10.1 Tallfølger | Matematikk for økonomer

Eksplisitte og rekursive følger, konvergens og divergens, samt avgrensede og monotone følger.

40 min

14 oppgaver

TallfølgeEksplisitt formelRekursiv formelKonvergensDivergens

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

10.2Aritmetiske rekker

Tallfølger

Mange økonomiske størrelser endrer seg trinnvis fra periode til periode: saldoen på en sparekonto fra år til år, månedlige lønnsutbetalinger, eller årlige avdrag på et lån. Slike trinnvise tallrekker kalles tallfølger.

Å forstå tallfølger er grunnlaget for å forstå rekker, som igjen er grunnlaget for finansmatematiske begreper som annuiteter, perpetuiteter og nåverdi av evigvarende kontantstrømmer.

Tallfølge

\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots

To måter å beskrive en tallfølge

Vi kan beskrive en tallfølge på to hovedmåter: med en eksplisitt formel eller med en rekursiv formel.

Eksplisitt formel gir oss en direkte regel som beregner $a_n$ fra $n$ :
$a_n = f(n)$

Rekursiv formel gir oss en regel for å beregne det neste leddet fra det forrige, sammen med ett eller flere startverdier:
$a_{n+1} = g(a_n), \quad a_1 = \text{startverdi}$

✏️Eksempel 1: Eksplisitt formel

Tallfølgen $\{a_n\}$ er gitt ved den eksplisitte formelen $a_n = 2n + 3$ .

a) Skriv opp de fem første leddene.
b) Finn $a_{20}$ .

Løsning:

a) Vi setter inn $n = 1, 2, 3, 4, 5$ :
$a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$
$a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9$
$a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
$a_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 13$

De fem første leddene er $5, 7, 9, 11, 13$ .

b) $a_{20} = 2 \cdot 20 + 3 = 43$ .

✏️Eksempel 2: Rekursiv formel

Tallfølgen $\{b_n\}$ er gitt rekursivt ved $b_1 = 4$ og $b_{n+1} = 3 b_n - 2$ .

Skriv opp de fem første leddene.

Løsning:

Vi bruker rekursjonen $b_{n+1} = 3 b_n - 2$ trinnvis:

$b_1 = 4$
$b_2 = 3 \cdot 4 - 2 = 10$
$b_3 = 3 \cdot 10 - 2 = 28$
$b_4 = 3 \cdot 28 - 2 = 82$
$b_5 = 3 \cdot 82 - 2 = 244$

De fem første leddene er $4, 10, 28, 82, 244$ .

Eksplisitt vs. rekursiv

Med eksplisitt formel kan vi finne et hvilket som helst ledd direkte. For eksempel kan vi finne $a_{1000}$ uten å regne ut alle leddene før.

Med rekursiv formel må vi ofte regne oss frem ledd for ledd — men rekursive formler beskriver økonomiske prosesser veldig naturlig (saldoen i år avhenger av saldoen i fjor).

📝Oppgave 1

Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.

a_n = 3n - 1

a_n = n^2 + 1

\displaystyle a_n = \frac{1}{n}

a_n = (-1)^n

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Skriv opp de fire første leddene i den rekursivt definerte tallfølgen.

a_1 = 2

a_{n+1} = a_n + 5

a_1 = 3

a_{n+1} = 2 a_n

a_1 = 100

a_{n+1} = 0{,}5 \cdot a_n + 10

Løs oppgaven Tren

Konvergens og divergens

Et sentralt spørsmål om en tallfølge er: hva skjer med leddene når $n$ blir veldig stor? Nærmer leddene seg en bestemt verdi, eller vokser/oscillerer de uten å sette seg?

Konvergens og divergens

\{a_n\}

✏️Eksempel 3: Konvergerende følge

Undersøk om følgen $a_n = \dfrac{1}{n}$ konvergerer, og finn grenseverdien dersom den gjør det.

Løsning:

Vi regner ut noen ledd:
$a_1 = 1,\ a_{10} = 0{,}1,\ a_{100} = 0{,}01,\ a_{1000} = 0{,}001$

Når $n$ blir stor, blir $\displaystyle \frac{1}{n}$ vilkårlig nær 0. Altså:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Følgen konvergerer mot 0.

✏️Eksempel 4: Divergerende følge (vokser)

Undersøk følgen $a_n = 2^n$ .

Løsning:

Vi regner ut noen ledd:
$a_1 = 2,\ a_2 = 4,\ a_3 = 8,\ a_{10} = 1024,\ a_{20} = 1\,048\,576$

Leddene vokser uten grense. Altså:

$\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$

Følgen divergerer mot uendelig.

✏️Eksempel 5: Divergerende følge (oscillerer)

Undersøk følgen $a_n = (-1)^n$ .

Løsning:

Vi regner ut leddene:
$a_1 = -1,\ a_2 = 1,\ a_3 = -1,\ a_4 = 1, \ldots$

Leddene veksler mellom $-1$ og $1$ uten å sette seg. Følgen har ingen grenseverdi.

Følgen divergerer ved oscillasjon.

✏️Eksempel 6: Konvergens mot 1

Undersøk om følgen $a_n = \dfrac{n}{n+1}$ konvergerer.

Løsning:

Vi regner ut noen ledd:
$a_1 = \tfrac{1}{2} = 0{,}5,\ a_2 = \tfrac{2}{3} \approx 0{,}667,\ a_{10} = \tfrac{10}{11} \approx 0{,}909$
$a_{100} = \tfrac{100}{101} \approx 0{,}990,\ a_{1000} \approx 0{,}999$

Leddene nærmer seg 1. Vi kan vise dette algebraisk ved å dele teller og nevner med $n$ :

$a_n = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \tfrac{1}{n}}$

Når $n \to \infty$ , går $\tfrac{1}{n} \to 0$ , så nevneren går mot $1$ . Derfor:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

Følgen konvergerer mot 1.

Divergens er ikke alltid "

\infty

Mange tror at en divergerende følge må vokse mot uendelig. Det er feil. En følge divergerer rett og slett når den ikke konvergerer — og en av de vanligste måtene dette skjer på, er ved oscillasjon (som $(-1)^n$ ).

Følgen $\sin(n)$ oscillerer mellom $-1$ og $1$ uten å sette seg, og divergerer derfor.

📝Oppgave 3

Undersøk om følgen konvergerer eller divergerer, og finn grenseverdien dersom den eksisterer.

a_n = \dfrac{5}{n}

a_n = 3^n

a_n = \dfrac{2n+1}{n}

a_n = (-1)^n \cdot n

Løs oppgaven Tren

Avgrensede og monotone følger

Vi sier at en følge $\{a_n\}$ er:

- monotont voksende dersom $a_{n+1} \geq a_n$ for alle $n$ (hvert ledd er minst like stort som det forrige),
- monotont avtagende dersom $a_{n+1} \leq a_n$ for alle $n$ ,
- avgrenset dersom det finnes tall $M$ og $m$ slik at $m \leq a_n \leq M$ for alle $n$ .

Et nyttig resultat (uten bevis her) er: en monoton og avgrenset følge konvergerer alltid. Dette brukes blant annet til å vise at saldoen på en sparekonto med faste innskudd konvergerer mot en bestemt verdi når renten er liten.

Mange økonomiske størrelser utvikler seg trinnvis fra periode til periode, og kan derfor naturlig beskrives som tallfølger:

- Kontoutvikling: Saldo år for år med rente og innskudd.
- Avdragsplan: Restgjeld på et lån fra termin til termin.
- Salgsprognoser: Forventet salg per kvartal med vekstrate.
- Pensjonsbeholdning: Verdien av pensjonssparingen for hvert leveår.

I de neste kapitlene skal vi se på spesielle typer tallfølger — aritmetiske og geometriske følger — og summer av leddene deres.

✏️Eksempel 7: Kontoutvikling som tallfølge

Du setter inn 10 000 kr på en sparekonto med 4 % årlig rente. La $K_n$ være saldoen etter $n$ år.

a) Skriv opp en rekursiv formel for $K_n$ .
b) Finn en eksplisitt formel for $K_n$ .
c) Hva er saldoen etter 5 år?

Løsning:

a) Hvert år vokser saldoen med 4 %, så den ganges med faktoren $1 + 0{,}04 = 1{,}04$ :
$K_0 = 10\,000, \quad K_{n+1} = 1{,}04 \cdot K_n$

b) Vi observerer mønsteret:
$K_1 = 1{,}04 \cdot 10\,000$
$K_2 = 1{,}04^2 \cdot 10\,000$
$K_n = 1{,}04^n \cdot 10\,000$

Eksplisitt formel: $K_n = 10\,000 \cdot 1{,}04^n$ .

c) $K_5 = 10\,000 \cdot 1{,}04^5 = 10\,000 \cdot 1{,}2167 \approx 12\,167$ kr.

Dette er en geometrisk følge, som vi skal studere i kapittel 10.3.

📝Oppgave 4

Du setter inn 50 000 kr på en konto med 3 % årlig rente. La $K_n$ være saldoen etter $n$ år.

Skriv opp en rekursiv formel for $K_n$ (med $K_0 = 50\,000$ ).

Finn en eksplisitt formel for $K_n$ .

Hva er saldoen etter 10 år? Avrund til nærmeste hele krone.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Avgjør om følgene er monotont voksende, monotont avtagende eller ingen av delene.

a_n = 5n - 2

a_n = \dfrac{1}{n}

a_n = (-1)^n \cdot n

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Konvergens og grenseverdier

Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 2}{n^2 + 5}$ .

Finn $\lim_{n \to \infty} \dfrac{4n + 7}{2n - 1}$ .

Konvergerer følgen $a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ ? Hvis ja, finn grenseverdien.

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Tallfølger

Begrep	Forklaring / Formel
Tallfølge	$\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots$
Eksplisitt formel	$a_n = f(n)$ — beregn $a_n$ direkte fra $n$
Rekursiv formel	$a_{n+1} = g(a_n)$ med startverdi $a_1$
Konvergens	$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$ for et endelig tall $L$
Divergens	Følgen har ingen endelig grenseverdi (vokser eller oscillerer)
Monoton følge	$a_{n+1} \geq a_n$ (voksende) eller $a_{n+1} \leq a_n$ (avtagende) for alle $n$
Avgrenset følge	$m \leq a_n \leq M$ for alle $n$
Hovedresultat	Monoton og avgrenset $\Rightarrow$ konvergerer

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Tallfølge: En ordnet liste av tall der $a_n$ er det $n$ -te leddet.
- Eksplisitt og rekursiv formel: Eksplisitt gir et ledd direkte; rekursiv ut fra forrige ledd.
- Konvergens og divergens: En følge konvergerer hvis leddene nærmer seg en grenseverdi.
- Avgrensede og monotone følger: Voksende eller avtakende, og eventuelt begrenset.

Viktige formler

\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots, \qquad \lim_{n \to \infty} a_n = L

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Tallfølge	Ordnet liste av tall
Eksplisitt formel	$a_n = f(n)$
Rekursiv formel	$a_n$ ut fra forrige ledd
Konvergens	Leddene nærmer seg en verdi

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.