9.4 Cramers regel og økonomiske anvendelser | Matematikk for økonomer

Cramers regel og Leontief input-output-modell $\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}$.

55 min

14 oppgaver

Cramers regelLeontief input-outputTeknologi-matriseMarkedslikevekt med flere varerPortefølje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

I dette siste kapittelet om lineær algebra ser vi på Cramers regel — en elegant formel for å løse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ direkte med determinanter. Vi ser også på en av de mest sentrale anvendelsene av matriser i økonomi: Leontief input-output-modellen, som Wassily Leontief fikk Nobelprisen for i 1973. Modellen brukes fortsatt av statistikkbyråer rundt om i verden for å analysere hvordan endringer i etterspørsel påvirker hver sektor i økonomien.

Cramers regel

Gitt et system $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ der $A$ er en kvadratisk matrise med $\det(A) \neq 0$ , gir Cramers regel en formel for hver enkelt ukjent uttrykt ved determinanter.

Cramers regel

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

✏️Eksempel 1: Cramers regel for $2 \times 2$

Løs ved Cramers regel:

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + 4y = 12 \end{cases}$

Koeffisientmatrise og høyreside:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 12 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 10$

$A_1$ er $A$ med første kolonne erstattet av $\mathbf{b}$ :

$A_1 = \begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A_1) = 64 - 24 = 40$

$A_2$ er $A$ med andre kolonne erstattet av $\mathbf{b}$ :

$A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 16 \\ 1 & 12 \end{pmatrix}, \quad \det(A_2) = 36 - 16 = 20$

$x = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{40}{10} = 4, \qquad y = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{20}{10} = 2$

Løsning: $x = 4, y = 2$ .

Kontroll: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16$ ✓, $4 + 4 \cdot 2 = 12$ ✓.

✏️Eksempel 2: Cramers regel for $3 \times 3$

Løs ved Cramers regel:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

$\det(A)$ ved Sarrus:

Pluss: $1 \cdot (-1)(-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = 1 + 1 + 4 = 6$

Minus: $1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -1 + 2 - 2 = -1$

$\det(A) = 6 - (-1) = 7$

$\det(A_1)$ : Erstatt kolonne 1 med $\mathbf{b}$ :

$A_1 = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $6 \cdot (-1)(-1) + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6 + 2 + 6 = 14$ . Minus: $1 \cdot (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot (-1) = -2 + 12 - 3 = 7$ . $\det(A_1) = 14 - 7 = 7$ .

$\det(A_2)$ : Erstatt kolonne 2 med $\mathbf{b}$ :

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $1 \cdot 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = -3 + 6 + 4 = 7$ . Minus: $1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 6 \cdot 2 \cdot (-1) = 3 + 2 - 12 = -7$ . $\det(A_2) = 7 - (-7) = 14$ .

$\det(A_3)$ : Erstatt kolonne 3 med $\mathbf{b}$ :

$A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Sarrus: pluss $1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 \cdot 2 = -2 + 3 + 24 = 25$ . Minus: $6 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 2 = -6 + 6 + 4 = 4$ . $\det(A_3) = 25 - 4 = 21$ .

Løsning:

$x = \frac{7}{7} = 1, \quad y = \frac{14}{7} = 2, \quad z = \frac{21}{7} = 3$

Når lønner Cramers regel seg?

- $2 \times 2$ - og $3 \times 3$ -systemer: Cramer er rask og oversiktlig.
- Større systemer: Gauss-eliminasjon er normalt mye raskere (færre beregninger).
- Teoretisk arbeid: Cramer er nyttig for å uttrykke løsningen som funksjon av $\mathbf{b}$ (sensitivitetsanalyse).

Krav: $\det(A) \neq 0$ — ellers er Cramer ikke anvendelig.

📝Oppgave 1

Løs ved Cramers regel.

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases}

\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 5x + y = 9 \end{cases}

\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 2x - y = 3 \end{cases}

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 2

Løs ved Cramers regel:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 11 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases}$

Regn $\det(A)$ .

Finn $x, y, z$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Leontief input-output-modell

Wassily Leontief utviklet en modell som beskriver hvordan ulike sektorer i økonomien er gjensidig avhengige — at produksjonen i én sektor brukes som innsatsfaktor i andre sektorer. Modellen brukes til å regne ut hvor mye total produksjon hver sektor må ha for å dekke en gitt sluttetterspørsel fra forbrukere, eksport og investering.

Leontief-modellen

n

📜Løsning av Leontief-modellen

Vi løser for

\mathbf{x}

$\mathbf{x} - A\mathbf{x} = \mathbf{d}$

$\left(I - A\right)\mathbf{x} = \mathbf{d}$

$\boxed{\mathbf{x} = \left(I - A\right)^{-1}\mathbf{d}}$

Matrisen $(I - A)^{-1}$ kalles Leontief-inversen. Element $(i,j)$ forteller hvor mye total produksjon sektor $i$ må ha for å dekke én ekstra enhet sluttetterspørsel i sektor $j$ — direkte og indirekte gjennom alle ringvirkninger.

✏️Eksempel 3: To-sektor Leontief

En liten økonomi har to sektorer: industri og landbruk. Teknologi-matrisen er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}$

Det vil si: produksjon av én enhet i industrien krever 0,2 enheter fra industrien selv og 0,1 fra landbruket. Tilsvarende for landbruket.

Sluttetterspørselen er $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \end{pmatrix}$ (i mill. kr).

Finn total produksjon i begge sektorer.

Steg 1: Regn

I - A

$I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$

Steg 2: Regn $\det(I - A)$ :

$\det(I - A) = 0{,}8 \cdot 0{,}6 - (-0{,}3)(-0{,}1) = 0{,}48 - 0{,}03 = 0{,}45$

Steg 3: Regn $(I - A)^{-1}$ :

$\left(I - A\right)^{-1} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$

Steg 4: Regn $\mathbf{x} = (I-A)^{-1}\mathbf{d}$ :

$\mathbf{x} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot 60 + 0{,}3 \cdot 80 \\ 0{,}1 \cdot 60 + 0{,}8 \cdot 80 \end{pmatrix} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 36 + 24 \\ 6 + 64 \end{pmatrix} = \frac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} \approx \begin{pmatrix} 133{,}33 \\ 155{,}56 \end{pmatrix}$

Industrien må produsere ca. 133,33 mill. kr og landbruket ca. 155,56 mill. kr for å dekke sluttetterspørselen og alle interne behov.

Tolkning: Selv om sluttetterspørselen er 60 + 80 = 140, må total produksjon være 133,33 + 155,56 = 288,89 mill. kr. Forskjellen (148,89 mill.) er produksjon som brukes internt mellom sektorene — råvarer og halvfabrikata som ikke ender som sluttprodukt.

✏️Eksempel 4: Tre-sektor Leontief

En økonomi har tre sektorer: A, B, C. Teknologi-matrisen er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}2 \end{pmatrix}$

Sluttetterspørselen er $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \\ 40 \end{pmatrix}$ .

Skriv opp Leontief-ligningen og løs systemet.

Steg 1: Skriv

I - A

$I - A = \begin{pmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix}$

Leontief-ligningen er $(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{d}$ :

$\begin{pmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \\ 40 \end{pmatrix}$

Steg 2: Regn $\det(I - A)$ ved Sarrus:

Pluss-diagonalene: $0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}8 + (-0{,}2)(-0{,}3)(-0{,}1) + (-0{,}1)(-0{,}2)(-0{,}3) = 0{,}648 - 0{,}006 - 0{,}006 = 0{,}636$ .

Minus-diagonalene: $(-0{,}1) \cdot 0{,}9 \cdot (-0{,}1) + 0{,}9 \cdot (-0{,}3)(-0{,}3) + (-0{,}2)(-0{,}2) \cdot 0{,}8 = 0{,}009 + 0{,}081 + 0{,}032 = 0{,}122$ .

$\displaystyle \det(I-A) = 0{,}636 - 0{,}122 = 0{,}514 = \frac{257}{500}$ .

Steg 3: Bruk Cramers regel for hver ukjent.

$\det(A_1) = \begin{vmatrix} 50 & -0{,}2 & -0{,}1 \\ 30 & 0{,}9 & -0{,}3 \\ 40 & -0{,}3 & 0{,}8 \end{vmatrix} = 50(0{,}72 - 0{,}09) - (-0{,}2)(24 + 12) + (-0{,}1)(-9 - 36) = 50 \cdot 0{,}63 + 0{,}2 \cdot 36 + 0{,}1 \cdot 45 = 31{,}5 + 7{,}2 + 4{,}5 = 43{,}2$

$x_1 = \frac{43{,}2}{0{,}514} \approx 84{,}05$

$\det(A_2) = \begin{vmatrix} 0{,}9 & 50 & -0{,}1 \\ -0{,}2 & 30 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 40 & 0{,}8 \end{vmatrix} = 0{,}9(24 + 12) - 50(-0{,}16 - 0{,}03) + (-0{,}1)(-8 + 3) = 32{,}4 + 9{,}5 + 0{,}5 = 42{,}4$

$x_2 = \frac{42{,}4}{0{,}514} \approx 82{,}49$

$\det(A_3) = \begin{vmatrix} 0{,}9 & -0{,}2 & 50 \\ -0{,}2 & 0{,}9 & 30 \\ -0{,}1 & -0{,}3 & 40 \end{vmatrix} = 0{,}9(36 + 9) - (-0{,}2)(-8 + 3) + 50(0{,}06 + 0{,}09) = 40{,}5 - 1 + 7{,}5 = 47{,}0$

$x_3 = \frac{47{,}0}{0{,}514} \approx 91{,}44$

Løsning: $x_1 \approx 84{,}05$ , $x_2 \approx 82{,}49$ , $x_3 \approx 91{,}44$ (mill. kr).

Eksakt (som brøker): $\displaystyle x_1 = \frac{21\,600}{257}$ , $\displaystyle x_2 = \frac{21\,200}{257}$ , $\displaystyle x_3 = \frac{23\,500}{257}$ .

📝Oppgave 3

En økonomi med to sektorer (energi og transport) har teknologi-matrise

$A = \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix}$

Sluttetterspørsel $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 70 \\ 40 \end{pmatrix}$ (mrd. kr).

Skriv $I - A$ .

Regn $\det(I - A)$ .

Finn $(I - A)^{-1}$ .

Finn totalproduksjon $\mathbf{x}$ .

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Markedslikevekt med flere varer

Når vi har flere markeder som påvirker hverandre — for eksempel kaffe og te, eller bensin og dieselbiler — kan vi sette opp et lineært system for likevektsprisene og løse med våre verktøy.

✏️Eksempel 5: To markeder

Etterspørsel og tilbud for to produkter (priser $p_1$ og $p_2$ ) er gitt ved:

Produkt 1: $Q_D^1 = 200 - 4p_1 + 2p_2$ , $Q_S^1 = -40 + 6p_1$

Produkt 2: $Q_D^2 = 150 + p_1 - 3p_2$ , $Q_S^2 = -30 + 5p_2$

Finn likevektsprisene.

Markedslikevekt krever

Q_D = Q_S

i hvert marked:

Produkt 1: $200 - 4p_1 + 2p_2 = -40 + 6p_1 \Rightarrow 10p_1 - 2p_2 = 240$

Produkt 2: $150 + p_1 - 3p_2 = -30 + 5p_2 \Rightarrow -p_1 + 8p_2 = 180$

Systemet:

$\begin{pmatrix} 10 & -2 \\ -1 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 240 \\ 180 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 80 - 2 = 78$

Ved Cramer:

$p_1 = \frac{\det\begin{pmatrix} 240 & -2 \\ 180 & 8 \end{pmatrix}}{78} = \frac{1920 + 360}{78} = \frac{2280}{78} \approx 29{,}23$

$p_2 = \frac{\det\begin{pmatrix} 10 & 240 \\ -1 & 180 \end{pmatrix}}{78} = \frac{1800 + 240}{78} = \frac{2040}{78} \approx 26{,}15$

Likevektspriser: $p_1 \approx 29{,}23$ kr, $p_2 \approx 26{,}15$ kr.

Investerings-mix (kort)

Et klassisk eksempel: anta du har tre investeringsalternativer A, B, C, og du skal fordele et beløp $T$ mellom dem slik at

- total investering er $T$ ,
- forventet avkastning er $R$ ,
- risiko (varians) er $\sigma^2$ eller en annen lineær betingelse.

Dette gir et $3 \times 3$ -system som løses med metodene fra dette kapittelet. Komplette porteføljemodeller (Markowitz) bygger videre på dette med kvadratisk programmering, men selve kjernen er lineær algebra.

✏️Eksempel 6: Tre-investerings-allokering

En investor har 600 000 kr til disposisjon, fordelt på tre fond A (avkastning 3 %), B (5 %), C (8 %). Hun ønsker:

- Total investering: 600 000 kr.
- Forventet samlet avkastning: 30 000 kr (dvs. 5 %).
- Dobbelt så mye i C som i B: $c = 2b$ .

Finn $a, b, c$ .

Likningssystem:

$\begin{cases} a + b + c = 600\,000 \\ 0{,}03a + 0{,}05b + 0{,}08c = 30\,000 \\ c - 2b = 0 \end{cases}$

Fra likning 3: $c = 2b$ . Sett inn i likning 1: $a + b + 2b = 600\,000 \Rightarrow a = 600\,000 - 3b$ .

Sett inn i likning 2:

$0{,}03(600\,000 - 3b) + 0{,}05b + 0{,}08 \cdot 2b = 30\,000$
$18\,000 - 0{,}09b + 0{,}05b + 0{,}16b = 30\,000$
$18\,000 + 0{,}12b = 30\,000$
$b = 100\,000$

Da er $c = 2b = 200\,000$ og $a = 600\,000 - 3 \cdot 100\,000 = 300\,000$ .

Løsning: $a = 300\,000$ kr i fond A, $b = 100\,000$ kr i fond B, $c = 200\,000$ kr i fond C.

Kontroll: $300\,000 + 100\,000 + 200\,000 = 600\,000$ ✓. Avkastning: $0{,}03 \cdot 300\,000 + 0{,}05 \cdot 100\,000 + 0{,}08 \cdot 200\,000 = 9\,000 + 5\,000 + 16\,000 = 30\,000$ ✓. $c = 2b$ : $200\,000 = 2 \cdot 100\,000$ ✓.

📝Oppgave 4

En liten økonomi har to sektorer: produksjon (P) og tjenester (T). Teknologi-matrisen og sluttetterspørselen er

$A = \begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}40 \\ 0{,}15 & 0{,}30 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}$

Skriv opp Leontief-ligningen og regn $I - A$ .

Finn $(I - A)^{-1}$ .

Finn total produksjon.

Hvor mye av produksjonen brukes internt mellom sektorene?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 5

Etterspørsel og tilbud for to varer:

Vare 1: $Q_D^1 = 100 - 2p_1 + p_2$ , $Q_S^1 = -20 + 3p_1$ .

Vare 2: $Q_D^2 = 80 + p_1 - 2p_2$ , $Q_S^2 = -10 + 2p_2$ .

Sett opp likevektsbetingelser ( $Q_D = Q_S$ for hver vare) og forenkle.

Skriv systemet på matriseform.

Løs ved Cramers regel.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📝Oppgave 6

En tre-sektorøkonomi (jordbruk J, industri I, tjenester T) har teknologi-matrise

$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

og sluttetterspørsel $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 150 \end{pmatrix}$ .

Skriv $I - A$ og sett opp ligningen $(I-A)\mathbf{x} = \mathbf{d}$ .

Løs systemet (bruk Gauss eller Cramers regel).

Tolk svaret økonomisk.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Cramers regel og økonomiske anvendelser

Tema	Formel / tolkning
Cramers regel	$x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$ for $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
Krav	$\det(A) \neq 0$
$A_i$	$A$ med kolonne $i$ erstattet av $\mathbf{b}$
Leontief-modell	$\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$
Løsning Leontief	$\mathbf{x} = (I-A)^{-1}\mathbf{d}$
Teknologi-matrise $A$	$a_{ij}$ = enheter fra sektor $i$ per enhet i sektor $j$
Markedslikevekt	$Q_D = Q_S$ for hver vare gir lineært system

Generelle metoder for å løse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ :
1. Gauss-eliminasjon — robust, fungerer for alle størrelser.
2. Invers matrise

\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

— nyttig hvis

A^{-1}

allerede er kjent.
3. Cramers regel — kompakt formel, best for

2 \times 2

3 \times 3

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Cramers regel: Løser $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ med determinanter når $\det(A) \neq 0$ .
- Leontief input-output-modell: Beskriver gjensidig avhengige sektorer i økonomien.
- Løsning av Leontief: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$ .
- Anvendelser: Markedslikevekt med flere varer og investerings-mix.

Viktige formler

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad \mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Cramers regel	Løsning med determinanter
Leontief-modell	Input-output mellom sektorer
Etterspørselsvektor	$\mathbf{d}$
$(I - A)^{-1}$	Løser Leontief-systemet

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.