5.P Prøver til del 5: Ortogonal projeksjon og minste kvadrater

Disse fire prøvene dekker hele Del 5 — Ortogonal projeksjon og minste kvadrater og trener sjanger B + C: ortogonal projeksjon, dekomposisjon, avstand, $W^{\perp}$ og minste kvadrater — den faste oppgave 1-halen som praktisk talt hvert eksamenssett kjeder på samme matrise (~100 %). Projeksjonsformelen krever en ortogonal basis (Gram–Schmidt først), og normallikningene leses av et vedlegg ($\operatorname{rref}[\,C^{T}C\mid C^{T}\mathbf{b}\,]$) — du radreduserer aldri normallikningene for hånd.

- Prøve 1 — Projeksjon, dekomposisjon, avstand og $W^{\perp}$ (kap. 5.1): ortogonal basis (Gram–Schmidt), $\operatorname{proj}_W\mathbf{y}$, dekomposisjonen $\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}$, avstand $\|\mathbf{z}\|$ og en basis for $W^{\perp}=\operatorname{Nul}(A^{T})$. ~35 min.
- Prøve 2 — Minste kvadrater via normallikningene (kap. 5.2): sett opp $C^{T}C\hat{\mathbf{x}}=C^{T}\mathbf{b}$, les $\hat{\mathbf{x}}$ fra vedlegget, og bruk koblingen $\operatorname{proj}_W\mathbf{b}=C\hat{\mathbf{x}}$. ~40 min.
- Prøve 3 — Minste kvadrater ved rangdefekt (kap. 5.2): avgjør entydig vs. affin løsning (partikulær $+\operatorname{Nul}C$) og bruk projeksjonssnarveien. ~40 min.
- Prøve 4 — Oppgave 1-hale-simulering (kap. 5.1–5.3): hele halen — ortogonal basis $\to$ projeksjon $\to$ minste kvadrater $\to$ avstand $\to$ $W^{\perp}$ — kjedet på én gjenbrukt matrise. ~45 min.

4 prøver à ~35–45 min, kan trygt deles over flere kvelder — én prøve per økt. Milepælen er å fullføre settet, ikke å ta alt på én gang.

Merk formatet: MAT1120-eksamen har ingen flervalg — alt er fullt begrunnet langsvar. Her åpner likevel hver prøve med en liten flervalgsdel til rask begrepssjekk (flervalget bor inne i hver prøve, rett før skriveoppgavene); kryss av og kontroller mot fasiten. Skriveoppgavene skal føres som en fullstendig besvarelse: sitér vedlegget («Fra vedlegget ser vi at …»), skaff ortogonal basis før projeksjon, si eksplisitt om en minste kvadraters løsning er entydig (full kolonnerang) eller affin (rangdefekt), regn avstand som residualets norm $\|\mathbf{z}\|$, og avslutt med en verbal konklusjon og eksakte svar. Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose.