4.1 Indreprodukt: standard, vektet, integral og evaluering

$$\textbf{(1) Symmetri:}\quad \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle$$
$$\textbf{(2) Additivitet:}\quad \langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$$
$$\textbf{(3) Homogenitet:}\quad \langle c\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=c\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$$
$$\textbf{(4) Positiv definitthet:}\quad \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\ge 0,\ \text{med }=0\ \text{bare når}\ \mathbf{v}=\mathbf{0}$$

I ord: indreproduktet er symmetrisk, det er lineært i første argument (aksiom 2 og 3 sammen — og ved symmetri også i andre), og $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle$ er alltid $\ge 0$ og treffer $0$ kun for nullvektoren. Det siste er det som lar oss definere en lengde.

Et indreproduktrom er et vektorrom $V$ utstyrt med et bestemt indreprodukt $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Samme underliggende rom kan bæres av flere ulike indreprodukt — og da får det ulik geometri. Det er hele poenget i MAT1120: $\operatorname{P}_2$ med et integralindreprodukt og $\operatorname{P}_2$ med et evalueringsindreprodukt er to forskjellige indreproduktrom, med forskjellige «ortogonale» polynomer.

$$\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}.$$

Positiv definitthet (aksiom 4) garanterer at tallet under rottegnet ikke er negativt, så $\|\mathbf{v}\|$ er veldefinert, og $\|\mathbf{v}\|=0$ bare for $\mathbf{v}=\mathbf{0}$. Merk: bytter du indreprodukt, endrer normen seg. Det finnes ingen «egentlig» lengde uavhengig av indreproduktet.

$$\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0.$$

Dette er definisjonen av ortogonalitet i et indreproduktrom — det er ingen tegning, bare tallet $0$. Derfor avhenger ortogonalitet av hvilket indreprodukt du bruker: $1$ og $t$ kan være ortogonale i ett indreprodukt og ikke i et annet. Å avgjøre ortogonalitet er å regne ut ett tall og sjekke om det er $0$.

$$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n.$$

Dette er «standard». Hvis en oppgave i $\mathbb{R}^n$ ikke sier noe annet, er det dette du bruker. Men les alltid oppgaveteksten: står det et annet indreprodukt, gjelder det i stedet.

$$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=w_1x_1y_1+w_2x_2y_2+\dots+w_nx_ny_n,\qquad w_i>0.$$

Vektene «teller opp» noen koordinater tyngre enn andre. Kravet $w_i>0$ sikrer aksiom 4 (positiv definitthet): $\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle=\sum w_ix_i^2\ge 0$ og $=0$ bare når alle $x_i=0$. Et typisk eksamenseksempel er $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=2x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3$ (vektene $2,2,1$).

$$\langle p,q\rangle=\int_a^b p(t)\,q(t)\,dt.$$

Her er «vektorene» polynomer/funksjoner, og indreproduktet av to av dem er arealet under produktkurven. Det oppfyller aksiomene (symmetri og linearitet fra integralet; positiv definitthet fordi $\int_a^b p(t)^2\,dt>0$ når $p\ne 0$). Intervallet er en del av definisjonen: $\int_{-1}^1$ og $\int_{-2}^0$ gir forskjellige indreprodukt.

$$\langle p,q\rangle=p(t_0)q(t_0)+p(t_1)q(t_1)+\dots=\sum_i p(t_i)q(t_i).$$

Her «prøver» vi polynomene i noen faste punkter. Det er et indreprodukt så lenge antallet punkter er minst $n+1$ — da tvinger $\langle p,p\rangle=\sum p(t_i)^2=0$ polynomet (av grad $\le n$) til å ha for mange røtter, altså $p=0$ (positiv definitthet). Med for få punkter er det ikke et indreprodukt. Eksamen bruker typisk 3 punkter på $\operatorname{P}_2$.

$$\operatorname{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|=\sqrt{\langle\mathbf{u}-\mathbf{v},\,\mathbf{u}-\mathbf{v}\rangle}.$$

Avstand er altså også målt i det oppgitte indreproduktet. I Del 5 blir «avstanden fra en vektor til et underrom» selve minste-kvadraters-ideen.

Aksiom 1: $\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle$. Rekkefølgen på argumentene spiller ingen rolle. Fordi indreproduktet er lineært i første argument, gjør symmetrien at det også er lineært i andre argument.

Aksiom 2 og 3 sammen: $\langle c\mathbf{u}+d\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=c\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+d\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle$. Indreproduktet «fordeler seg» over summer og trekker ut skalarer i det første argumentet — helt som prikkproduktet.

Aksiom 4: $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle\ge 0$ for alle $\mathbf{v}$, med likhet bare når $\mathbf{v}=\mathbf{0}$. Dette er kravet som gjør $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}$ meningsfull (aldri rot av et negativt tall).

At indreproduktet er lineært i begge argumenter (følger av linearitet i første + symmetri). Derfor kan du multiplisere ut $\langle a\mathbf{u}+b\mathbf{v},\,c\mathbf{w}+d\mathbf{z}\rangle$ ledd for ledd som en vanlig parentes.

Tallet $w_i>0$ i et vektet indreprodukt $\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\sum w_ix_iy_i$. Vekten bestemmer hvor «tungt» koordinat $i$ teller. Alle vekter må være strengt positive for at aksiom 4 skal holde.

Vektene i et vektet indreprodukt må være strengt positive. Ellers svikter positiv definitthet: en null- eller negativ vekt lar en vektor $\ne\mathbf{0}$ få $\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle\le 0$, og «lengden» blir meningsløs.

En vektor med norm $1$: $\|\mathbf{u}\|=1$, altså $\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=1$. «Enhet» måles i det oppgitte indreproduktet — en vektor kan ha norm $1$ i ett indreprodukt og en annen norm i et annet.

Å skalere en vektor $\mathbf{v}\ne\mathbf{0}$ til en enhetsvektor: $\mathbf{u}=\dfrac{1}{\|\mathbf{v}\|}\mathbf{v}$. Bruk den oppgitte normen. Dette er siste steg mot en ortonormal basis i kap. 4.2.

Vinkelen $\theta$ mellom $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ er gitt ved $\cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$. Ortogonalitet ($\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0$) svarer til $\theta=90^\circ$. Vinkelen avhenger av indreproduktet.

En mengde vektorer som er parvis ortogonale: $\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\rangle=0$ for alle $i\ne j$. En slik mengde (uten nullvektorer) er alltid lineært uavhengig — grunnlaget for ortogonale baser i kap. 4.2.

Hvis $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$, så er $\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$. Den vante Pythagoras-setningen, men i ethvert indreprodukt — den holder nettopp fordi kryssleddet $2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ forsvinner når vektorene er ortogonale.

Punktene $t_0,t_1,\dots$ i et evalueringsindreprodukt $\langle p,q\rangle=\sum p(t_i)q(t_i)$. Polynomene «prøves» i disse punktene. Ulike punkter gir ulike indreprodukt, akkurat som ulike vekter.

For at et evalueringsindreprodukt skal være et ekte indreprodukt på $\operatorname{P}_n$, må det være minst $n+1$ punkter. Med færre finnes et polynom $\ne 0$ av grad $\le n$ som er null i alle punktene, og positiv definitthet svikter.

En ortogonal mengde der hver vektor i tillegg har norm $1$: $\langle\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j\rangle=\delta_{ij}$ (dvs. $0$ for $i\ne j$ og $1$ for $i=j$). Det ideelle koordinatsystemet — utvikles i kap. 4.2.

Å regne $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+\dots+v_n^2}$ når indreproduktet er vektet/integral/evaluering. Normen må alltid regnes som $\sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}$ i det oppgitte indreproduktet — dette er den dyreste tabben i faget.

På polynomrommet finnes ikke ett «riktig» indreprodukt; eksamen oppgir enten et integral $\int_a^b pq\,dt$ eller en evalueringssum $\sum p(t_i)q(t_i)$. Begge gjør $\operatorname{P}_n$ til et indreproduktrom med lengde og ortogonalitet.