Tilbake
2.5
Alle fag for Høyskole

2.5 Lineære avbildninger og matriserepresentasjonen [T]_B

Matrisen [T]_B til en lineær avbildning på et abstrakt rom — særlig derivasjons- og differensialoperatorer T(f)=f′ og S(f)=f″−2f′+2f — bygget kolonne for kolonne fra T(bⱼ) uttrykt i B-koordinater.

60 min
8 oppgaver
Lineære avbildningermatriserepresentasjonen [T]_B
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 2.3 — koordinatvektoren [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} og koordinatavbildningen
- Kap. 2.4 — overgangsmatrisen; vi gjenbruker idéen «kolonne jj er en koordinatvektor»
- Derivasjon — vi deriverer polynomer og funksjoner
- Lineære operasjoner (MAT1110) — at derivasjon er lineær ((f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g', (cf)′=cf′(cf)'=cf')

I kap. 2.3 så vi at en fast basis B\mathcal{B} gjør enhver vektor i et abstrakt rom om til en tallkolonne [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} i Rn\mathbb{R}^n. Nå skal vi gjøre det samme med avbildninger: en lineær operasjon TT på rommet — for eksempel «deriver polynomet» — blir en helt vanlig matrise [T]B[T]_{\mathcal{B}} når vi ser den gjennom koordinatbrillene. Da er derivasjon på P⁡2\operatorname{P}_2 bare matrisemultiplikasjon i R3\mathbb{R}^3.

Dette er den andre halvdelen av MAT1120s signaturoppgave. Vi jobber i tre løkker: (1) hva en lineær avbildning er, (2) hvordan matrisen [T]B[T]_{\mathcal{B}} bygges kolonne for kolonne, (3) derivasjons- og differensialoperatorer, der matrisen virkelig sparer arbeid.

Løkke 1 — Lineære avbildninger (~15 min)

Lineær avbildning
En lineær avbildning er en regel TT som sender vektorer fra ett vektorrom VV til et vektorrom WW, på en måte som respekterer de to regneoperasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon. Med ord: det spiller ingen rolle om du legger sammen (eller skalerer) før eller etter at TT har virket. Formelt, for alle u,v∈V\mathbf{u},\mathbf{v}\in V og alle skalarer cc:

T(u+v)=T(u)+T(v),T(cu)=c T(u).T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),\qquad T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).

En konsekvens er at T(0)=0T(\mathbf{0})=\mathbf{0} alltid. Derivasjon T(f)=f′T(f)=f' er lineær; det er nettopp dét som gjør at vi kan representere den med en matrise.

Linearitetssjekken

For å avgjøre om en gitt regel TT er lineær, sjekker du de to betingelsene hver for seg:

1. Additivitet: T(u+v)=T(u)+T(v)T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).
2. Homogenitet: T(cu)=c T(u)T(c\mathbf{u})=c\,T(\mathbf{u}).

Begge kan slås sammen til én test: T(cu+dv)=c T(u)+d T(v)T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=c\,T(\mathbf{u})+d\,T(\mathbf{v}). Er én av dem brutt, er TT ikke lineær — for eksempel er T(p)=p2T(p)=p^2 eller T(p)=p+1T(p)=p+1 ikke lineære (den siste sender ikke 0\mathbf{0} til 0\mathbf{0}).

✏️Eksempel 1: Sjekk at $T(f)=f'+f''$ er lineær

La TT virke på P⁡3\operatorname{P}_3 ved T(f)=f′+f′′T(f)=f'+f''. Vis at TT er en lineær avbildning P⁡3→P⁡3\operatorname{P}_3\to\operatorname{P}_3.

Vi sjekker den samlede betingelsen. La f,g∈P⁡3f,g\in\operatorname{P}_3 og c,dc,d være skalarer. Fordi derivasjon er lineær, er (cf+dg)′=cf′+dg′(cf+dg)'=cf'+dg' og (cf+dg)′′=cf′′+dg′′(cf+dg)''=cf''+dg''. Da er

T(cf+dg)=(cf+dg)′+(cf+dg)′′=cf′+dg′+cf′′+dg′′=c(f′+f′′)+d(g′+g′′)=c T(f)+d T(g).T(cf+dg)=(cf+dg)'+(cf+dg)''=cf'+dg'+cf''+dg''=c(f'+f'')+d(g'+g'')=c\,T(f)+d\,T(g).

Både additivitet (c=d=1c=d=1) og homogenitet (d=0d=0) følger av dette. Altså er TT lineær. Bemerkning om rommet: deriverer vi et polynom av grad ≤3\le3 to ganger og legger sammen, får vi igjen et polynom av grad ≤3\le3, så TT sender virkelig P⁡3\operatorname{P}_3 inn i P⁡3\operatorname{P}_3. ✓

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) En avbildning T:V→WT:V\to W kalles lineær.

a) Hvilke to betingelser må TT oppfylle?

b) Hva blir alltid T(0)T(\mathbf{0}) for en lineær avbildning?

Løkke 2 — Matriserepresentasjonen [T]B[T]_{\mathcal{B}} (~25 min)

Matriserepresentasjonen [T]B[T]_{\mathcal{B}}
La T:V→VT:V\to V være en lineær avbildning på et nn-dimensjonalt rom med ordnet basis B={b1,…,bn}\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\}. Matrisen til TT relativt B\mathcal{B}, skrevet [T]B[T]_{\mathcal{B}}, er den n×nn\times n-matrisen som gjør akkurat det TT gjør, men i koordinatspråket:

[T]B=[ [T(b1)]B  [T(b2)]B ⋯ [T(bn)]B ].[T]_{\mathcal{B}}=\big[\ [T(\mathbf{b}_1)]_{\mathcal{B}}\ \ [T(\mathbf{b}_2)]_{\mathcal{B}}\ \cdots\ [T(\mathbf{b}_n)]_{\mathcal{B}}\ \big].

Med andre ord: kolonne jj er koordinatvektoren til T(bj)T(\mathbf{b}_j), uttrykt i basisen B\mathcal{B}. Idéen er den samme som for overgangsmatrisen i kap. 2.4 — vi finner ut hva avbildningen gjør med hver byggekloss, og skriver svaret i koordinater.

Kolonneoppskriften (og fellen)

For å bygge [T]B[T]_{\mathcal{B}} gjør du, for hver j=1,…,nj=1,\dots,n, to steg:

1. Regn ut T(bj)T(\mathbf{b}_j) — bruk regelen for TT (deriver, gang, osv.).
2. Skriv T(bj)T(\mathbf{b}_j) i B\mathcal{B}-koordinater — altså finn [T(bj)]B[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}, og sett den tallkolonnen som kolonne jj.

Steg 2 er der poengene sitter. Du kan ikke sette selve polynomet/funksjonen T(bj)T(\mathbf{b}_j) inn i en matrise — matriser inneholder tall. Å hoppe over oversettelsen til koordinater er den vanligste [T]B[T]_{\mathcal{B}}-fellen.

📜[T]B[T]_{\mathcal{B}} virker på koordinatvektorer
Hele poenget med matrisen er at den lar deg regne TT ved matrisemultiplikasjon i Rn\mathbb{R}^n:

[T(x)]B=[T]B [x]Bfor alle x∈V.[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}\,[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\qquad\text{for alle }\mathbf{x}\in V.

Altså: ta koordinatvektoren til x\mathbf{x}, gang med [T]B[T]_{\mathcal{B}}, og du får koordinatvektoren til T(x)T(\mathbf{x}). Det abstrakte problemet (deriver et polynom) er blitt et konkret matriseregnestykke i Rn\mathbb{R}^n. Dette er grunnen til at matriserepresentasjonen er så nyttig.

✏️Eksempel 2: $[T]_{\mathcal{B}}$ for derivasjon på $\operatorname{P}_2$ (sjanger I)

La T:P⁡2→P⁡2T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2 være T(p)=p′T(p)=p', og B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\}. Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}}, og bruk den til å regne T(3−2t+t2)T(3-2t+t^2) i koordinater.

Følg kolonneoppskriften — deriver hver basisvektor og skriv svaret i B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}-koordinater.

b1=1\mathbf{b}_1=1: T(1)=0T(1)=0, så [T(1)]B=(0,0,0)[T(1)]_{\mathcal{B}}=(0,0,0).

b2=t\mathbf{b}_2=t: T(t)=1T(t)=1, så [T(t)]B=(1,0,0)[T(t)]_{\mathcal{B}}=(1,0,0) (konstanten 11).

b3=t2\mathbf{b}_3=t^2: T(t2)=2tT(t^2)=2t, så [T(t2)]B=(0,2,0)[T(t^2)]_{\mathcal{B}}=(0,2,0).

Sett koordinatvektorene som kolonner:

[T]B=[010002000].[T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}.

Bruk matrisen: 3−2t+t23-2t+t^2 har [x]B=(3,−2,1)[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=(3,-2,1). Da er
[T(x)]B=[T]B[x]B=[010002000][3−21]=[−220].[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\ -2\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\ 2\\ 0\end{bmatrix}.
Oversatt tilbake: T(x)=−2+2tT(\mathbf{x})=-2+2t. Kontroll: ddt(3−2t+t2)=−2+2t\displaystyle \frac{d}{dt}(3-2t+t^2)=-2+2t. ✓

📝Oppgave 2

La T:P⁡2→P⁡2T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2 være T(p)=p′+pT(p)=p'+p (deriver og legg til polynomet selv), og B={1, t, t2}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2\}.

a) Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}} ved kolonneoppskriften.

b) Bruk matrisen til å finne T(2−t+t2)T(2-t+t^2) i koordinater, og oversett svaret tilbake til et polynom.

📝Oppgave 3

La T:P⁡3→P⁡3T:\operatorname{P}_3\to\operatorname{P}_3 være derivasjonsoperatoren T(p)=p′T(p)=p', og B={1, t, t2, t3}\mathcal{B}=\{1,\ t,\ t^2,\ t^3\}. Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}}, og les av matrisen hva dim⁡Nul⁡[T]B\dim\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal{B}} er (uten å regne — bare tell frie variabler).

Løkke 3 — Differensialoperatorer som polynom i TT (~18 min)

Derivasjonsoperatoren
Derivasjonsoperatoren er avbildningen T(f)=f′T(f)=f' (deriver funksjonen én gang). På P⁡n\operatorname{P}_n senker den graden med 1, og på funksjonsrom som Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\} eller Span⁡{excos⁡x, exsin⁡x}\operatorname{Span}\{e^x\cos x,\ e^x\sin x\} holder den seg innenfor rommet. Fordi derivasjon er lineær, har den en matriserepresentasjon [T]B[T]_{\mathcal{B}} — og den er selve arbeidshesten i MAT1120s signaturoppgave.
Differensialoperator som polynom i TT
En differensialoperator er et uttrykk bygget av TT, som S=T2−2T+2IS=T^2-2T+2I (der T2(f)=f′′T^2(f)=f'', T(f)=f′T(f)=f' og I(f)=fI(f)=f). Da er S(f)=f′′−2f′+2fS(f)=f''-2f'+2f. Det avgjørende: er SS det samme polynomet i TT, er [S]B[S]_{\mathcal{B}} det samme polynomet i matrisen [T]B[T]_{\mathcal{B}}:

[S]B=[T]B2−2[T]B+2I.[S]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}^2-2[T]_{\mathcal{B}}+2I.

Du trenger altså bare å finne [T]B[T]_{\mathcal{B}} én gang; resten er matriseregning. Dette er 2019-oppgavens grep.

📜Matriserepresentasjon respekterer regneoperasjonene
Sammensetning av avbildninger blir matriseprodukt, og summer/skalarer bevares:

[S∘T]B=[S]B[T]B,[aS+bT]B=a[S]B+b[T]B,[I]B=I.[S\circ T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{B}}[T]_{\mathcal{B}},\qquad [aS+bT]_{\mathcal{B}}=a[S]_{\mathcal{B}}+b[T]_{\mathcal{B}},\qquad [I]_{\mathcal{B}}=I.

Spesielt er [T2]B=[T]B2[T^2]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}^2. Derfor blir enhver differensialoperator som er et polynom q(T)q(T), representert av det samme polynomet q([T]B)q([T]_{\mathcal{B}}) i matrisen.

✏️Eksempel 3: $S=T^2-2T+2I$ på et løsningsrom (2019-typen)

La V=Span⁡{u,v}V=\operatorname{Span}\{u,v\} der u=excos⁡xu=e^x\cos x og v=exsin⁡xv=e^x\sin x, med basis B={u,v}\mathcal{B}=\{u,v\}. La T(f)=f′T(f)=f'. Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}}, og bruk den til å finne [S]B[S]_{\mathcal{B}} for differensialoperatoren S=T2−2T+2IS=T^2-2T+2I. Tolk resultatet.

Steg 1 — [T]B[T]_{\mathcal{B}}. Deriver basisfunksjonene (produktregel) og uttrykk i B={u,v}\mathcal{B}=\{u,v\}:

u′=excos⁡x−exsin⁡x=u−v ⇒ [T(u)]B=(1,−1),u'=e^x\cos x-e^x\sin x=u-v\ \Rightarrow\ [T(u)]_{\mathcal{B}}=(1,-1),
v′=exsin⁡x+excos⁡x=u+v ⇒ [T(v)]B=(1,1).v'=e^x\sin x+e^x\cos x=u+v\ \Rightarrow\ [T(v)]_{\mathcal{B}}=(1,1).

Altså [T]B=[11−11][T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}.

Steg 2 — [S]B[S]_{\mathcal{B}}. Bruk [S]B=[T]B2−2[T]B+2I[S]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}^2-2[T]_{\mathcal{B}}+2I. Først
[T]B2=[11−11][11−11]=[02−20].[T]_{\mathcal{B}}^2=\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&2\\ -2&0\end{bmatrix}.
Da
[S]B=[02−20]−2[11−11]+2[1001]=[0−2+22−2+0−2+2+00−2+2]=[0000].[S]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&2\\ -2&0\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1&1\\ -1&1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0-2+2&2-2+0\\ -2+2+0&0-2+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.

Tolkning: [S]B[S]_{\mathcal{B}} er nullmatrisen, så SS er nulloperatoren på VV: f′′−2f′+2f=0f''-2f'+2f=0 for hver f∈Vf\in V. Det stemmer — excos⁡xe^x\cos x og exsin⁡xe^x\sin x er nettopp løsningene av differensiallikningen y′′−2y′+2y=0y''-2y'+2y=0 (karakteristisk likning r2−2r+2=0r^2-2r+2=0 med røtter r=1±ir=1\pm i). Matriseregningen bekreftet at hele VV ligger i kjernen til SS.

📝Oppgave 4

La T:P⁡2→P⁡2T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2 være T(p)=p′T(p)=p' med B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}, slik at [T]B=[010002000][T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0\end{bmatrix} (Eksempel 2). La S=T2+TS=T^2+T.

a) Finn [S]B[S]_{\mathcal{B}} ved å regne [T]B2+[T]B[T]_{\mathcal{B}}^2+[T]_{\mathcal{B}}.

b) Kontroller kolonne 3 av [S]B[S]_{\mathcal{B}} ved å regne S(t2)=(t2)′′+(t2)′S(t^2)=(t^2)''+(t^2)' direkte.

Matrisen mellom to baser [T]C←B[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} (kjennskap)
Noen ganger vil vi lese inn i én basis B\mathcal{B} og ut i en annen basis C\mathcal{C}. Da er kolonne jj i [T]C←B[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}} lik [T(bj)]C[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{C}} (regn TT på B\mathcal{B}-vektor jj, skriv svaret i C\mathcal{C}-koordinater), og

[T(x)]C=[T]C←B [x]B.[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}\,[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}.

Når C=B\mathcal{C}=\mathcal{B} er dette akkurat [T]B[T]_{\mathcal{B}}. Hvordan [T]B[T]_{\mathcal{B}} og [T]C[T]_{\mathcal{C}} (samme basis inn og ut, men to ulike valg) henger sammen via basisskifte, tar vi i kap. 2.6.

📝Oppgave 5

La V=Span⁡{sin⁡t, cos⁡t}V=\operatorname{Span}\{\sin t,\ \cos t\} med basis B={sin⁡t, cos⁡t}\mathcal{B}=\{\sin t,\ \cos t\}, og T(f)=f′T(f)=f'.

a) Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}}.

b) Bruk [T]B[T]_{\mathcal{B}} til å finne [S]B[S]_{\mathcal{B}} for S=T2+IS=T^2+I, og tolk resultatet (S(f)=f′′+fS(f)=f''+f).

Begrepsbank til eksamen

Matriserepresentasjonen i kortform — dette apparatet må sitte utenat (intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Lineær avbildning

En regel T:V→WT:V\to W med T(u+v)=Tu+TvT(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T\mathbf{u}+T\mathbf{v} og T(cu)=cTuT(c\mathbf{u})=cT\mathbf{u}. Respekterer addisjon og skalarmultiplikasjon, og sender alltid 0\mathbf{0} til 0\mathbf{0}. Bare lineære avbildninger har en matriserepresentasjon.

Linearitetssjekken

Test T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v}) (dekker både additivitet og homogenitet). Brytes den, er TT ikke lineær — f.eks. T(p)=p+1T(p)=p+1 (sender ikke 0→0\mathbf{0}\to\mathbf{0}) eller T(p)=p2T(p)=p^2.

Matriserepresentasjonen [T]B[T]_{\mathcal{B}}
[T]B=[ [T(b1)]B ⋯ [T(bn)]B ][T]_{\mathcal{B}}=\big[\,[T(\mathbf{b}_1)]_{\mathcal{B}}\ \cdots\ [T(\mathbf{b}_n)]_{\mathcal{B}}\,\big]: den n×nn\times n-matrisen som utfører TT i koordinatspråket. Kolonne jj er koordinatvektoren til TT av basisvektor jj.
Kolonneoppskriften

For hver basisvektor bj\mathbf{b}_j: (1) regn ut T(bj)T(\mathbf{b}_j), (2) skriv resultatet i B\mathcal{B}-koordinater og sett som kolonne jj. Steg 2 er der poengene sitter — kolonnen er en tallkolonne, ikke T(bj)T(\mathbf{b}_j) selv.

[T(x)]B=[T]B[x]B[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}

Grunnrelasjonen: for å regne T(x)T(\mathbf{x}), gang koordinatvektoren [x]B[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}} med matrisen. Abstrakt operasjon → matrisemultiplikasjon i Rn\mathbb{R}^n. Oversett svaret tilbake til slutt.

Koordinatfellen

Den dokumenterte [T]B[T]_{\mathcal{B}}-fellen: å sette T(bj)T(\mathbf{b}_j) (polynomet/funksjonen) inn som kolonne uten å oversette til B\mathcal{B}-koordinater. Matriser inneholder tall — kolonnen må være [T(bj)]B[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{B}}.

Derivasjonsoperatoren T(f)=f′T(f)=f'

Deriverer funksjonen én gang. Lineær, så den har en matrise [T]B[T]_{\mathcal{B}}. På P⁡n\operatorname{P}_n senker den graden med 1; på funksjonsrom som Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\} holder den seg innenfor rommet. Signaturoppgavens arbeidshest.

Differensialoperator som polynom i TT
S=q(T)S=q(T), f.eks. S=T2−2T+2IS=T^2-2T+2I (S(f)=f′′−2f′+2fS(f)=f''-2f'+2f). Da er [S]B=q([T]B)=[T]B2−2[T]B+2I[S]_{\mathcal{B}}=q([T]_{\mathcal{B}})=[T]_{\mathcal{B}}^2-2[T]_{\mathcal{B}}+2I — samme polynom i matrisen. Finn [T]B[T]_{\mathcal{B}} én gang, regn resten.
[S∘T]B=[S]B[T]B[S\circ T]_{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{B}}[T]_{\mathcal{B}}

Sammensetning av lineære avbildninger svarer til matriseprodukt (i samme rekkefølge). Spesielt [T2]B=[T]B2[T^2]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}^2. Sum og skalar bevares: [aS+bT]B=a[S]B+b[T]B[aS+bT]_{\mathcal{B}}=a[S]_{\mathcal{B}}+b[T]_{\mathcal{B}}.

[I]B=I[I]_{\mathcal{B}}=I

Identitetsavbildningen I(x)=xI(\mathbf{x})=\mathbf{x} har identitetsmatrisen som representasjon i enhver basis. Derfor blir +2I+2I-leddet i en differensialoperator til +2I+2I i matriseuttrykket.

[T]B2[T]_{\mathcal{B}}^2 er et matriseprodukt
[T]B2=[T]B[T]B[T]_{\mathcal{B}}^2=[T]_{\mathcal{B}}[T]_{\mathcal{B}} (matrisemultiplikasjon), ikke hvert element opphøyd i annen. Svarer til T2(f)=f′′T^2(f)=f'' for derivasjonsoperatoren.
Basisen er ordnet

Rekkefølgen på B\mathcal{B} bestemmer rekkefølgen på både kolonnene (hvilken bj\mathbf{b}_j) og radene (koordinatplassene). Bytter du rekkefølge, får du en annen — men likedannet — matrise.

Nulloperator på et løsningsrom

Er [S]B[S]_{\mathcal{B}} nullmatrisen, er SS nulloperatoren: S(f)=0S(f)=0 for alle ff i rommet. Typisk når rommet er utspent av løsningene av differensiallikningen S(y)=0S(y)=0 (f.eks. y′′−2y′+2y=0y''-2y'+2y=0 gir Span⁡{excos⁡x,exsin⁡x}\operatorname{Span}\{e^x\cos x,e^x\sin x\}).

[T]B[T]_{\mathcal{B}} for derivasjon på P⁡2\operatorname{P}_2

Med T(p)=p′T(p)=p' og B={1,t,t2}\mathcal{B}=\{1,t,t^2\} er [T]B=[010002000][T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}. Legg merke til at dim⁡P⁡2=3\dim\operatorname{P}_2=3, at diagonalen er null (grad senkes), og at kolonne 1 mangler pivot (konstantene deriveres til 00).

[T]B[T]_{\mathcal{B}} på Span⁡{sin⁡t,cos⁡t}\operatorname{Span}\{\sin t,\cos t\}

Med T(f)=f′T(f)=f' og B={sin⁡t,cos⁡t}\mathcal{B}=\{\sin t,\cos t\}: (sin⁡t)′=cos⁡t(\sin t)'=\cos t, (cos⁡t)′=−sin⁡t(\cos t)'=-\sin t, så [T]B=[0−110][T]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} (en 90°-rotasjon). Fortegnet på (cos⁡t)′(\cos t)' er den vanlige regnefellen.

[T]C←B[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}

Matrisen som leser inn i B\mathcal{B} og ut i C\mathcal{C}: kolonne jj er [T(bj)]C[T(\mathbf{b}_j)]_{\mathcal{C}}, og [T(x)]C=[T]C←B[x]B[T(\mathbf{x})]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}\leftarrow\mathcal{B}}[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}. Når C=B\mathcal{C}=\mathcal{B} får du [T]B[T]_{\mathcal{B}}.

Oversett svaret tilbake

Etter matriseregningen står svaret i koordinater. Oversett det tilbake til et polynom/en funksjon ved å multiplisere koordinatene med basisvektorene. Et [T]B[T]_{\mathcal{B}}-svar som blir stående i Rn\mathbb{R}^n er ufullstendig.

Ikke-lineære eksempler
T(p)=p2T(p)=p^2, T(p)=p+1T(p)=p+1 og T(p)=p(0)2T(p)=p(0)^2 er ikke lineære — de bryter additivitet eller nulltesten. Slike har ingen matriserepresentasjon. Sjekk linearitet før du forsøker å bygge [T]B[T]_{\mathcal{B}}.
Hvorfor [T]B[T]_{\mathcal{B}} er nyttig

Med matrisen kan du bruke hele Rn\mathbb{R}^n-maskineriet på abstrakte problemer: potenser [T]Bk[T]_{\mathcal{B}}^k (gjentatt derivasjon), Nul⁡[T]B\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal{B}} (kjernen), invertibilitet (isomorfi). Det er brua fra abstrakt til konkret — utnyttes i kap. 2.6.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.