Tilbake
2.1
Alle fag for Høyskole

2.1 Abstrakte vektorrom og underrom: Pₙ og funksjonsrom

Løft fra ℝⁿ til abstrakte vektorrom: aksiomene, underrom via de tre betingelsene, og de to eksamensviktige familiene — polynomrommet Pₙ og funksjonsrom (Span{1, eˣcos x, eˣsin x}, Span{sin t, cos t}). Grunnmuren under signaturoppgaven.

55 min
10 oppgaver
Abstrakte vektorromunderromfunksjonsrom
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet løfter begrepene fra Rn\mathbb{R}^n opp til abstrakte rom.

- Kap. 1.1 — span, lineær uavhengighet og underrom i Rn\mathbb{R}^n
- Kap. 1.2 — Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A som underrom; har du sett dem, er broen kort
- Vektorer i tre dimensjoner — det konkrete vektorbegrepet (piler i rommet, addisjon og skalering)
- Derivasjon — vi bruker at excos⁡xe^x\cos x og sin⁡t\sin t kan deriveres i funksjonsrom
- Vektorrom og derivasjon (MAT1110) — selve begrepet vektorrom; vi repeterer det vi trenger her

I Rn\mathbb{R}^n er en vektor en kolonne med tall. Men mye av det vi gjorde i Del 1 — addere, skalere, snakke om span, uavhengighet og underrom — handlet aldri om at oppføringene var tall. Det handlet om reglene addisjon og skalering følger. Snør vi de reglene løs fra tallkolonnene, kan polynomer, funksjoner og matriser være vektorer på nøyaktig samme måte. Det er det et abstrakt vektorrom er.

Hvorfor bry seg? Fordi MAT1120s tyngste hovedoppgave lever nettopp her: den ber deg behandle polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n eller et lite funksjonsrom som et vektorrom, bevise at en delmengde er et underrom, finne en basis, regne med koordinater og til slutt sette opp matrisen til en derivasjonsoperator. Alt hviler på dette første kapitlet.

Vi jobber i tre løkker: (1) hva et vektorrom og et underrom er (de tre betingelsene), (2) polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n med standardbasis og dimensjon n+1n+1, (3) funksjonsrom som underrom av de kontinuerlige funksjonene. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Vektorrom og underrom (~20 min)

Vektorrom

Et vektorrom er en mengde VV av objekter (vi kaller dem vektorer) der du kan legge sammen to vektorer og gange en vektor med et tall (en skalar), slik at resultatet igjen ligger i VV og oppfører seg på vanlig måte.

Presist: VV er et vektorrom over R\mathbb{R} hvis addisjon og skalarmultiplikasjon oppfyller de ti aksiomene (reglene du kjenner fra Rn\mathbb{R}^n): addisjonen er kommutativ og assosiativ, det finnes en nullvektor 0\mathbf{0} og en additiv invers −v-\mathbf{v}, og skalering fordeler seg over summer (c(u+v)=cu+cvc(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}, (c+d)v=cv+dv(c+d)\mathbf{v}=c\mathbf{v}+d\mathbf{v}, c(dv)=(cd)vc(d\mathbf{v})=(cd)\mathbf{v}, 1v=v1\mathbf{v}=\mathbf{v}). Poenget: hvilke objekter vektorene er, spiller ingen rolle — bare at reglene gjelder.

Skalar

En skalar er tallet vi ganger en vektor med. I denne boka er skalarene alltid reelle tall, så vi jobber med reelle vektorrom. Skalarene styrer skalarmultiplikasjonen cvc\mathbf{v}, som sammen med addisjonen u+v\mathbf{u}+\mathbf{v} er de to operasjonene et vektorrom er bygget på.

Nullvektoren
Nullvektoren 0\mathbf{0} er den entydige vektoren i VV som ikke endrer noe når du legger den til: v+0=v\mathbf{v}+\mathbf{0}=\mathbf{v} for alle v\mathbf{v}. I P⁡n\operatorname{P}_n er den nullpolynomet (polynomet som er 00 for alle tt); i et funksjonsrom er den nullfunksjonen. Å vite hva 0\mathbf{0} er i det aktuelle rommet er første steg i hvert underroms-bevis.
Underrom

Et underrom WW av et vektorrom VV er en delmengde som selv er et vektorrom med de samme operasjonene — altså en del av VV som er « lukket i seg selv » under addisjon og skalering.

Du trenger ikke sjekke alle ti aksiomene på nytt: de arves fra VV. Det holder å sjekke tre betingelser (neste definisjon). Underrom er akkurat de delmengdene der span, basis og dimensjon gir mening — derfor er underroms-beviset porten inn i hele signaturoppgaven.

De tre underromsbetingelsene
En delmengde W⊆VW\subseteq V er et underrom hvis og bare hvis alle tre holder:

(1)  0∈W(2)  u,v∈W⇒u+v∈W(3)  u∈W, c∈R⇒cu∈W\textbf{(1)}\ \ \mathbf{0}\in W \qquad \textbf{(2)}\ \ \mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W \qquad \textbf{(3)}\ \ \mathbf{u}\in W,\ c\in\mathbb{R}\Rightarrow c\mathbf{u}\in W

Altså: (1) nullvektoren ligger i WW, (2) WW er lukket under addisjon, (3) WW er lukket under skalarmultiplikasjon. Sjekk dem i denne rekkefølgen — (1) er raskest og avslører ofte at noe ikke er et underrom med én gang.

✏️Eksempel 1: Et underrom av $\operatorname{P}_3$ (sjanger H)

Vis at W={p∈P⁡3:p(−1)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_3 : p(-1)=0\} — alle polynomer av grad ≤3\le 3 med en rot i t=−1t=-1 — er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3.

Vi sjekker de tre betingelsene.

(1) 0∈W\mathbf{0}\in W: Nullpolynomet 0\mathbf{0} har verdien 00 overalt, så spesielt 0(−1)=0\mathbf{0}(-1)=0. Altså ligger 0\mathbf{0} i WW. ✓

(2) Lukket under addisjon: La p,q∈Wp,q\in W, altså p(−1)=0p(-1)=0 og q(−1)=0q(-1)=0. Da er (p+q)(−1)=p(−1)+q(−1)=0+0=0(p+q)(-1)=p(-1)+q(-1)=0+0=0, så p+q∈Wp+q\in W. ✓

(3) Lukket under skalarmultiplikasjon: La p∈Wp\in W og c∈Rc\in\mathbb{R}. Da er (cp)(−1)=c p(−1)=c⋅0=0(cp)(-1)=c\,p(-1)=c\cdot 0=0, så cp∈Wcp\in W. ✓

Alle tre holder, så WW er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3. (Betingelsen p(−1)=0p(-1)=0 er lineær og homogen — derfor bevares den under addisjon og skalering. Det er mønsteret å kjenne igjen.)

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) List opp de tre betingelsene en delmengde WW av et vektorrom VV må oppfylle for å være et underrom.

Trivielle underrom

Hvert vektorrom VV har alltid minst to underrom: hele rommet VV selv, og nullunderrommet {0}\{\mathbf{0}\} som bare inneholder nullvektoren. Disse kalles de trivielle (eller uekte) underrommene. Alle andre underrom kalles ekte. Nullunderrommet er det minste mulige; det viser at betingelse (1) alene aldri er nok — {0}\{\mathbf{0}\} er underrom, men {0}\{\mathbf{0}\} pluss én vilkårlig vektor er det som regel ikke.

✏️Eksempel 2: Når noe IKKE er et underrom

Avgjør om U={p∈P⁡3:p(0)=1}U=\{p\in\operatorname{P}_3 : p(0)=1\} er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3.

Vi tester betingelse (1) først, siden den er raskest.

(1) 0∈U\mathbf{0}\in U? Nullpolynomet har 0(0)=0≠1\mathbf{0}(0)=0\neq 1. Altså ligger ikke nullvektoren i UU.

Allerede her stopper det: UU er ikke et underrom. (Vi kunne også sett at UU ikke er lukket: hvis p(0)=1p(0)=1 og q(0)=1q(0)=1, er (p+q)(0)=2≠1(p+q)(0)=2\neq 1.) Grunnen er at betingelsen p(0)=1p(0)=1 er inhomogen — høyresiden er 11, ikke 00. Slike «== konstant ≠0\neq 0»-krav gir aldri underrom.

📝Oppgave 2

Vis at W={p∈P⁡2:p(2)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_2 : p(2)=0\} er et underrom av P⁡2\operatorname{P}_2. Før beviset etter de tre betingelsene.

📝Oppgave 3

Avgjør om U={p∈P⁡2:p(1)≥0}U=\{p\in\operatorname{P}_2 : p(1)\ge 0\} er et underrom av P⁡2\operatorname{P}_2. Begrunn.

Løkke 2 — Polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n (~18 min)

Den første konkrete familien av abstrakte vektorrom er polynomrommene. De er eksamensfavoritten fordi de er akkurat abstrakte nok til å teste forståelse, men konkrete nok til at du kan regne på dem via koeffisientene.

Polynom av grad ≤n\le n

Et polynom av grad høyst nn er et uttrykk p(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+antnp(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\dots+a_nt^n med reelle koeffisienter a0,…,ana_0,\dots,a_n. Graden er den høyeste potensen med koeffisient forskjellig fra null. Merk at nullpolynomet og konstantene (a1=⋯=an=0a_1=\dots=a_n=0) også teller som « grad ≤n\le n».

Polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n
P⁡n\operatorname{P}_n er mengden av alle polynomer av grad høyst nn. Det er et vektorrom: legger du sammen to slike polynomer eller ganger med en skalar, får du igjen et polynom av grad ≤n\le n. Nullvektoren er nullpolynomet.

P⁡n\operatorname{P}_n er den mest brukte « ikke-Rn\mathbb{R}^n»-scenen i faget. Legg merke til at P⁡2⊂P⁡3⊂…\operatorname{P}_2\subset \operatorname{P}_3\subset\dots — hvert er et underrom av det neste.

Standardbasisen for P⁡n\operatorname{P}_n

Monomene {1, t, t2, …, tn}\{1,\ t,\ t^2,\ \dots,\ t^n\} danner standardbasisen for P⁡n\operatorname{P}_n. Ethvert polynom p(t)=a0+a1t+⋯+antnp(t)=a_0+a_1t+\dots+a_nt^n skrives entydig som en lineærkombinasjon av disse, med koeffisientene a0,…,ana_0,\dots,a_n. Denne basisen er broen til Rn+1\mathbb{R}^{n+1}: koeffisientlista (a0,…,an)(a_0,\dots,a_n) blir koordinatvektoren (kap. 2.3).

Dimensjonen til P⁡n\operatorname{P}_n er n+1n+1
Standardbasisen {1,t,…,tn}\{1,t,\dots,t^n\} har n+1n+1 elementer, så

dim⁡P⁡n=n+1.\dim\operatorname{P}_n=n+1.

Merk godt: P⁡2\operatorname{P}_2 har dimensjon 3 (basis {1,t,t2}\{1,t,t^2\}), ikke 2; P⁡3\operatorname{P}_3 har dimensjon 4. Det ekstra tallet kommer fra konstantleddet 1=t01=t^0. Å tro at dim⁡P⁡n=n\dim\operatorname{P}_n=n er en av de vanligste feilene i signaturoppgaven.

✏️Eksempel 3: Dimensjon og standardbasis

Oppgi dimensjonen til P⁡4\operatorname{P}_4 og skriv opp standardbasisen. Hvor mange koordinater har koordinatvektoren til et polynom i P⁡4\operatorname{P}_4?

Standardbasisen for P⁡4\operatorname{P}_4 er {1, t, t2, t3, t4}\{1,\ t,\ t^2,\ t^3,\ t^4\} — fem monomer. Derfor er

dim⁡P⁡4=4+1=5.\dim\operatorname{P}_4=4+1=5.

Et polynom p(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4 har altså en koordinatvektor med fem komponenter, (a0,a1,a2,a3,a4)(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4). (Sjekk deg selv: tallet er graden pluss én, aldri graden alene.)

📝Oppgave 4

Oppgi dim⁡P⁡3\dim\operatorname{P}_3 og skriv opp standardbasisen for P⁡3\operatorname{P}_3.

📝Oppgave 5

La W={p∈P⁡3:p(−1)=0 og p(1)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_3 : p(-1)=0\text{ og }p(1)=0\} (polynomer med røtter i både −1-1 og 11). Vis at WW er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3.

Løkke 3 — Funksjonsrom (~15 min)

Den andre eksamensfamilien er funksjonsrom: små rom utspent av noen få funksjoner. Her er vektorene funksjoner som sin⁡t\sin t, cos⁡t\cos t eller excos⁡xe^x\cos x, og de legges sammen og skaleres punktvis, akkurat som tall.

Rommet C(R)C(\mathbb{R}) av kontinuerlige funksjoner
C(R)C(\mathbb{R}) er mengden av alle kontinuerlige funksjoner f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Det er et vektorrom: summen f+gf+g og skaleringen cfcf av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige, og nullvektoren er nullfunksjonen. C(R)C(\mathbb{R}) er uendelig-dimensjonalt — men eksamen jobber alltid i et endelig-dimensjonalt underrom av det (et span av noen få funksjoner).
Span i et abstrakt rom
Spennet Span⁡{v1,…,vk}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} er mengden av alle lineærkombinasjoner c1v1+⋯+ckvkc_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k. Nøyaktig som i Rn\mathbb{R}^n, men nå kan vi\mathbf{v}_i være polynomer eller funksjoner. Et span er alltid et underrom — det inneholder 0\mathbf{0} (velg alle ci=0c_i=0) og er lukket under addisjon og skalering. Derfor slipper du underroms-beviset når rommet allerede er gitt som et span.
Funksjonsrom som underrom av C(R)C(\mathbb{R})
Et funksjonsrom i denne boka er et endelig-dimensjonalt underrom V=Span⁡{f1,…,fk}⊆C(R)V=\operatorname{Span}\{f_1,\dots,f_k\}\subseteq C(\mathbb{R}). To eksamenstyper går igjen:

V1=Span⁡{sin⁡t, cos⁡t}(2021)V_1=\operatorname{Span}\{\sin t,\ \cos t\}\qquad\text{(2021)}
V2=Span⁡{1, excos⁡x, exsin⁡x}(2019)V_2=\operatorname{Span}\{1,\ e^x\cos x,\ e^x\sin x\}\qquad\text{(2019)}

Vektorene er funksjoner; de spennende funksjonene (sin⁡t,cos⁡t\sin t,\cos t osv.) fungerer som en basis for det lille rommet (vises i kap. 2.2). Slike rom er interessante fordi derivasjon sender rommet inn i seg selv — grunnlaget for [T]B[T]_{\mathcal{B}} i kap. 2.5.

✏️Eksempel 4: Et funksjonsrom er et underrom

La V=Span⁡{sin⁡t, cos⁡t}V=\operatorname{Span}\{\sin t,\ \cos t\}. Forklar hvorfor VV er et underrom av C(R)C(\mathbb{R}), og avgjør om funksjonen h(t)=3sin⁡t−2cos⁡th(t)=3\sin t-2\cos t ligger i VV.

VV er et underrom: VV er definert som et span, og et span er alltid et underrom (forrige definisjon). Konkret: 0\mathbf{0} (nullfunksjonen) fås ved 0⋅sin⁡t+0⋅cos⁡t0\cdot\sin t+0\cdot\cos t; en sum av to lineærkombinasjoner av sin⁡t,cos⁡t\sin t,\cos t er igjen en slik kombinasjon; og en skalering likeså. Alle tre betingelsene holder automatisk.

Ligger hh i VV? Ja: h(t)=3sin⁡t−2cos⁡th(t)=3\sin t-2\cos t er nettopp en lineærkombinasjon c1sin⁡t+c2cos⁡tc_1\sin t+c_2\cos t med c1=3c_1=3, c2=−2c_2=-2. Altså h∈Vh\in V. (Koordinatvektoren blir (3,−2)(3,-2) i kap. 2.3.)

📝Oppgave 6

La V=Span⁡{1, excos⁡x, exsin⁡x}⊆C(R)V=\operatorname{Span}\{1,\ e^x\cos x,\ e^x\sin x\}\subseteq C(\mathbb{R}).

a) Forklar kort hvorfor VV er et underrom av C(R)C(\mathbb{R}).

b) Ligger funksjonen g(x)=5−excos⁡xg(x)=5-e^x\cos x i VV? Ligger h(x)=e2xh(x)=e^{2x} i VV?

📝Oppgave 7

La W={p∈P⁡3:p′(0)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_3 : p'(0)=0\} — polynomer i P⁡3\operatorname{P}_3 hvis deriverte er null i t=0t=0. Vis at WW er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3, og beskriv WW ved å angi hvilke koeffisienter som kan velges fritt.

Du trenger bare at derivasjon er lineær: (p+q)′=p′+q′(p+q)'=p'+q' og (cp)′=cp′(cp)'=cp'.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform — apparatet du må kunne navngi i signaturoppgaven (det er intet formelark på eksamen).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Reelt vektorrom

Et vektorrom der skalarene er reelle tall (R\mathbb{R}). Alle rommene i MAT1120 — Rn\mathbb{R}^n, P⁡n\operatorname{P}_n, matriserom og funksjonsrom — er reelle vektorrom.

Additiv invers

Til hver vektor v\mathbf{v} i et vektorrom finnes en entydig vektor −v-\mathbf{v} med v+(−v)=0\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{0}. I P⁡n\operatorname{P}_n er −p-p polynomet med motsatt fortegn på alle koeffisienter.

Lukkethet

En delmengde er lukket under en operasjon hvis operasjonen aldri fører ut av mengden. De to lukkethetskravene for underrom er lukkethet under addisjon (betingelse 2) og under skalarmultiplikasjon (betingelse 3).

Lineærkombinasjon (abstrakt)

Et uttrykk c1v1+⋯+ckvkc_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k med skalarer cic_i, der vi\mathbf{v}_i kan være polynomer, funksjoner eller matriser. Byggesteinen i både span og basis.

Spennet er et underrom
Span⁡{v1,…,vk}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} er alltid et underrom av VV. Det gjør at et rom gitt som et span slipper underroms-beviset — lukketheten er automatisk.
Nullpolynomet

Polynomet 0(t)=0\mathbf{0}(t)=0 for alle tt — nullvektoren i P⁡n\operatorname{P}_n. Alle koeffisientene er null. Det er alltid første sjekk (0∈W\mathbf{0}\in W) i et underroms-bevis om P⁡n\operatorname{P}_n.

Uendelig-dimensjonalt rom

Et vektorrom uten en endelig basis, som C(R)C(\mathbb{R}) (alle kontinuerlige funksjoner). Eksamen jobber alltid i endelig-dimensjonale underrom av slike rom — for eksempel Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\}.

Matriserommet Mm×nM_{m\times n}

Mengden av alle m×nm\times n-matriser er også et vektorrom (matriser legges sammen og skaleres elementvis; nullvektoren er nullmatrisen), med dimensjon mnmn. Et eksempel på at « vektorer » ikke trenger å være tallkolonner — samme abstraksjon som P⁡n\operatorname{P}_n.

Delmengde vs. underrom

En delmengde er en hvilken som helst samling vektorer fra VV. Et underrom er en delmengde som i tillegg oppfyller de tre betingelsene. Alle underrom er delmengder, men ikke omvendt.

Homogen betingelse gir underrom

En betingelse av typen «(noe lineært)=0(\text{noe lineært})=0» — som p(a)=0p(a)=0, p′(0)=0p'(0)=0 eller ∫abp=0\int_a^b p=0 — definerer alltid et underrom, fordi den bevares under addisjon og skalering. Betingelser med == (konstant ≠0\neq 0) eller ulikheter gjør det ikke.

Snitt av underrom

Snittet W1∩W2W_1\cap W_2 av to underrom er selv et underrom. Derfor gir flere homogene betingelser samtidig (som p(−1)=0p(-1)=0 og p(1)=0p(1)=0) fortsatt et underrom.

Underrom av P⁡n\operatorname{P}_n ved punktbetingelse

Mengden {p∈P⁡n:p(a)=0}\{p\in\operatorname{P}_n : p(a)=0\} (polynomer med rot i aa) er et underrom av P⁡n\operatorname{P}_n med dimensjon nn — én betingelse fjerner én frihetsgrad. Den faste åpningen på signaturoppgaven (2024 O3a).

Vektor (abstrakt)

En vektor er et hvilket som helst element i et vektorrom — ikke nødvendigvis en tallkolonne. I P⁡n\operatorname{P}_n er en vektor et polynom, i et funksjonsrom en funksjon, i Mm×nM_{m\times n} en matrise. Ordet « vektor » viser til rollen i rommet, ikke til formen.

Vektorromsaksiomene

De ti reglene addisjon og skalarmultiplikasjon må følge for at (V,+,⋅)(V,+,\cdot) skal være et vektorrom: kommutativitet og assosiativitet for ++, eksistens av 0\mathbf{0} og −v-\mathbf{v}, de to distributive lovene, forenlighet c(dv)=(cd)vc(d\mathbf{v})=(cd)\mathbf{v} og 1v=v1\mathbf{v}=\mathbf{v}. For et underrom arves alle ti fra VV — derfor holder det å sjekke de tre betingelsene.

Utspenner

En mengde {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} utspenner VV dersom Span⁡{v1,…,vk}=V\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}=V — altså hver vektor i VV er en lineærkombinasjon av dem. Sammen med lineær uavhengighet er dette det ene av de to kravene til en basis (kap. 2.2).

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.