9.3 Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon | Matematikk for økonomer

Matriseform $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, totalmatrise, radoperasjoner og Gauss-eliminasjon.

60 min

14 oppgaver

Lineært likningssystemTotalmatriseRadoperasjonerTrappeformGauss-eliminasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.2Determinanter og invers matrise 2.3Likningssett

Brukes videre i

9.4Cramers regel og økonomiske anvendelser

I kapittel 2.3 lærte du å løse likningssett med to ukjente ved innsetting og addisjon. Når vi går opp til tre, fire eller flere ukjente blir disse metodene tunge. Da bruker vi Gauss-eliminasjon — en systematisk metode som passer perfekt sammen med matriser, og som datamaskiner bruker for å løse helt store økonomiske modeller.

I dette kapittelet skriver vi likningssystem på matriseform, lærer radoperasjoner, og bruker Gauss-eliminasjon til å løse $3 \times 3$ -systemer trinn for trinn.

Lineært likningssystem på matriseform

Et lineært likningssystem har formen

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

Dette kan skrives kompakt som $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ der $A$ er en $m \times n$ -koeffisientmatrise, $\mathbf{x}$ er en kolonnevektor av ukjente, og $\mathbf{b}$ er en kolonnevektor av høyresider.

Koeffisient- og totalmatrise

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

✏️Eksempel 1: Skrive system på matriseform

Skriv likningssystemet på matriseform og oppgi koeffisient- og totalmatrise:

$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - 3y + 2z = -1 \\ 4x + 2y + 5z = 12 \end{cases}$

Matriseform:

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

med

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix}$

Totalmatrise:

$\left[A \,|\, \mathbf{b}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & 5 & 12 \end{array}\right]$

📝Oppgave 1

Skriv hvert likningssystem på matriseform og oppgi totalmatrisen.

\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - 5y = 1 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ -x + y + 2z = 7 \end{cases}

\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + 3b - 2c = 0 \\ b + c = 5 \end{cases}

Radoperasjoner

For å løse systemet vil vi forenkle totalmatrisen så mye som mulig — uten å endre løsningen. Det finnes tre elementære radoperasjoner som bevarer løsningssettet:

Elementære radoperasjoner

R_i \leftrightarrow R_j

Trappeform og redusert trappeform

1

Gauss-eliminasjon

Gauss-eliminasjon er en framgangsmåte for å bringe totalmatrisen på trappeform ved hjelp av radoperasjoner. Når matrisen er på trappeform, finner vi $x, y, z$ ved bakover-innsetting (også kalt tilbakeinnsetting).

Strategien er:

1. Bruk rad 1 til å lage 0-er under pivoten i kolonne 1.
2. Bruk rad 2 til å lage 0-er under pivoten i kolonne 2.
3. Fortsett til matrisen er på trappeform.
4. Les av siste likning og sett tilbake oppover.

✏️Eksempel 2: Gauss-eliminasjon på $3 \times 3$

Løs likningssystemet ved Gauss-eliminasjon:

$\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 9 \end{cases}$

Steg 0: Skriv totalmatrisen:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \end{array}\right]$

Steg 1: Eliminer $x$ fra rad 2 og 3.

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ :
$(2 - 2, \, 1 - 4, \, -1 - 2 \,|\, 1 - 16) = (0, -3, -3 \,|\, -15)$

$R_3 \to R_3 - 3R_1$ :
$(3 - 3, \, -1 - 6, \, 2 - 3 \,|\, 9 - 24) = (0, -7, -1 \,|\, -15)$

Ny matrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & -3 & -3 & -15 \\ 0 & -7 & -1 & -15 \end{array}\right]$

Steg 2: Forenkle rad 2 og eliminer $y$ fra rad 3.

$\displaystyle R_2 \to -\frac{1}{3} R_2$ for å få pivot 1:
$(0, 1, 1 \,|\, 5)$

$R_3 \to R_3 + 7 R_2$ :
$(0, -7 + 7, -1 + 7 \,|\, -15 + 35) = (0, 0, 6 \,|\, 20)$

Trappeform:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 20 \end{array}\right]$

Steg 3: Bakover-innsetting.

Fra rad 3: $\displaystyle 6z = 20 \Rightarrow z = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Fra rad 2: $\displaystyle y + z = 5 \Rightarrow y = 5 - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

Fra rad 1: $\displaystyle x + 2y + z = 8 \Rightarrow x = 8 - 2 \cdot \frac{5}{3} - \frac{10}{3} = 8 - \frac{20}{3} = \frac{4}{3}$

Løsning: $\displaystyle x = \frac{4}{3}, \; y = \frac{5}{3}, \; z = \frac{10}{3}$ .

Tips: Ved håndregning er det ofte enklest å la pivot bli større tall (ikke 1) i mellomstegene, og kun normalisere helt på slutten. Dette unngår uoversiktlige brøker i de mellomliggende stegene.

✏️Eksempel 3: Med pene tall

Løs ved Gauss-eliminasjon:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ og $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{array}\right]$

Bytt $R_2 \leftrightarrow R_3$ for å få et pent pivot:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 + 3R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{array}\right]$

Bakover-innsetting:

Rad 3: $-7z = -21 \Rightarrow z = 3$

Rad 2: $y - 2 \cdot 3 = -4 \Rightarrow y = 2$

Rad 1: $x + 2 + 3 = 6 \Rightarrow x = 1$

Løsning: $x = 1, y = 2, z = 3$ .

Kontroll: Setter inn i likning 1: $1 + 2 + 3 = 6$ ✓

📝Oppgave 2

Løs likningssystemet ved Gauss-eliminasjon.

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}

\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + 2y + z = 8 \\ 3x - y + 2z = 7 \end{cases}

\begin{cases} x + 2y + 3z = 10 \\ 2x + y + z = 8 \\ x - y + z = 1 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Antall løsninger

Når vi når trappeformen, kan vi straks lese av hvor mange løsninger systemet har:

- Én løsning: Alle ukjente er bestemt entydig (alle kolonner har pivot).
- Ingen løsninger: Det dukker opp en rad som sier $0 = c$ for en konstant $c \neq 0$ . Systemet er inkonsistent.
- Uendelig mange løsninger: Det er færre pivoter enn variabler. De variablene som ikke har pivot kalles frie variabler og kan settes til hva som helst — løsningen uttrykkes med parametre.

✏️Eksempel 4: Ingen løsning

Vis at systemet ikke har noen løsning:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 7 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 7 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ :

$(0, 0, 0 \,|\, 7 - 6) = (0, 0, 0 \,|\, 1)$

Rad 2 sier $0 = 1$ , som er umulig. Systemet har ingen løsning — det er inkonsistent.

(Geometrisk: planene definert av likning 1 og 2 er parallelle, men ikke sammenfallende.)

✏️Eksempel 5: Uendelig mange løsninger

Løs systemet:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 2y + 2z = 12 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & 2 & 12 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ , $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -4 \end{array}\right]$

Rad 2 er en triviell $0 = 0$ — fjern den (den gir ingen info). Bytt og forenkle:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array}\right]$

Bare 2 pivoter for 3 variabler — én fri variabel ( $z$ ).

Fra rad 2: $y = 2$ .

Fra rad 1: $x + 2 + z = 6 \Rightarrow x = 4 - z$ .

La $z = t$ være en parameter:

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 - t \\ 2 \\ t \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

Systemet har uendelig mange løsninger parameterisert med $t$ .

Sammenheng med determinant: For et kvadratisk system

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

- $\det(A) \neq 0$ : nøyaktig én løsning.
- $\det(A) = 0$ : enten ingen eller uendelig mange løsninger (avhenger av $\mathbf{b}$ ).

Determinanten gir altså rask info om systemet er entydig løsbart.

📝Oppgave 3

Avgjør om systemet har én, ingen eller uendelig mange løsninger. Finn løsningen(e).

\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}

\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}

\begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 4 \\ x + 2y - 2z = 3 \end{cases}

\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Anvendelse: Økonomisk problemløsing

Gauss-eliminasjon brukes til alt fra produksjonsplanlegging til blandingsproblemer. Vi ser to typiske anvendelser.

✏️Eksempel 6: Produksjonsplanlegging

En fabrikk produserer tre produkter A, B og C. Per enhet bruker de arbeid, materialer og maskintid:

Innsatsfaktor	A	B	C	Tilgjengelig
Arbeid (timer)	2	3	1	100
Materialer (kg)	1	2	4	120
Maskintid (timer)	3	1	2	90

Hvor mange enheter

x

av A,

y

av B og

z

av C bør produseres for å bruke nøyaktig alt som er tilgjengelig?

Likningssystem:

$\begin{cases} 2x + 3y + z = 100 \\ x + 2y + 4z = 120 \\ 3x + y + 2z = 90 \end{cases}$

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 100 \\ 1 & 2 & 4 & 120 \\ 3 & 1 & 2 & 90 \end{array}\right]$

Bytt $R_1 \leftrightarrow R_2$ for å få pivot 1:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 2 & 3 & 1 & 100 \\ 3 & 1 & 2 & 90 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 2R_1$ , $R_3 \to R_3 - 3R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 0 & -1 & -7 & -140 \\ 0 & -5 & -10 & -270 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 - 5R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 120 \\ 0 & -1 & -7 & -140 \\ 0 & 0 & 25 & 430 \end{array}\right]$

Fra rad 3: $25z = 430 \Rightarrow z = 17{,}2$

Fra rad 2: $-y - 7 \cdot 17{,}2 = -140 \Rightarrow y = 140 - 120{,}4 = 19{,}6$

Fra rad 1: $x + 2 \cdot 19{,}6 + 4 \cdot 17{,}2 = 120 \Rightarrow x = 120 - 39{,}2 - 68{,}8 = 12$

Svar: Produser 12 enheter av A, 19,6 av B og 17,2 av C.

(I praksis må vi runde til hele tall — eller løse et lineærprogrammeringsproblem hvis vi vil ha heltallsløsninger.)

✏️Eksempel 7: Blandingsproblem

En kaffeprodusent skal lage 100 kg blanding av tre kaffebønner: Brasil (30 kr/kg), Etiopia (40 kr/kg) og Colombia (50 kr/kg). Blandingen skal koste 3800 kr totalt (38 kr/kg), og det skal være dobbelt så mye Brasil som Colombia. Hvor mange kg av hver type?

x, y, z

være antall kg av Brasil, Etiopia og Colombia.

Betingelse 1: Totalvekt: $x + y + z = 100$ .

Betingelse 2: Totalpris: $30x + 40y + 50z = 3\,800$ .

Betingelse 3: $x = 2z$ , dvs. $x - 2z = 0$ .

Totalmatrise:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 30 & 40 & 50 & 3\,800 \\ 1 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right]$

$R_2 \to R_2 - 30R_1$ , $R_3 \to R_3 - R_1$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 10 & 20 & 800 \\ 0 & -1 & -3 & -100 \end{array}\right]$

$\displaystyle R_2 \to \frac{1}{10}R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 1 & 2 & 80 \\ 0 & -1 & -3 & -100 \end{array}\right]$

$R_3 \to R_3 + R_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 100 \\ 0 & 1 & 2 & 80 \\ 0 & 0 & -1 & -20 \end{array}\right]$

Fra rad 3: $z = 20$ .

Fra rad 2: $y + 2 \cdot 20 = 80 \Rightarrow y = 40$ .

Fra rad 1: $x = 100 - 40 - 20 = 40$ .

Svar: 40 kg Brasil, 40 kg Etiopia og 20 kg Colombia.

Kontroll: $40 + 40 + 20 = 100$ kg ✓. Totalpris: $30 \cdot 40 + 40 \cdot 40 + 50 \cdot 20 = 1200 + 1600 + 1000 = 3\,800$ kr ✓. Brasil dobbelt så mye som Colombia: $40 = 2 \cdot 20$ ✓.

📝Oppgave 4

En bedrift produserer tre typer møbler: bord (B), stoler (S) og hyller (H). Per enhet brukes følgende ressurser:

B	S	H
Treverk (m²)	2	1	3
Arbeid (timer)	4	2	1
Beslag (sett)	1	2	1

Bedriften har 50 m² treverk, 60 arbeidstimer og 40 beslag-sett. Hvor mange av hver vare kan de produsere?

Sett opp likningssystemet.

Skriv totalmatrisen.

Løs ved Gauss-eliminasjon.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 5

Løs ved Gauss-eliminasjon.

\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 6 \end{cases}

\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ x + 3y - z = 4 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 6

For hvilke verdier av

a

har systemet en entydig løsning?

$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + ay + 3z = 5 \\ x + y + 2z = 4 \end{cases}$

Skriv koeffisientmatrisen $A$ .

Regn $\det(A)$ som funksjon av $a$ .

For hvilke $a$ har systemet entydig løsning?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Lineære likningssystem

Konsept	Detaljer
Matriseform	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Totalmatrise	$[A \,\|\, \mathbf{b}]$
Radoperasjoner	$R_i \leftrightarrow R_j$ , $R_i \to kR_i$ ( $k\neq 0$ ), $R_i \to R_i + kR_j$
Trappeform	Pivoter forskyves til høyre nedover
Gauss-eliminasjon	Bring til trappeform, bakover-innsetting

Antall løsninger:

Tilfelle	Tolkning
Alle kolonner har pivot	Én løsning
Rad $[0\ 0\ \ldots\ 0\,\|\,c]$ med $c \neq 0$	Ingen løsning
Færre pivoter enn variabler	Uendelig mange (med frie variabler)

For kvadratiske system:

\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow

én entydig løsning.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Lineært likningssystem på matriseform: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ .
- Totalmatrise: Koeffisientmatrisen utvidet med høyresiden.
- Radoperasjoner: Tre elementære operasjoner som ikke endrer løsningen.
- Gauss-eliminasjon: Bringer matrisen på trappeform for å lese av antall løsninger.

Viktige formler

A\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad [A \,|\, \mathbf{b}]

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Matriseform	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Totalmatrise	$[A \,\|\, \mathbf{b}]$
Radoperasjon	Endrer matrisen uten å endre løsning
Trappeform	Echelon form etter Gauss-eliminasjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.