9.4 Cramers regel og økonomiske anvendelser

Determinanter som løsningsmaskin

Vi har lært tre måter å løse $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ på: Gauss-eliminasjon, invers matrise -- og nå en tredje, Cramers regel, som gir hver ukjent direkte som en brøk av to determinanter. Den er pen, kompakt og perfekt for små systemer. I dette siste kapittelet om lineær algebra ser vi også på en av de mest sentrale anvendelsene av matriser i hele økonomifaget: Leontief input-output-modellen, som Wassily Leontief fikk Nobelprisen for i 1973, og som statistikkbyråer fortsatt bruker for å spore hvordan etterspørsel forplanter seg gjennom et lands sektorer.

Kravet for Cramers regel er det samme som for invers matrise: koeffisientmatrisen $A$ må være kvadratisk med $\det(A) \neq 0$. Da finnes nøyaktig én løsning, og vi kan plukke ut hver enkelt ukjent uten å regne ut hele løsningsvektoren samtidig. Det gjør Cramer ekstra nyttig i teoretisk arbeid, der vi vil uttrykke én variabel som funksjon av høyresiden $\mathbf{b}$ -- for eksempel i sensitivitetsanalyse. La oss se hvordan den fungerer.

Cramers regel i praksis

Ideen er enkel. La $A_i$ være matrisen vi får ved å erstatte kolonne nummer $i$ i $A$ med høyresiden $\mathbf{b}$. Da er den $i$-te ukjente $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$.

Ta systemet $3x + 2y = 16$, $x + 4y = 12$. Her er $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ med $\det(A) = 12 - 2 = 10$. For $x$ bytter vi første kolonne med $\mathbf{b}$: $A_1 = \begin{pmatrix} 16 & 2 \\ 12 & 4 \end{pmatrix}$, $\det(A_1) = 64 - 24 = 40$. For $y$ bytter vi andre kolonne: $A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 16 \\ 1 & 12 \end{pmatrix}$, $\det(A_2) = 36 - 16 = 20$. Dermed er $x = \tfrac{40}{10} = 4$ og $y = \tfrac{20}{10} = 2$.

Metoden skalerer til $3 \times 3$ på akkurat samme vis -- vi regner én determinant for nevneren og én per ukjent for tellerne. For systemet $x + y + z = 6$, $2x - y + z = 3$, $x + 2y - z = 2$ blir $\det(A) = 7$, og de tre teller-determinantene blir $\det(A_1) = 7$, $\det(A_2) = 14$ og $\det(A_3) = 21$, slik at $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$. Men husk: for større systemer er Gauss-eliminasjon normalt mye raskere, fordi antall determinant-beregninger vokser fort. Cramer skinner mest på $2 \times 2$ og $3 \times 3$.

Leontief -- når sektorene henger sammen

Wassily Leontief så at sektorene i en økonomi er gjensidig avhengige: stålet som industrien lager, brukes som innsats i bilfabrikken, som igjen leverer varebiler til jordbruket. Modellen hans holder styr på alle disse ringvirkningene. Vi setter opp en teknologi-matrise $A$, der element $a_{ij}$ forteller hvor mange enheter fra sektor $i$ som trengs for å lage én enhet i sektor $j$. Videre lar vi $\mathbf{x}$ være total produksjon i hver sektor og $\mathbf{d}$ være sluttetterspørselen -- det forbrukere, eksport og investering vil ha.

Grunnlikningen sier at total produksjon dekker både internt bruk og sluttetterspørsel: $\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$. Vi løser ved å samle $\mathbf{x}$-leddene: $\mathbf{x} - A\mathbf{x} = \mathbf{d}$, altså $(I - A)\mathbf{x} = \mathbf{d}$, og dermed $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$. Matrisen $(I - A)^{-1}$ kalles Leontief-inversen, og element $(i,j)$ forteller hvor mye sektor $i$ må produsere for én ekstra enhet sluttetterspørsel i sektor $j$ -- direkte og indirekte gjennom alle ringvirkninger.

Med to sektorer og $A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ blir $I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ med $\det = 0{,}48 - 0{,}03 = 0{,}45$. Med sluttetterspørsel $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \end{pmatrix}$ får vi $\mathbf{x} = \tfrac{1}{0{,}45}\begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 133{,}33 \\ 155{,}56 \end{pmatrix}$. Selv om sluttetterspørselen bare summerer til $140$, må total produksjon bli nær $289$ -- forskjellen er varer som forbrukes internt mellom sektorene og aldri ender som sluttprodukt.

Markedslikevekt og investerings-mix

De samme verktøyene løser to andre klassiske økonomiproblemer. Det første er markedslikevekt med flere varer, der etterspørsel og tilbud i sammenkoblede markeder -- som kaffe og te -- bestemmer prisene samtidig. Likevekt krever $Q_D = Q_S$ i hvert marked. Med $Q_D^1 = 200 - 4p_1 + 2p_2$, $Q_S^1 = -40 + 6p_1$ for vare 1 og tilsvarende for vare 2, samler vi leddene og får systemet $10p_1 - 2p_2 = 240$, $-p_1 + 8p_2 = 180$. Her er $\det(A) = 80 - 2 = 78$, og Cramers regel gir $p_1 = \tfrac{2280}{78} \approx 29{,}23$ og $p_2 = \tfrac{2040}{78} \approx 26{,}15$ kr.

Det andre er investerings-mix. Anta en investor har 600 000 kr fordelt på tre fond A, B og C med avkastning 3 %, 5 % og 8 %. Hun vil ha total avkastning på 30 000 kr (altså 5 %) og dobbelt så mye i C som i B. Det gir tre likninger: $a + b + c = 600\,000$, $0{,}03a + 0{,}05b + 0{,}08c = 30\,000$ og $c = 2b$. Setter vi $c = 2b$ inn, faller systemet pent sammen til $18\,000 + 0{,}12b = 30\,000$, så $b = 100\,000$, $c = 200\,000$ og $a = 300\,000$. En rask kontroll bekrefter at avkastningen blir $9\,000 + 5\,000 + 16\,000 = 30\,000$ kr. Kjernen i alt dette -- markedslikevekt, porteføljer, input-output -- er den samme lineære algebraen vi nå har bygd opp gjennom hele kapittelet.

Oppsummering

Cramers regel løser $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ved at hver ukjent blir $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$, der $A_i$ er $A$ med kolonne $i$ byttet ut med $\mathbf{b}$. Den krever $\det(A) \neq 0$ og er elegant for $2 \times 2$ og $3 \times 3$, mens Gauss-eliminasjon tar over for store systemer.

Leontief input-output-modellen beskriver gjensidig avhengige sektorer gjennom likningen $\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$, som løses med Leontief-inversen: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$. Den fanger både direkte og indirekte ringvirkninger, slik at total produksjon overstiger sluttetterspørselen på grunn av internt forbruk. De samme metodene gir oss likevektspriser i sammenkoblede markeder og riktig fordeling i en investerings-mix. Felles for alt er at den lineære algebraen -- matriser, determinanter og likningssystem -- er motoren bak moderne kvantitativ økonomi.