoveddiagonalen endrer den ikke. Eksempel: [4−2−21]\begin{bmatrix}4&-2\\-2&1\end{bmatrix} er symmetrisk; [1201]\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix} er ikke.

📜Spektralteoremet (symmetriske matriser)
La AA være en reell n×nn\times n-matrise med A=ATA=A^{T}. Da gjelder:

- alle egenverdiene til AA er reelle;
- egenvektorer til ulike egenverdier er ortogonale;
- AA er ortogonalt diagonaliserbar: det finnes en ortogonal matrise PP (PTP=IP^{T}P=I) og en diagonalmatrise DD slik at
A=PDPT.A=PDP^{T}.
Søylene i PP er en ortonormal basis av egenvektorer, og DD har de tilhørende egenverdiene på diagonalen. Omvendt er enhver ortogonalt diagonaliserbar matrise symmetrisk.

Ortogonal diagonalisering A=PDPTA=PDP^{T}

Å diagonalisere AA ortogonalt er å skrive A=PDPTA=PDP^{T} der DD er diagonal og PP er ortogonal — søylene i PP er ortonormale egenvektorer (PTP=IP^{T}P=I, altså P−1=PTP^{-1}=P^{T}). Forskjellen fra den generelle diagonaliseringen A=PDP−1A=PDP^{-1} er nettopp at PP her er ortogonal, så inversen er bare transponeringen. Bare symmetriske matriser kan diagonaliseres ortogonalt.

✏️Eksempel 1: Egenrom til ulike egenverdier står vinkelrett

La A=[2112]A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}. Fra vedlegget er egenverdiene 11 og 33, med egenvektorer (1,−1)T(1,-1)^{T} (for λ=1\lambda=1) og (1,1)T(1,1)^{T} (for λ=3\lambda=3). Vis at egenvektorene er ortogonale, og forklar hvorfor det måtte være slik.

AA er symmetrisk (A=ATA=A^{T}), og egenverdiene 1≠31\ne3 er ulike. Spektralteoremet garanterer da at egenvektorene er ortogonale. Vi kontrollerer med skalarproduktet:
(1,−1)⋅(1,1)=1⋅1+(−1)⋅1=0.(1,-1)\cdot(1,1)=1\cdot1+(-1)\cdot1=0.
De står altså vinkelrett — som teoremet lovet. Merk: dette er en gratis ortogonalitet; for en usymmetrisk matrise ville egenvektorene generelt ikke stått vinkelrett. Konklusjon: egenvektorene er ortogonale fordi AA er symmetrisk og egenverdiene distinkte.
📝Oppgave 1

Avgjør om hver matrise er symmetrisk, og dermed om spektralteoremet gir at den er ortogonalt diagonaliserbar:

a) [5−2−20]\begin{bmatrix}5&-2\\-2&0\end{bmatrix}

b) [31−13]\begin{bmatrix}3&1\\-1&3\end{bmatrix}

c) [140425057]\begin{bmatrix}1&4&0\\4&2&5\\0&5&7\end{bmatrix}

Løkke 2 — Metoden ved distinkte egenverdier: normalisér og bygg ortogonal P (~16 min)

Når de nn egenverdiene er distinkte, er egenvektorene allerede ortogonale (løkke 1). Da mangler bare ett steg for å få en ortogonal PP: å gjøre hver egenvektor til en enhetsvektor ved å dele på lengden. Metoden i tre steg:

a) Les egenverdier og egenvektorer av vedlegget.

b) Normalisér hver egenvektor: ui=1∥vi∥vi\mathbf{u}_i=\dfrac{1}{\lVert\mathbf{v}_i\rVert}\mathbf{v}_i.

c) Sett de ortonormale ui\mathbf{u}_i som søyler i PP og egenverdiene i DD, matchet søyle for søyle. Da er A=PDPTA=PDP^{T}.

Glemmer du normaliseringen, har PP ortogonale, men ikke ortonormale, søyler — da er PP ingen ortogonal matrise, PTP≠IP^{T}P\ne I, og A=PDPTA=PDP^{T} blir feil.

Normalisering av en egenvektor

En egenvektor kan skaleres fritt uten å slutte å være egenvektor. For å få en enhetsvektor (lengde 1) deler du på normen: u=1∥v∥v\mathbf{u}=\dfrac{1}{\lVert\mathbf{v}\rVert}\mathbf{v}, der ∥v∥=v⋅v\lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}. Dette er det som gjør søylene i PP ortonormale i stedet for bare ortogonale, og dermed PP ortogonal.

✏️Eksempel 2: Ortogonal diagonalisering med distinkte egenverdier

Ortogonaldiagonaliser A=[5222]A=\begin{bmatrix}5&2\\2&2\end{bmatrix}. Fra vedlegget ([V D]=eig\texttt{[V D]=eig}) er egenverdiene λ=6\lambda=6 med egenvektor (2,1)T(2,1)^{T} og λ=1\lambda=1 med egenvektor (1,−2)T(1,-2)^{T}.

AA er symmetrisk, og egenverdiene 6≠16\ne1 er distinkte, så egenvektorene er automatisk ortogonale — vi kontrollerer: (2,1)⋅(1,−2)=2−2=0(2,1)\cdot(1,-2)=2-2=0 ✓.

Normalisér. Begge har lengde ∥(2,1)∥=4+1=5\lVert(2,1)\rVert=\sqrt{4+1}=\sqrt5 og ∥(1,−2)∥=5\lVert(1,-2)\rVert=\sqrt5:
u1=15[21],u2=15[1−2].\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{u}_2=\tfrac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}.

Bygg PP og DD matchet søyle for søyle (rekkefølge 6,16,1):
P=15[211−2],D=[6001].P=\frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}6&0\\0&1\end{bmatrix}.

Kontroll at PP er ortogonal: PTP=15[211−2][211−2]=15[5005]=IP^{T}P=\tfrac{1}{5}\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\end{bmatrix}=\tfrac{1}{5}\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}=I ✓. Konklusjon: A=PDPTA=PDP^{T} med P,DP,D som over — eksakte verdier med 15\tfrac{1}{\sqrt5}, ingen desimaler.

📝Oppgave 2

En symmetrisk 2×22\times2-matrise AA har egenverdi 44 med egenvektor (3,4)T(3,4)^{T} og egenverdi −1-1 med egenvektor (4,−3)T(4,-3)^{T}. Skriv opp en ortogonal PP og diagonal DD med A=PDPTA=PDP^{T}.

📝Oppgave 3

En student ortogonaldiagonaliserer A=[5222]A=\begin{bmatrix}5&2\\2&2\end{bmatrix} (eksempel 2) og skriver P=[211−2]P=\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\end{bmatrix}, D=[6001]D=\begin{bmatrix}6&0\\0&1\end{bmatrix}, altså uten å normalisere. Vis at A≠PDPTA\ne PDP^{T} med denne PP, og forklar feilen.

Løkke 3 — Gram–Schmidt innen et egenrom med multiplisitet (~18 min)

Har en egenverdi algebraisk multiplisitet ≥2\ge2, gir vedlegget deg en basis for egenrommet — men de vektorene er som regel ikke ortogonale på hverandre (selv om de står vinkelrett på egenrom til andre egenverdier). Da mangler du ortonormalitet inne i egenrommet, og løsningen er å kjøre Gram–Schmidt på nettopp den basisen, og deretter normalisere.

Framgangsmåte for et to-dimensjonalt egenrom med basis {v1,v2}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}:

a) w1=v1\mathbf{w}_1=\mathbf{v}_1.

b) w2=v2−v2⋅v1v1⋅v1v1\mathbf{w}_2=\mathbf{v}_2-\dfrac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_1}{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1 (trekk ut komponenten langs w1\mathbf{w}_1).

c) Normalisér w1,w2\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2. Egenvektorer fra andre egenrom er allerede ortogonale på disse (spektralteoremet), så bare normalisér dem.

Gram–Schmidt innen et egenrom

Når en egenverdi har et egenrom av dimensjon ≥2\ge2, kan vedleggets egenvektorer i dette rommet være ikke-ortogonale. Kjør Gram–Schmidt på dem for å få en ortogonal basis for egenrommet, og normalisér. Resultatet er fortsatt egenvektorer (enhver lineærkombinasjon av egenvektorer med samme λ\lambda er en egenvektor for λ\lambda), så PP blir ortogonal og DD uendret. Egenrom til andre egenverdier trenger du ikke ortogonalisere mot — de er automatisk vinkelrette.

✏️Eksempel 3: Ortogonal diagonalisering med en dobbel egenverdi

Ortogonaldiagonaliser A=[4−2−2−242−224]A=\begin{bmatrix}4&-2&-2\\-2&4&2\\-2&2&4\end{bmatrix}. Vedlegget gir egenverdiene λ=2\lambda=2 (dobbel) med egenrom utspent av (1,1,0)T(1,1,0)^{T} og (1,0,1)T(1,0,1)^{T}, og λ=8\lambda=8 (enkel) med egenvektor (−1,1,1)T(-1,1,1)^{T}.

AA er symmetrisk, så spektralteoremet gir en ortonormal egenbasis. Egenvektoren for λ=8\lambda=8 er allerede ortogonal på hele E2E_2 (ulike egenverdier). Problemet er inne i E2E_2: (1,1,0)⋅(1,0,1)=1≠0(1,1,0)\cdot(1,0,1)=1\ne0, så de to må ortogonaliseres.

Gram–Schmidt i E2E_2. Sett v1=(1,1,0)T\mathbf{v}_1=(1,1,0)^{T}, v2=(1,0,1)T\mathbf{v}_2=(1,0,1)^{T}:
w1=(1,1,0)T,w2=(1,0,1)T−(1,0,1)⋅(1,1,0)(1,1,0)⋅(1,1,0)(1,1,0)T=(1,0,1)T−12(1,1,0)T=12(1,−1,2)T.\mathbf{w}_1=(1,1,0)^{T},\qquad \mathbf{w}_2=(1,0,1)^{T}-\frac{(1,0,1)\cdot(1,1,0)}{(1,1,0)\cdot(1,1,0)}(1,1,0)^{T}=(1,0,1)^{T}-\tfrac{1}{2}(1,1,0)^{T}=\tfrac{1}{2}(1,-1,2)^{T}.
Vi kan skalere bort 12\tfrac12 og bruke (1,−1,2)T(1,-1,2)^{T}. Kontroll: (1,1,0)⋅(1,−1,2)=0(1,1,0)\cdot(1,-1,2)=0 ✓.

Normalisér. ∥(1,1,0)∥=2\lVert(1,1,0)\rVert=\sqrt2, ∥(1,−1,2)∥=6\lVert(1,-1,2)\rVert=\sqrt6, ∥(−1,1,1)∥=3\lVert(-1,1,1)\rVert=\sqrt3:
u1=12(1,1,0)T,u2=16(1,−1,2)T,u3=13(−1,1,1)T.\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^{T},\quad \mathbf{u}_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)^{T},\quad \mathbf{u}_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1)^{T}.

Bygg P,DP,D (rekkefølge 2,2,82,2,8):
P=[1216−1312−161302613],D=[200020008].P=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&-\tfrac{1}{\sqrt3}\\[2pt]\tfrac{1}{\sqrt2}&-\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\[2pt]0&\tfrac{2}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&8\end{bmatrix}.
Søylene er ortonormale (PTP=IP^{T}P=I), så A=PDPTA=PDP^{T}. Konklusjon: AA er ortogonalt diagonalisert; det avgjørende grepet var Gram–Schmidt inne i det doble egenrommet E2E_2.

📝Oppgave 4

En symmetrisk 3×33\times3-matrise AA har egenverdi λ=5\lambda=5 (dobbel) med egenrom utspent av (1,1,1)T(1,1,1)^{T} og (1,1,−2)T(1,1,-2)^{T}, og egenverdi λ=−1\lambda=-1 med egenvektor (1,−1,0)T(1,-1,0)^{T}.

a) Sjekk at de to basisvektorene i E5E_5 tilfeldigvis allerede er ortogonale.

b) Skriv opp en ortogonal PP og diagonal DD med A=PDPTA=PDP^{T}.

📝Oppgave 5

En symmetrisk AA har egenverdi λ=3\lambda=3 (dobbel) med egenrom utspent av v1=(1,0,1)T\mathbf{v}_1=(1,0,1)^{T} og v2=(0,1,1)T\mathbf{v}_2=(0,1,1)^{T}. Bruk Gram–Schmidt til å finne to ortonormale egenvektorer i E3E_3.

Løkke 4 — Spektral dekomposisjon og ortogonale matriser (~10 min)

Skriver du ut A=PDPTA=PDP^{T} søyle for søyle, får du AA som en vektet sum av projeksjoner:
A=λ1u1u1T+λ2u2u2T+⋯+λnununT,A=\lambda_1\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^{T}+\lambda_2\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^{T}+\dots+\lambda_n\mathbf{u}_n\mathbf{u}_n^{T},
der hver uiuiT\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^{T} er den ortogonale projeksjonen ned på linjen langs ui\mathbf{u}_i. Dette kalles spektral dekomposisjon og er svært nyttig i bevis (bl.a. posdef i kap. 6.2 og ulikheter i kap. 6.3).

Matrisen PP selv er en ortogonal matrise: PTP=IP^{T}P=I. Slike matriser bevarer lengder og vinkler (∥Px∥=∥x∥\lVert P\mathbf{x}\rVert=\lVert\mathbf{x}\rVert) og har det⁡P=±1\det P=\pm1 (rotasjon eller refleksjon). Dette blir sentralt i kap. 7.3 (Householder).

Spektral dekomposisjon

For en symmetrisk A=PDPTA=PDP^{T} med ortonormale egenvektorer ui\mathbf{u}_i og egenverdier λi\lambda_i er A=∑i=1nλiuiuiTA=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^{T}. Hver uiuiT\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^{T} er en n×nn\times n-matrise av rang 1 — projeksjonen ned på linjen langs ui\mathbf{u}_i — og de summeres med egenverdiene som vekter. Kalles også spektraloppløsningen av AA.

Ortogonal matrise

En kvadratisk matrise PP er ortogonal dersom søylene er ortonormale, ekvivalent PTP=IP^{T}P=I, altså P−1=PTP^{-1}=P^{T}. Slike matriser er normbevarende: ∥Px∥=∥x∥\lVert P\mathbf{x}\rVert=\lVert\mathbf{x}\rVert for alle x\mathbf{x}, og de bevarer skalarprodukt. Determinanten er det⁡P=±1\det P=\pm1 (+1+1 rotasjon, −1-1 refleksjon).

✏️Eksempel 4: Spektral dekomposisjon av en 2×2-matrise

Skriv A=[2112]A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix} som en spektral dekomposisjon. (Fra løkke 1: λ=3\lambda=3 med u1=12(1,1)T\mathbf{u}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)^{T}, λ=1\lambda=1 med u2=12(1,−1)T\mathbf{u}_2=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{T}.)

Med de ortonormale egenvektorene:
u1u1T=12[11][11]=12[1111],u2u2T=12[1−1−11].\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^{T}=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^{T}=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}.
Da er
A=3⋅12[1111]+1⋅12[1−1−11]=[32323232]+[12−12−1212]=[2112]=A.A=3\cdot\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}+1\cdot\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\tfrac32&\tfrac32\\\tfrac32&\tfrac32\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\-\tfrac12&\tfrac12\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}=A. ✓
Konklusjon: A=3 u1u1T+1 u2u2TA=3\,\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^{T}+1\,\mathbf{u}_2\mathbf{u}_2^{T} — egenverdiene som vekter på rang-1-projeksjonene.
📝Oppgave 6

La P=15[211−2]P=\dfrac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\end{bmatrix}.

a) Vis at PP er ortogonal.

b) Regn ∥Px∥\lVert P\mathbf{x}\rVert for x=(5,0)T\mathbf{x}=(\sqrt5,0)^{T} og bekreft normbevaring.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Spektralteoremet i én setning

Reell symmetrisk matrise ⇒ reelle egenverdier, ortogonale egenrom, og en ortonormal egenbasis, altså A=PDPTA=PDP^{T} med PP ortogonal. Symmetri er den sterkeste snarveien til diagonaliserbarhet i faget.

Symmetrisk ⇒ reelle egenverdier

En reell symmetrisk matrise har bare reelle egenverdier — aldri komplekse par. Derfor slipper man komplekse tall i F-oppgaver, i motsetning til generelle matriser der komplekse egenverdier kan dukke opp.

Egenrom til ulike egenverdier er ortogonale

For symmetrisk AA står EλE_{\lambda} og EμE_{\mu} vinkelrett når λ≠μ\lambda\ne\mu: er Au=λuA\mathbf{u}=\lambda\mathbf{u} og Av=μvA\mathbf{v}=\mu\mathbf{v}, gir λ(u⋅v)=(Au)⋅v=u⋅(Av)=μ(u⋅v)\lambda(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=(A\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot(A\mathbf{v})=\mu(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}), så (λ−μ)(u⋅v)=0(\lambda-\mu)(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=0 og u⋅v=0\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.

Hvorfor normalisere
PP skal være ortogonal, ikke bare ha ortogonale søyler. En ortogonal matrise har søyler av lengde 1. Derfor deler du hver egenvektor på normen; ellers blir PTP=cI≠IP^{T}P=cI\ne I og A=PDPTA=PDP^{T} feil.
Ortogonal PP: P−1=PTP^{-1}=P^{T}

Når PP er ortogonal, er inversen bare transponeringen. Det er hele grunnen til at symmetriske matriser får den enkle formen A=PDPTA=PDP^{T} — man slipper å regne matriseinvers.

A=PDPTA=PDP^{T} vs. A=PDP−1A=PDP^{-1}
A=PDP−1A=PDP^{-1} er generell diagonalisering (PP hvilken som helst invertibel egenvektormatrise). A=PDPTA=PDP^{T} krever PP ortogonal og er forbeholdt symmetriske matriser. Bland dem ikke: P−1=PTP^{-1}=P^{T} gjelder bare når PP er ortogonal.
Multiplisitet krever Gram–Schmidt

En enkel egenverdi gir én egenvektor du bare normaliserer. En egenverdi med multiplisitet ≥2\ge2 gir et egenrom der vedleggets basis kan være ikke-ortogonal — der kjører du Gram–Schmidt, så normaliserer.

Gram–Schmidt bevarer egenskapen

Enhver lineærkombinasjon av egenvektorer med samme λ\lambda er igjen en egenvektor for λ\lambda. Derfor er Gram–Schmidt-vektorene inne i et egenrom fortsatt egenvektorer, og DD endres ikke.

Symmetrisk ⇒ alltid diagonaliserbar

En symmetrisk matrise er alltid diagonaliserbar — hver egenverdi har fullt egenrom (geo == alg), garantert av spektralteoremet. Du trenger aldri sjekke multiplisitet for å avgjøre om den er diagonaliserbar; bare for å bygge PP.

Kontroll: er PP ortogonal?

Rask sjekk: regn PTPP^{T}P og se om du får II. Ekvivalent: er alle søyler enhetsvektorer og innbyrdes ortogonale? Denne kontrollen fanger både glemt normalisering og glemt Gram–Schmidt.

Spektral dekomposisjon
A=∑iλiuiuiTA=\sum_i\lambda_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^{T}: symmetrisk AA som vektet sum av rang-1-projeksjoner langs de ortonormale egenvektorene. Brukes i bevis for definitthet og ulikheter (Del 6.2–6.3).
Rang-1-leddet uuT\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}

For en enhetsvektor u\mathbf{u} er uuT\mathbf{u}\mathbf{u}^{T} projeksjonsmatrisen ned på linjen langs u\mathbf{u}: (uuT)x=(u⋅x)u(\mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{x}=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})\mathbf{u}. Den er symmetrisk, har rang 1 og egenverdier 1,0,…,01,0,\dots,0.

Ortogonal matrise
PTP=IP^{T}P=I ⇔ ortonormale søyler ⇔ P−1=PTP^{-1}=P^{T}. Slike matriser bevarer lengder og vinkler. Advarsel om navnet: en «ortogonal matrise» har ortonormale søyler, ikke bare ortogonale.
Normbevaring

En ortogonal PP oppfyller ∥Px∥=∥x∥\lVert P\mathbf{x}\rVert=\lVert\mathbf{x}\rVert for alle x\mathbf{x}, fordi ∥Px∥2=(Px)T(Px)=xTPTPx=xTx=∥x∥2\lVert P\mathbf{x}\rVert^2=(P\mathbf{x})^{T}(P\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}P^{T}P\mathbf{x}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{x}=\lVert\mathbf{x}\rVert^2. Geometrisk: en stiv bevegelse (rotasjon/refleksjon).

det⁡P=±1\det P=\pm1 for ortogonal PP

Fra PTP=IP^{T}P=I er (det⁡P)2=det⁡(PT)det⁡(P)=det⁡I=1(\det P)^2=\det(P^{T})\det(P)=\det I=1, så det⁡P=±1\det P=\pm1. +1+1 svarer til en rotasjon, −1-1 til en refleksjon. Egenverdien(e) har absoluttverdi 1.

Ortogonalt diagonaliserbar ⇔ symmetrisk

Ikke bare gir symmetri ortogonal diagonalisering — det motsatte gjelder også: er A=PDPTA=PDP^{T} med ortogonal PP, så er AT=(PDPT)T=PDPT=AA^{T}=(PDP^{T})^{T}=PDP^{T}=A, altså symmetrisk. De to egenskapene er ekvivalente.

Bro til kvadratiske former

Spektralteoremet er motoren bak neste kapittel: variabelskiftet x=Py\mathbf{x}=P\mathbf{y} med ortogonal PP gjør en kvadratisk form Q=xTAxQ=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} om til λ1y12+⋯+λnyn2\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2 uten kryssledd (kap. 6.2–6.3).

Vedlegget `[V D]=eig`

Matlab-utskriften [V D]=eig(A) gir egenvektorer som søyler i VV og egenverdiene i DD. For symmetrisk AA leverer den allerede ortonormale søyler — men på eksamen får du ofte ikke-normaliserte egenvektorer og må normalisere/Gram–Schmidt selv.

Diagonalmatrise er ortogonalt diagonaliserbar

En diagonalmatrise er symmetrisk og trivielt A=IDITA=IDI^{T} med P=IP=I; standardbasisen er en ortonormal egenbasis. Alle diagonale (og skalar-) matriser er ekstremtilfeller av spektralteoremet.

Vanligste F-feil oppsummert

De to feilene som koster mest: (1) glemt normalisering ⇒ PP ikke ortogonal; (2) glemt Gram–Schmidt i et egenrom med multiplisitet ⇒ søylene ikke ortogonale. Begge gir PTP≠IP^{T}P\ne I og dermed A≠PDPTA\ne PDP^{T}.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.