Tilbake
2.3
Alle fag for Høyskole

2.3 Koordinater [x]_B og koordinatavbildningen

Koordinatvektoren [x]_B relativt en basis, koordinatavbildningen som isomorfi til ℝⁿ, og hvordan den gjør abstrakte problemer (polynomer, funksjoner) til vanlig matriseregning i ℝⁿ.

50 min
8 oppgaver
Koordinater [x]_Bkoordinatavbildningen
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 2.1 — vektorrom, P⁡n\operatorname{P}_n, funksjonsrom
- Kap. 2.2 — basis, dimensjon, uavhengighet; den entydige basisrepresentasjonen er akkurat det som gjør koordinater veldefinerte
- Små lineære likningssystem for å finne koordinater — trygg bokstavregning holder
- Lineæravbildninger (MAT1110) — det vi trenger om lineære avbildninger (utdypes i kap. 2.5) og repeteres kort

Vi har jobbet abstrakt med polynomer og funksjoner. Nå knytter vi dem til tall igjen — men på en kontrollert måte. Velger vi en fast (ordnet) basis B\mathcal{B} for et nn-dimensjonalt rom VV, får hver vektor en entydig liste med nn koeffisienter: koordinatvektoren [x]B∈Rn[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\in\mathbb{R}^n. Denne oversettelsen er så snill at alt det lineære (uavhengighet, span, dimensjon) overføres uendret mellom VV og Rn\mathbb{R}^n.

Det er dette som gjør signaturoppgaven overkommelig: et spørsmål om polynomer blir et spørsmål om tallvektorer du allerede kan håndtere fra Del 1. Vi jobber i tre løkker: (1) hva [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} er, (2) koordinatavbildningen som isomorfi, (3) å regne abstrakt via koordinater.

Løkke 1 — Koordinatvektoren [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} (~18 min)

Ordnet basis

En ordnet basis B={b1,b2,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n\} er en basis der rekkefølgen på vektorene er fastlagt. Rekkefølgen er viktig fordi den bestemmer hvilken koordinat som hører til hvilken plass. Skriver vi B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}, betyr det at første koordinat hører til 11, andre til tt, tredje til t2t^2.

Koordinatvektoren [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}
La B={b1,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\} være en ordnet basis for VV. Fordi B\mathcal{B} er en basis, kan enhver x∈V\mathbf{x}\in V skrives entydig som

x=c1b1+c2b2+⋯+cnbn.\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2+\dots+c_n\mathbf{b}_n.

Koordinatvektoren til x\mathbf{x} relativt B\mathcal{B} er søylevektoren med disse koeffisientene:

[x]B=[c1c2⋮cn]∈Rn.[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n.

Den « oversetter» en abstrakt vektor til en tallkolonne. For P⁡n\operatorname{P}_n med standardbasis er [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} rett og slett koeffisientlista til polynomet.

Entydighet av koordinater

Koordinatvektoren er entydig: siden basisrepresentasjonen er entydig (kap. 2.2), finnes det bare én mulig [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} for hver x\mathbf{x}. Det er denne entydigheten som gjør koordinatavbildningen veldefinert — uten en basis (bare en utspennende mengde) ville koeffisientene ikke vært entydige.

✏️Eksempel 1: Koordinater i standardbasisen

La B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\} være standardbasisen for P⁡2\operatorname{P}_2. Finn [3−2t+t2]B[3-2t+t^2]_{\mathcal{B}}.

Vi skriver 3−2t+t2=3⋅1+(−2)⋅t+1⋅t23-2t+t^2=3\cdot 1+(-2)\cdot t+1\cdot t^2, så koeffisientene i rekkefølgen (1, t, t2)(1,\ t,\ t^2) er 3, −2, 13,\ -2,\ 1. Altså

[3−2t+t2]B=[3−21].[3-2t+t^2]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}3\\ -2\\ 1\end{bmatrix}.

I standardbasisen er koordinatvektoren simpelthen koeffisientlista — les den rett av polynomet, i riktig rekkefølge.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) La B={1, t, t2, t3}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2,\ t^3\} være standardbasisen for P⁡3\operatorname{P}_3. Finn [4+t2−5t3]B[4+t^2-5t^3]_{\mathcal{B}}.

✏️Eksempel 2: Koordinater i en ikke-standard basis

La C={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\} være en (ordnet) basis for P⁡2\operatorname{P}_2. Finn [3−2t+t2]C[3-2t+t^2]_{\mathcal{C}}.

Her må vi løse et lite likningssystem. Vi søker c1,c2,c3c_1,c_2,c_3 med

c1⋅1+c2(1+t)+c3(1+t+t2)=3−2t+t2.c_1\cdot 1+c_2(1+t)+c_3(1+t+t^2)=3-2t+t^2.

Samle etter potens av tt og sammenlign koeffisienter:

t2: c3=1,t: c2+c3=−2,konstant: c1+c2+c3=3.t^2:\ c_3=1,\qquad t:\ c_2+c_3=-2,\qquad \text{konstant}:\ c_1+c_2+c_3=3.

Baklengs: c3=1c_3=1; c2=−2−c3=−3c_2=-2-c_3=-3; c1=3−c2−c3=3−(−3)−1=5c_1=3-c_2-c_3=3-(-3)-1=5. Altså

[3−2t+t2]C=[5−31].[3-2t+t^2]_{\mathcal{C}}=\begin{bmatrix}5\\ -3\\ 1\end{bmatrix}.

Kontroll: 5⋅1−3(1+t)+1(1+t+t2)=5−3−3t+1+t+t2=3−2t+t25\cdot 1-3(1+t)+1(1+t+t^2)=5-3-3t+1+t+t^2=3-2t+t^2. ✓ Legg merke til at samme polynom har ulik koordinatvektor i ulike baser — (3,−2,1)(3,-2,1) i standardbasisen, (5,−3,1)(5,-3,1) i C\mathcal{C}.

📝Oppgave 2

La B={1+t, 1−t}\mathcal{B}=\{1+t,\ 1-t\} være en ordnet basis for P⁡1\operatorname{P}_1. Finn [3+5t]B[3+5t]_{\mathcal{B}}.

Løkke 2 — Koordinatavbildningen som isomorfi (~17 min)

Så langt har vi oversatt enkeltvektorer. Nå ser vi på selve oversettelsen som en avbildning x↦[x]B\mathbf{x}\mapsto[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} fra VV til Rn\mathbb{R}^n — og hvorfor den er så veloppdragen at abstrakte spørsmål trygt kan flyttes til Rn\mathbb{R}^n.

Lineær avbildning (kort)
En lineær avbildning T:V→WT:V\to W mellom vektorrom er en regel som bevarer de to operasjonene:

T(u+v)=T(u)+T(v),T(cu)=c T(u).T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),\qquad T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).

Den « respekterer» addisjon og skalering. (Lineære avbildninger og matrisene deres er hovedtema i kap. 2.5 — her trenger vi bare at koordinatavbildningen er en av dem.)

Koordinatavbildningen
Koordinatavbildningen relativt en ordnet basis B\mathcal{B} for et nn-dimensjonalt rom VV er avbildningen

Φ:V→Rn,Φ(x)=[x]B.\Phi:V\to\mathbb{R}^n,\qquad \Phi(\mathbf{x})=[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}.

Den sender hver abstrakt vektor til sin tallkolonne. Φ\Phi er lineær: [u+v]B=[u]B+[v]B[\mathbf{u}+\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}=[\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}+[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} og [cu]B=c[u]B[c\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}=c[\mathbf{u}]_{\mathcal{B}} (koeffisientene legges sammen og skaleres direkte).

Isomorfi (klarspråk først)

Ordet isomorfi betyr « samme form». En isomorfi er en lineær avbildning som er bijektiv — den parer opp vektorene i VV og vektorene i Rn\mathbb{R}^n én-til-én, uten å miste eller doble noe. To rom som er knyttet av en isomorfi kalles isomorfe (V≅RnV\cong\mathbb{R}^n): de er « samme rom i forkledning», og alt lineært i det ene speiles nøyaktig i det andre.

Kort sagt: en isomorfi er en fullstendig og reversibel oversettelse mellom to vektorrom.

📜Koordinatavbildningen er en isomorfi
For en ordnet basis B\mathcal{B} for et nn-dimensjonalt rom VV er koordinatavbildningen Φ:V→Rn\Phi:V\to\mathbb{R}^n en isomorfi. Derfor bevares alt lineært nøyaktig:

{v1,…,vk} uavhengig i V  ⟺  {[v1]B,…,[vk]B} uavhengig i Rn,\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\}\text{ uavhengig i }V\iff\{[\mathbf{v}_1]_{\mathcal{B}},\dots,[\mathbf{v}_k]_{\mathcal{B}}\}\text{ uavhengig i }\mathbb{R}^n,

og likeså for span og dimensjon. Konsekvens: ethvert spørsmål om uavhengighet, span eller dimensjon i VV kan avgjøres ved å regne på koordinatvektorene i Rn\mathbb{R}^n — med de vanlige verktøyene (radreduksjon, determinant) fra Del 1.

✏️Eksempel 3: Uavhengighet avgjort med koordinater

Avgjør ved koordinater om {2−t, 1+t2, t+t2}\{2-t,\ 1+t^2,\ t+t^2\} er lineært uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2.

Vi bruker koordinatavbildningen relativt standardbasisen {1,t,t2}\{1,t,t^2\}:

[2−t]B=[2−10],[1+t2]B=[101],[t+t2]B=[011].[2-t]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix},\quad [1+t^2]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\quad [t+t^2]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}.

Etter isomorfi-teoremet er polynomene uavhengige hvis og bare hvis disse tre koordinatvektorene er uavhengige i R3\mathbb{R}^3. Still dem opp som søyler og regn determinanten:

det⁡[210−101011]=2(0⋅1−1⋅1)−1((−1)⋅1−1⋅0)+0=2(−1)−1(−1)=−1.\det\begin{bmatrix}2&1&0\\-1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}=2(0\cdot 1-1\cdot 1)-1((-1)\cdot 1-1\cdot 0)+0=2(-1)-1(-1)=-1.

Determinanten er −1≠0-1\neq 0, så koordinatvektorene er uavhengige — og dermed er polynomene lineært uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2. (Tre uavhengige vektorer i P⁡2\operatorname{P}_2 er også en basis, jf. dimensjonsargumentet.)

📝Oppgave 3

Avgjør ved koordinater (relativt {1,t,t2}\{1,t,t^2\}) om {1+t, 1+t2, t−t2}\{1+t,\ 1+t^2,\ t-t^2\} er lineært uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2.

Løkke 3 — Regne abstrakt via koordinater (~15 min)

Koordinater virker i funksjonsrom akkurat som i polynomrom. Har rommet en oppgitt basis, blir vektorene tallkolonner du kan regne med — og du oversetter tilbake til slutt.

Koordinater i funksjonsrom

I et funksjonsrom V=Span⁡{f1,…,fn}V=\operatorname{Span}\{f_1,\dots,f_n\} med basis B={f1,…,fn}\mathcal{B}=\{f_1,\dots,f_n\} er koordinatvektoren til f=c1f1+⋯+cnfnf=c_1f_1+\dots+c_nf_n nettopp [f]B=(c1,…,cn)[f]_{\mathcal{B}}=(c_1,\dots,c_n). F.eks. i V=Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}V=\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\} har 3sin⁡t−2cos⁡t3\sin t-2\cos t koordinatvektor (3,−2)(3,-2) relativt {sin⁡t,cos⁡t}\{\sin t,\cos t\}.

✏️Eksempel 4: Koordinater i et funksjonsrom

La V=Span⁡{sin⁡t, cos⁡t}V=\operatorname{Span}\{\sin t,\ \cos t\} med ordnet basis B={sin⁡t, cos⁡t}\mathcal{B}=\{\sin t,\ \cos t\}. Finn [ 4sin⁡t+7cos⁡t ]B[\,4\sin t+7\cos t\,]_{\mathcal{B}} og [ cos⁡t ]B[\,\cos t\,]_{\mathcal{B}}.

4sin⁡t+7cos⁡t4\sin t+7\cos t er allerede skrevet i basisen, med koeffisienter 44 (for sin⁡t\sin t) og 77 (for cos⁡t\cos t):

[ 4sin⁡t+7cos⁡t ]B=[47].[\,4\sin t+7\cos t\,]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}4\\ 7\end{bmatrix}.

For cos⁡t\cos t: skriv cos⁡t=0⋅sin⁡t+1⋅cos⁡t\cos t=0\cdot\sin t+1\cdot\cos t, så

[ cos⁡t ]B=[01].[\,\cos t\,]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}.

Igjen: koordinatvektoren leser bare av koeffisientene i den ordnede basisen — nå med funksjoner i stedet for monomer.

📝Oppgave 4

La V=Span⁡{1, excos⁡x, exsin⁡x}V=\operatorname{Span}\{1,\ e^x\cos x,\ e^x\sin x\} med ordnet basis B={1, excos⁡x, exsin⁡x}\mathcal{B}=\{1,\ e^x\cos x,\ e^x\sin x\}.

a) Finn [ 5−excos⁡x+3exsin⁡x ]B[\,5-e^x\cos x+3e^x\sin x\,]_{\mathcal{B}}.

b) Hvilken funksjon g∈Vg\in V har [g]B=(0,2,−4)[g]_{\mathcal{B}}=(0,2,-4)?

📝Oppgave 5

La C={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\} være en ordnet basis for P⁡2\operatorname{P}_2. Bruk koordinater relativt C\mathcal{C} til å avgjøre om {1+2t+t2, 2+t, 3+3t+t2}\{1+2t+t^2,\ 2+t,\ 3+3t+t^2\} er uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2. (Tips: finn først koordinatvektoren til hvert av de tre polynomene i C\mathcal{C}.)

Begrepsbank til eksamen

Koordinatapparatet i kortform — verktøyet under overgangsmatrisen (2.4) og [T]B[T]_{\mathcal{B}} (2.5).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Bijektiv

En avbildning er bijektiv hvis den er både injektiv (én-til-én) og surjektiv (på). Da parer den elementene i de to mengdene perfekt sammen, og har en invers. En isomorfi er nettopp en lineær bijektiv avbildning.

Injektiv (én-til-én)

En avbildning er injektiv hvis ulike vektorer sendes til ulike bilder: T(u)=T(v)⇒u=vT(\mathbf{u})=T(\mathbf{v})\Rightarrow\mathbf{u}=\mathbf{v}. Koordinatavbildningen er injektiv fordi koordinatvektoren er entydig.

Surjektiv (på)

En avbildning T:V→WT:V\to W er surjektiv hvis hver vektor i WW er bilde av noe i VV. Koordinatavbildningen Φ:V→Rn\Phi:V\to\mathbb{R}^n er surjektiv: enhver tallkolonne (c1,…,cn)(c_1,\dots,c_n) er koordinatvektoren til c1b1+⋯+cnbnc_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n.

Isomorfe rom V≅RnV\cong\mathbb{R}^n

Ethvert nn-dimensjonalt reelt vektorrom er isomorft med Rn\mathbb{R}^n via en koordinatavbildning. Derfor er P⁡2≅R3\operatorname{P}_2\cong\mathbb{R}^3 og Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}≅R2\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\}\cong\mathbb{R}^2 — « samme rom i forkledning». Dimensjonen er den eneste invarianten som avgjør isomorfi.

Koordinater bevarer uavhengighet
{vi}\{\mathbf{v}_i\} er uavhengige i VV ⇔ koordinatvektorene {[vi]B}\{[\mathbf{v}_i]_{\mathcal{B}}\} er uavhengige i Rn\mathbb{R}^n. Dette er arbeidshesten: test abstrakt uavhengighet med determinant/radreduksjon på koordinatene.
Koordinater bevarer span
x∈Span⁡{vi}\mathbf{x}\in\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_i\} i VV ⇔ [x]B∈Span⁡{[vi]B}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\in\operatorname{Span}\{[\mathbf{v}_i]_{\mathcal{B}}\} i Rn\mathbb{R}^n. Spørsmål om « ligger x\mathbf{x} i spennet» blir et vanlig likningssystem i koordinater.
Koordinater bevarer dimensjon

Et underrom U⊆VU\subseteq V og dets bilde Φ(U)⊆Rn\Phi(U)\subseteq\mathbb{R}^n har samme dimensjon. Derfor kan dimensjonen til et abstrakt underrom regnes som rangen til koordinatvektorene.

Invers koordinatavbildning

Fordi Φ\Phi er bijektiv, finnes inversen Φ−1:Rn→V\Phi^{-1}:\mathbb{R}^n\to V som sender (c1,…,cn)(c_1,\dots,c_n) til c1b1+⋯+cnbnc_1\mathbf{b}_1+\dots+c_n\mathbf{b}_n. Det er dette steget « oversett tilbake» — fra en koordinatvektor til et polynom/en funksjon.

Standardkoordinater i P⁡n\operatorname{P}_n

Relativt standardbasisen {1,t,…,tn}\{1,t,\dots,t^n\} er koordinatvektoren til p(t)=a0+⋯+antnp(t)=a_0+\dots+a_nt^n rett og slett koeffisientlista (a0,…,an)(a_0,\dots,a_n). Den enkleste og mest brukte koordinatavbildningen.

Koordinater er basisavhengige

Samme vektor har ulik koordinatvektor i ulike baser: 3−2t+t23-2t+t^2 er (3,−2,1)(3,-2,1) i {1,t,t2}\{1,t,t^2\}, men (5,−3,1)(5,-3,1) i {1,1+t,1+t+t2}\{1,1+t,1+t+t^2\}. Å oversette mellom to baser er overgangsmatrisens jobb (kap. 2.4).

Koordinatvektor vs. vektor
[x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} er en tallkolonne i Rn\mathbb{R}^n som representerer x\mathbf{x} — den er ikke x\mathbf{x} selv. På et abstrakt rom må sluttsvaret oversettes tilbake til et polynom eller en funksjon.
Oversett–regn–oversett tilbake

Standardgrepet i signaturoppgaven: (1) oversett vektorene til koordinatvektorer i Rn\mathbb{R}^n; (2) regn med vanlig matrisealgebra; (3) oversett tilbake til VV. Isomorfien garanterer at svaret blir riktig.

Koordinatavbildningen er lineær
[u+v]B=[u]B+[v]B[\mathbf{u}+\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}=[\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}+[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} og [cu]B=c[u]B[c\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}=c[\mathbf{u}]_{\mathcal{B}}. Linearitet er halve isomorfi-kravet (den andre halvparten er bijektivitet).
Dimensjon som rang av koordinater

Dimensjonen til Span⁡{v1,…,vk}\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\} i VV er rangen til matrisen med koordinatvektorene [vi]B[\mathbf{v}_i]_{\mathcal{B}} som søyler. Slik regnes dimensjonen til et abstrakt underrom med de vanlige RREF-verktøyene fra Del 1.

Determinanttest på koordinater

For nn vektorer i et nn-dimensjonalt rom: still koordinatvektorene opp som søyler og regn determinanten. Er den ≠0\neq 0, er vektorene uavhengige (og en basis); er den 00, er de avhengige. Grepet i uavhengighetseksemplene i dette kapitlet.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.