2.4
Alle fag for Høyskole

2.4 Basisskifte og overgangsmatrisen P_{C←B}

Overgangsmatrisen P_{C←B} som oversetter B-koordinater til C-koordinater: hvordan den bygges (C-uttrykk av B-vektorene), riktig retning, og inversen P_{B←C} = (P_{C←B})⁻¹.

55 min
8 oppgaver
Basisskifteovergangsmatrisen P_{C←B}
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 2.3 — koordinatvektoren [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} og koordinatavbildningen; at samme vektor har ulik koordinatvektor i ulike baser, er nettopp forskjellen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} regner ut
- Invers matrise og radreduksjon (MAT1110) — vi inverterer en liten matrise via [M ∣ I]→[I ∣ M−1][M\,|\,I]\to[I\,|\,M^{-1}]
- Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon — innføring i likningssystem/Gauss

I kap. 2.3 så vi at samme polynom 3−2t+t23-2t+t^2 har koordinatvektor (3,−2,1)(3,-2,1) i standardbasisen, men (5,−3,1)(5,-3,1) i en annen basis. Spørsmålet nå er: finnes det en fast matrise som gjør om den ene koordinatvektoren til den andre, for alle vektorer på én gang? Ja — det er overgangsmatrisen (basisskiftematrisen) PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.

Poenget er at koordinatbytte er en lineær operasjon, så det kan pakkes i én matrise. Den avgjørende disiplinen er å holde styr på retningen: hvilken basis går inn, og hvilken kommer ut. Vi jobber i tre løkker: (1) definisjon, konstruksjon og retning, (2) inversen den andre veien, (3) standardbasis og funksjonsrom.

Overgangsmatrisen og retningen (~20 min)

Overgangsmatrisen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}
La B\mathcal{B} og C\mathcal{C} være to ordnede baser for samme nn-dimensjonale rom VV. Overgangsmatrisen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} er den n×nn\times n-matrisen som oversetter B\mathcal{B}-koordinater til C\mathcal{C}-koordinater:

[x]C=PC←B [x]Bfor alle x∈V.[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\qquad\text{for alle }\mathbf{x}\in V.

Den samme vektoren x\mathbf{x} endrer seg ikke — bare tallene vi beskriver den med skifter når vi bytter basis. PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} er ordboka mellom de to koordinatspråkene.

Retningen «C\mathcal{C} fra B\mathcal{B}»

Notasjonen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} leses «C\mathcal{C} fra B\mathcal{B}», og pilen ←\leftarrow viser gangretningen: matrisen tar en B\mathcal{B}-koordinatvektor inn (til høyre) og gir en C\mathcal{C}-koordinatvektor ut (til venstre). Tenk på det som «ut←inn\text{ut}\leftarrow\text{inn}». Denne lesemåten er hele nøkkelen til å unngå retningsfellen.

Konstruksjon: kolonne jj er [bj]C[\mathbf{b}_j]_{\mathcal{C}}
Overgangsmatrisen bygges kolonne for kolonne: kolonne jj i PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} er koordinatvektoren til B\mathbf{B}-vektor nr. jj, uttrykt i C\mathcal{C}-koordinater:

PC←B=[ [b1]C  [b2]C ⋯ [bn]C ].P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\big[\ [\mathbf{b}_1]_{\mathcal{C}}\ \ [\mathbf{b}_2]_{\mathcal{C}}\ \cdots\ [\mathbf{b}_n]_{\mathcal{C}}\ \big].

Altså: for å bygge «C\mathcal{C} fra B\mathcal{B}» må du uttrykke hver B\mathcal{B}-vektor i den nye basisen C\mathcal{C}. Kolonnene er koordinatvektorer (tallkolonner), ikke basisvektorene selv.

✏️Eksempel 1: Bygge PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} i P⁡2\operatorname{P}_2 (sjanger I)

La B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\} (standardbasisen) og C={t2, t2+t, t2+t+1}\mathcal{C}=\{t^2,\ t^2+t,\ t^2+t+1\} i P⁡2\operatorname{P}_2. Finn overgangsmatrisen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}.

Vi trenger hver B\mathcal{B}-vektor uttrykt i C\mathcal{C}-koordinater. Skriv p=a t2+b(t2+t)+c(t2+t+1)p=a\,t^2+b(t^2+t)+c(t^2+t+1) og sammenlign koeffisienter (konstant: cc; tt: b+cb+c; t2t^2: a+b+ca+b+c).

b1=1\mathbf{b}_1=1: c=1c=1, b+c=0⇒b=−1b+c=0\Rightarrow b=-1, a+b+c=0⇒a=0a+b+c=0\Rightarrow a=0. Så [1]C=(0,−1,1)[1]_{\mathcal{C}}=(0,-1,1).

b2=t\mathbf{b}_2=t: c=0c=0, b+c=1⇒b=1b+c=1\Rightarrow b=1, a+b+c=0⇒a=−1a+b+c=0\Rightarrow a=-1. Så [t]C=(−1,1,0)[t]_{\mathcal{C}}=(-1,1,0).

b3=t2\mathbf{b}_3=t^2: c=0c=0, b+c=0⇒b=0b+c=0\Rightarrow b=0, a+b+c=1⇒a=1a+b+c=1\Rightarrow a=1. Så [t2]C=(1,0,0)[t^2]_{\mathcal{C}}=(1,0,0).

Sett koordinatvektorene som kolonner:

PC←B=[0−11−110100].P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&-1&1\\ -1&1&0\\ 1&0&0\end{bmatrix}.

Legg merke til at vi uttrykte B\mathcal{B}-vektorene i C\mathcal{C} — det er det «C\mathcal{C} fra B\mathcal{B}» krever.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) Overgangsmatrisen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} oppfyller [x]C=PC←B[x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}.

a) Hvilken basis' koordinater tar matrisen inn, og hvilken gir den ut?

b) Hva står i kolonne jj av PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}?

📝Oppgave 2

La B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\} og C={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\} i P⁡2\operatorname{P}_2. Finn PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} ved å uttrykke hver B\mathcal{B}-vektor i C\mathcal{C}-koordinater.

Den andre veien: inversen PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} (~18 min)

📜Inversen går motsatt vei
Overgangsmatrisen er alltid invertibel, og inversen bytter retning:

PB←C=(PC←B)−1.P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\big(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\big)^{-1}.

Det stemmer med ordbok-bildet: hvis PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} oversetter fra B\mathcal{B} til C\mathcal{C}, oversetter inversen tilbake fra C\mathcal{C} til B\mathcal{B}. Sammensetter du dem, kommer du tilbake der du startet: PB←C PC←B=IP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=I.

Inversen via [M ∣ I]→[I ∣ M−1][M\,|\,I]\to[I\,|\,M^{-1}]

For å finne PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1} radreduserer du [ PC←B ∣ I ][\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,|\,I\,] til [ I ∣ M−1 ][\,I\,|\,M^{-1}\,]; da står inversen til høyre. Alternativt (ofte raskere): bygg PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} direkte fra definisjonen — kolonne jj er [cj]B[\mathbf{c}_j]_{\mathcal{B}}, altså C\mathcal{C}-vektorene uttrykt i B\mathcal{B}-koordinater. På eksamen kan inversen også leses av vedlegget.

✏️Eksempel 2: Inversen og retningskontroll

Fortsett Eksempel 1: B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}, C={t2, t2+t, t2+t+1}\mathcal{C}=\{t^2,\ t^2+t,\ t^2+t+1\}, med PC←B=[0−11−110100]P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&-1&1\\ -1&1&0\\ 1&0&0\end{bmatrix}. Finn PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}, og kontroller retningen på x=t2+t\mathbf{x}=t^2+t.

Bygg inversen direkte (raskest her): kolonne jj er [cj]B[\mathbf{c}_j]_{\mathcal{B}}, altså C\mathcal{C}-vektorene i standardkoordinater. De leses rett av: t2=(0,0,1)t^2=(0,0,1), t2+t=(0,1,1)t^2+t=(0,1,1), t2+t+1=(1,1,1)t^2+t+1=(1,1,1). Så

PB←C=[001011111].P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&1\end{bmatrix}.

Sjekk at det er inversen: PC←B PB←C=IP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=I (regn etter — produktet blir identitetsmatrisen). ✓

Retningskontroll på x=t2+t\mathbf{x}=t^2+t: I standardbasisen er [x]B=(0,1,1)[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=(0,1,1). Da skal [x]C=PC←B[x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}:

[0−11−110100][011]=[0⋅0−1⋅1+1⋅1−1⋅0+1⋅1+0⋅11⋅0+0+0]=[010].\begin{bmatrix}0&-1&1\\ -1&1&0\\ 1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\cdot0-1\cdot1+1\cdot1\\ -1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1\\ 1\cdot0+0+0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}.

Stemmer det? x=t2+t=1⋅(t2+t)\mathbf{x}=t^2+t=1\cdot(t^2+t), altså er c2\mathbf{c}_2 alene, så [x]C=(0,1,0)[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}=(0,1,0). ✓ Retningen er riktig: PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} tok en B\mathcal{B}-koordinatvektor inn og ga en C\mathcal{C}-koordinatvektor ut.

📝Oppgave 3

For B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}, C={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal{C}=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\} fant du i oppgave 2 at PC←B=[1−1001−1001]P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1\end{bmatrix}.

a) Finn PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} direkte (uttrykk C\mathcal{C}-vektorene i B\mathcal{B}-koordinater).

b) Kontroller at PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1} ved å regne produktet.

Standardbasis og funksjonsrom (~15 min)

Spesialtilfellet: overgang fra standardbasis

Er B\mathcal{B} en generell basis og E\mathcal{E} standardbasisen, er overgangsmatrisen «fra B\mathcal{B} til E\mathcal{E}» spesielt lett: PE←BP_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{B}} har B\mathcal{B}-vektorene som kolonner (skrevet i standardkoordinater), fordi [bj]E[\mathbf{b}_j]_{\mathcal{E}} nettopp er bj\mathbf{b}_j selv. Da får du den motsatte veien ved å invertere: PB←E=(PE←B)−1P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{E}}=(P_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1}.

Begge baser gitt i standardkoordinater
Er både B\mathcal{B} og C\mathcal{C} oppgitt i standardkoordinater (som polynomer/tallkolonner), la PBP_B og PCP_C være matrisene med B\mathcal{B}- og C\mathcal{C}-vektorene som kolonner. Fra [x]E=PB[x]B=PC[x]C[\mathbf{x}]_{\mathcal{E}}=P_B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=P_C[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}} følger

PC←B=PC−1PB.P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=P_C^{-1}P_B.

Dette er den mekaniske oppskriften når begge baser er kjent i standardbasisen — praktisk å radredusere [PC ∣ PB]→[I ∣ PC←B][P_C\,|\,P_B]\to[I\,|\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}].

✏️Eksempel 3: Basisskifte i et funksjonsrom

La V=Span⁡{cos⁡t, sin⁡t}V=\operatorname{Span}\{\cos t,\ \sin t\} med baser B={cos⁡t, sin⁡t}\mathcal{B}=\{\cos t,\ \sin t\} og C={cos⁡t+sin⁡t, cos⁡t−sin⁡t}\mathcal{C}=\{\cos t+\sin t,\ \cos t-\sin t\}. Finn PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} og PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}.

PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} — uttrykk B\mathcal{B}-vektorene i C\mathcal{C}. Skriv cos⁡t=a(cos⁡t+sin⁡t)+b(cos⁡t−sin⁡t)=(a+b)cos⁡t+(a−b)sin⁡t\cos t=a(\cos t+\sin t)+b(\cos t-\sin t)=(a+b)\cos t+(a-b)\sin t, så a+b=1a+b=1, a−b=0⇒a=b=12a-b=0\Rightarrow a=b=\tfrac12. Altså [cos⁡t]C=(12,12)[\cos t]_{\mathcal{C}}=(\tfrac12,\tfrac12). Tilsvarende sin⁡t\sin t: a+b=0a+b=0, a−b=1⇒a=12, b=−12a-b=1\Rightarrow a=\tfrac12,\ b=-\tfrac12, så [sin⁡t]C=(12,−12)[\sin t]_{\mathcal{C}}=(\tfrac12,-\tfrac12). Kolonnevis:

PC←B=[121212−12].P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\[2pt] \tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}.

PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} — her er C\mathcal{C}-vektorene allerede gitt i B={cos⁡t,sin⁡t}\mathcal{B}=\{\cos t,\sin t\}-koordinater: cos⁡t+sin⁡t=(1,1)\cos t+\sin t=(1,1), cos⁡t−sin⁡t=(1,−1)\cos t-\sin t=(1,-1). Så

PB←C=[111−1].P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\begin{bmatrix}1&1\\ 1&-1\end{bmatrix}.

Kontroll: PC←B PB←C=[121212−12][111−1]=[1001]=IP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=\begin{bmatrix}\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&-\tfrac12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=I. ✓

📝Oppgave 4

La E={1, t}\mathcal{E}=\{1,\ t\} (standardbasis) og B={2+t, 1+t}\mathcal{B}=\{2+t,\ 1+t\} i P⁡1\operatorname{P}_1.

a) Finn PE←BP_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{B}}.

b) Bruk den til å finne [ x ]E[\,\mathbf{x}\,]_{\mathcal{E}} når [x]B=(3,−1)[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=(3,-1), og bekreft ved å regne ut vektoren direkte.

📝Oppgave 5

La B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\} og C={t2, t2+t, t2+t+1}\mathcal{C}=\{t^2,\ t^2+t,\ t^2+t+1\} i P⁡2\operatorname{P}_2, med PC←B=[0−11−110100]P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&-1&1\\ -1&1&0\\ 1&0&0\end{bmatrix} (Eksempel 1). Polynomet x=3−2t+t2\mathbf{x}=3-2t+t^2 har [x]B=(3,−2,1)[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=(3,-2,1).

a) Finn [x]C[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}} med overgangsmatrisen.

b) Kontroller svaret ved å skrive x\mathbf{x} direkte som en lineærkombinasjon av C\mathcal{C}-vektorene.

Begrepsbank til eksamen

Basisskifte-apparatet i kortform — retningen er det du må ha automatisert (intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Basisskifte

Å bytte fra å beskrive vektorer i én basis B\mathcal{B} til å beskrive dem i en annen basis C\mathcal{C}. Selve vektorene er de samme; bare koordinatene endres, og overgangsmatrisen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} regner ut endringen for alle vektorer på én gang.

Grunnrelasjonen
[x]C=PC←B [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}. Denne likheten definerer overgangsmatrisen og fastsetter retningen: B\mathcal{B} inn, C\mathcal{C} ut.
Kolonnene er koordinater

Kolonne jj i PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} er koordinatvektoren [bj]C[\mathbf{b}_j]_{\mathcal{C}} — en tallkolonne, ikke basisvektoren bj\mathbf{b}_j selv. En hyppig felle er å sette inn selve polynomene/funksjonene.

Retningsfellen

Å forveksle PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} med inversen PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}} er den vanligste feilen i sjanger I. Motgift: les pilen «ut ←\leftarrow inn», og verifiser med ett konkret talleksempel.

Inversen bytter vei
PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}})^{-1}. Oversetter den ene fra B\mathcal{B} til C\mathcal{C}, oversetter inversen tilbake. Produktet er identitetsmatrisen II.
Invers via [M∣I][M|I]

Radreduser [ PC←B ∣ I ][\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,|\,I\,] til [ I ∣ M−1 ][\,I\,|\,M^{-1}\,] for å finne inversen. På eksamen kan inversen også leses av vedlegget i stedet for å regnes for hånd.

Overgang fra standardbasis
PE←BP_{\mathcal{E}\leftarrow\mathcal{B}} har B\mathcal{B}-vektorene som kolonner (i standardkoordinater), fordi [bj]E=bj[\mathbf{b}_j]_{\mathcal{E}}=\mathbf{b}_j. Den letteste overgangsmatrisen å skrive opp; motsatt vei fås ved å invertere.
PC←B=PC−1PBP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=P_C^{-1}P_B

Er begge baser gitt i standardkoordinater med matrisene PB,PCP_B,P_C (vektorene som kolonner), er PC←B=PC−1PBP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=P_C^{-1}P_B. Praktisk å radredusere [PC ∣ PB]→[I ∣ PC←B][P_C\,|\,P_B]\to[I\,|\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}].

Overgangsmatrisen er alltid invertibel

Fordi begge baser utspenner samme rom, er PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} alltid invertibel (det⁡≠0\det\neq 0). Ellers kunne ikke oversettelsen reverseres. En overgangsmatrise kan derfor aldri være singulær.

Overgang til seg selv er II
PB←B=IP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{B}}=I: å « bytte» fra en basis til seg selv endrer ingen koordinater. Nyttig kontroll — og forklarer hvorfor PB←CPC←B=PB←B=IP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{B}}=I.
Sammensetning av basisskifter

Overgangsmatriser kjedes som funksjoner: PD←C PC←B=PD←BP_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{C}}\,P_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}=P_{\mathcal{D}\leftarrow\mathcal{B}}. De indre basisene C\mathcal{C} «kanselleres», akkurat som pilene tilsier.

Vektoren endres ikke

Ved basisskifte er det bare beskrivelsen (koordinatene) som endres — vektoren x\mathbf{x} i VV er den samme. PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} oversetter tall, ikke vektorer.

Retningskontroll med talleksempel

Standard kvalitetssikring: velg en vektor du kjenner koordinatene til i begge baser, og sjekk at PC←B[x]BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} faktisk gir [x]C[\mathbf{x}]_{\mathcal{C}}. Fanger retningsfellen før den koster poeng.

Overgang i P⁡n\operatorname{P}_n og funksjonsrom

Basisskifte virker likt i abstrakte rom: uttrykk B\mathcal{B}-polynomene/-funksjonene i C\mathcal{C} og sett koordinatvektorene som kolonner. Eksamen bruker dette i P⁡2/P⁡3\operatorname{P}_2/\operatorname{P}_3 (2019, 2024) og i funksjonsrom.

Lese notasjonen PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}

Pilen ←\leftarrow peker mot resultatet: PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} er «C\mathcal{C} fra B\mathcal{B}» = «ut ←\leftarrow inn». Basisen til høyre for pilen (B\mathcal{B}) er den koordinatvektoren inn er skrevet i; basisen til venstre (C\mathcal{C}) er den ut er skrevet i.

Invers av en 2×22\times2-matrise
[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\displaystyle \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\ -c&a\end{bmatrix}, forutsatt ad−bc≠0ad-bc\neq0. Den raske formelen for å snu en 2×22\times2-overgangsmatrise (fra PC←BP_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} til PB←CP_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{C}}).
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.