2.2 Basis, dimensjon og lineær uavhengighet i abstrakte rom

$$c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}\ \Rightarrow\ c_1=c_2=\dots=c_k=0.$$

Nøyaktig samme definisjon som i $\mathbb{R}^n$ — men nå kan $\mathbf{v}_i$ være polynomer eller funksjoner, og $\mathbf{0}$ er nullpolynomet/nullfunksjonen. Ingen av vektorene er da en lineærkombinasjon av de andre.

Mengden er lineært avhengig hvis det finnes skalarer $c_1,\dots,c_k$ som ikke alle er null, med $c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}$. Da kan minst én vektor skrives som en lineærkombinasjon av de andre, og den er « overflødig». Å finne én slik ikke-triviell relasjon er nok til å konkludere avhengighet.

Metoden for å teste uavhengighet av polynomer: sett lineærkombinasjonen lik nullpolynomet, og bruk at et polynom er $0$ for alle $t$ hvis og bare hvis hver koeffisient er $0$. Da faller uttrykket $c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}$ fra hverandre i ett lineært likningssystem per potens av $t$ (konstantledd, $t$-ledd, $t^2$-ledd, …). Løs systemet: bare den trivielle løsningen ⇒ uavhengige.

En basis for et vektorrom $V$ er en mengde $\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}$ som er (i) lineært uavhengig og (ii) utspenner $V$. Da kan hver vektor i $V$ skrives på nøyaktig én måte som lineærkombinasjon av basisvektorene — det er entydigheten som gjør koordinater (kap. 2.3) mulige. En basis er samtidig den minste utspennende mengden og den største uavhengige mengden.

Snarveien sensor belønner: $k$ lineært uavhengige vektorer i et $k$-dimensjonalt rom er automatisk en basis, og likeså er $k$ utspennende vektorer i et $k$-dimensjonalt rom automatisk uavhengige. Bruk det til å slippe halve basisbeviset — men bare når antallet stemmer med dimensjonen.

Sett lineærkombinasjonen $c_1f_1(t)+\dots+c_kf_k(t)=0$ og sett inn like mange smart valgte $t$-verdier som du har ukjente $c_i$. Det gir et lineært likningssystem i $c_i$. Har systemet bare den trivielle løsningen, er funksjonene uavhengige. Metoden er robust når funksjonene er lette å evaluere (f.eks. $\sin t,\cos t$ i $t=0,\tfrac{\pi}{2}$).

$$W(t)=\det\begin{bmatrix} f_1 & \cdots & f_k\\ f_1' & \cdots & f_k'\\ \vdots & & \vdots\\ f_1^{(k-1)} & \cdots & f_k^{(k-1)}\end{bmatrix}.$$

Regel: finnes det ett punkt $t_0$ med $W(t_0)\neq 0$, er funksjonene lineært uavhengige. (Motsatt vei gjelder ikke uten videre, så Wronski brukes til å bekrefte uavhengighet.)

En mengde vektorer i $V$ er lineært uavhengig hvis og bare hvis deres koordinatvektorer (relativt en fast basis) er uavhengige i $\mathbb{R}^n$. Dette gjør at abstrakt uavhengighet kan testes med vanlig radreduksjon/determinant på koordinatvektorene — broen som gjør hele signaturoppgaven til $\mathbb{R}^n$-regning (kap. 2.3).

Lineærkombinasjonen der alle koeffisientene er null: $0\mathbf{v}_1+\dots+0\mathbf{v}_k=\mathbf{0}$. Den gir alltid $\mathbf{0}$. Uavhengighet betyr at dette er den eneste måten å få $\mathbf{0}$ på.

En likhet $c_1\mathbf{v}_1+\dots+c_k\mathbf{v}_k=\mathbf{0}$ der minst én $c_i\neq 0$. Eksistensen av én slik relasjon er nok til å konkludere at mengden er lineært avhengig.

Er $\mathcal{B}$ en basis, kan hver vektor skrives på nøyaktig én måte som lineærkombinasjon av basisvektorene. Entydigheten er det som gjør koordinatvektoren $[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}$ veldefinert (kap. 2.3).

En basis er en maksimal lineært uavhengig mengde: legger du til én vektor til, blir mengden avhengig. Dette er én av de to karakteriseringene av en basis.

En basis er samtidig en minimal utspennende mengde: fjerner du én vektor, slutter mengden å utspenne $V$. Basis = minst mulig utspennende = størst mulig uavhengig.

Et vektorrom som har en basis med endelig mange vektorer. Alle rom i signaturoppgaven ($\operatorname{P}_n$, funksjonsrom som $\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\}$) er endelig-dimensjonale, selv om de bor i det uendelig-dimensjonale $C(\mathbb{R})$.

En mengde med flere enn $\dim V$ vektorer i $V$ er alltid lineært avhengig. Fire polynomer i $\operatorname{P}_2$ (dimensjon $3$) kan aldri være uavhengige — en gratis konklusjon uten regning.

En mengde med færre enn $\dim V$ vektorer kan aldri utspenne $V$. To polynomer kan ikke utspenne $\operatorname{P}_2$. Bare mengder med nøyaktig $\dim V$ uavhengige vektorer er baser.

Et underrom $W$ har sin egen dimensjon $\dim W\le\dim V$ og sin egen basis (uavhengige vektorer i $W$ som utspenner $W$). F.eks. har $\{p\in\operatorname{P}_3:p'(0)=0\}$ basis $\{1,t^2,t^3\}$ og dimensjon $3$.

En lineært uavhengig mengde i $V$ kan alltid utvides til en basis ved å legge til flere uavhengige vektorer til antallet når $\dim V$. Speilbildet av å « redusere en utspennende mengde ».

En utspennende mengde kan alltid reduseres til en basis ved å fjerne overflødige (avhengige) vektorer til antallet er $\dim V$. Sammen med « utvide » viser dette at baser ligger « i midten » mellom uavhengige og utspennende mengder.

Praktisk regel: regn Wronski-determinanten $W(t)$ og finn ett punkt $t_0$ der $W(t_0)\neq 0$ — da er funksjonene uavhengige. For $\{\sin t,\cos t\}$ er $W\equiv -1$; for $\{1,e^x\cos x,e^x\sin x\}$ er $W=2e^{2x}$.

Alle baser for ett og samme vektorrom har nøyaktig like mange vektorer. Det er dette som gjør $\dim V$ til et veldefinert tall — og som gir dimensjonsargumentet dets kraft.

Enhver mengde som inneholder nullvektoren er automatisk lineært avhengig: $1\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}$ er en ikke-triviell relasjon. Derfor kan $\mathbf{0}$ aldri være med i en basis.

For et polynom $p(t)=a_0+a_1t+\dots+a_nt^n$ er koeffisientvektoren $(a_0,a_1,\dots,a_n)$ — nettopp koordinatvektoren relativt standardbasisen $\{1,t,\dots,t^n\}$. Den gjør at uavhengighet av polynomer kan avgjøres med determinant/radreduksjon i $\mathbb{R}^{n+1}$ (kap. 2.3).

I $\mathbb{R}^n$ testes uavhengighet ved å radredusere matrisen med vektorene som søyler: pivot i hver søyle ⇒ uavhengige. Via koordinatvektorer overføres denne testen direkte til polynomer og funksjoner (koordinat-uavhengighet).