10.2 Aritmetiske rekker | Matematikk for økonomer

Aritmetisk følge $a_n = a_1 + (n-1)d$ og sumformelen $S_n = \tfrac{n(a_1+a_n)}{2}$ (Gauss' bevis).

45 min

14 oppgaver

Aritmetisk følgeDifferansSumformelGauss' bevisSerielån

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.1Tallfølger

Brukes videre i

10.3Geometriske rekker

Aritmetiske rekker

En aritmetisk følge er en tallfølge der vi går fra ett ledd til det neste ved å legge til et fast tall — den såkalte differansen. Aritmetiske følger dukker opp overalt der noe øker eller minker med et fast beløp per periode: lineært økende lønn, faste avdrag på serielån, eller jevnt økende månedlige innskudd på en sparekonto.

Når vi summerer leddene i en aritmetisk følge, får vi en aritmetisk rekke. I dette kapittelet skal vi lære hvordan vi effektivt kan beregne en slik sum — uten å legge sammen alle leddene én etter én.

Aritmetisk følge

\{a_n\}

Eksplisitt formel

Fra den rekursive formelen $a_{n+1} = a_n + d$ kan vi finne en eksplisitt formel for $a_n$ . Hvert skritt fra $a_1$ til $a_n$ legger til $d$ , og vi tar $n-1$ slike skritt:

$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$\vdots$
$a_n = a_1 + (n-1) d$

📜Eksplisitt formel for aritmetisk følge

a_n = a_1 + (n - 1) d

der $a_1$ er det første leddet og $d$ er differansen.

✏️Eksempel 1: Finne ledd i aritmetisk følge

En aritmetisk følge har $a_1 = 5$ og $d = 3$ .

a) Skriv opp de fem første leddene.
b) Finn $a_{50}$ .

Løsning:

a) Vi legger til $d = 3$ for hvert skritt:
$a_1 = 5,\ a_2 = 8,\ a_3 = 11,\ a_4 = 14,\ a_5 = 17$

b) Med eksplisitt formel:
$a_{50} = a_1 + (50 - 1) \cdot d = 5 + 49 \cdot 3 = 5 + 147 = 152$

✏️Eksempel 2: Bestemme $a_1$ og $d$

I en aritmetisk følge er $a_3 = 14$ og $a_8 = 39$ . Finn $a_1$ og $d$ .

Løsning:

Vi bruker eksplisitt formel:
$a_3 = a_1 + 2d = 14$
$a_8 = a_1 + 7d = 39$

Vi trekker den første ligningen fra den andre:
$5d = 25 \quad \Rightarrow \quad d = 5$

Innsatt: $a_1 + 2 \cdot 5 = 14 \ \Rightarrow \ a_1 = 4$ .

Følgen er altså $4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, \ldots$

📝Oppgave 1

Aritmetiske følger

En aritmetisk følge har $a_1 = 7$ og $d = 4$ . Finn $a_{10}$ .

En aritmetisk følge har $a_1 = 100$ og $d = -3$ . Finn $a_{20}$ .

I en aritmetisk følge er $a_2 = 11$ og $a_5 = 26$ . Finn $d$ .

Med data fra c), finn $a_1$ .

Løs oppgaven Tren

Sum av aritmetisk rekke

En historie sier at læreren til den unge Carl Friedrich Gauss (1777–1855) ga klassen i oppgave å summere alle hele tall fra 1 til 100. Mens medelevene satt og la sammen tall for tall, fant Gauss svaret nesten umiddelbart. Trikset hans er like elegant i dag.

La $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ være summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk følge. Vi skriver summen to ganger — én gang forfra og én gang bakfra — og legger sammen ledd for ledd:

📜Sum av aritmetisk rekke

Summen av de

n

første leddene i en aritmetisk følge er:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n \bigl(2 a_1 + (n - 1) d\bigr)}{2}$

Den første formen er nyttig når vi kjenner både $a_1$ og $a_n$ ; den andre når vi kjenner $a_1$ og $d$ .

✏️Eksempel 3: Gauss' bevis

Vis at $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ for en aritmetisk rekke.

Løsning (Gauss' trick):

Vi skriver summen forfra og bakfra:
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n$
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \ldots + a_2 + a_1$

Vi legger ligningene sammen ledd for ledd. I hver kolonne får vi $a_1 + a_n$ , $a_2 + a_{n-1}$ , og så videre. I en aritmetisk følge er hvert slikt par like stort:
$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n \quad \text{(samme sum hele veien)}$

Det gir $n$ kolonner med samme sum $a_1 + a_n$ :
$2 S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$

Altså:
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Og fra eksplisitt formel $a_n = a_1 + (n-1)d$ får vi den ekvivalente formen:
$S_n = \frac{n \bigl(2 a_1 + (n-1) d\bigr)}{2}$

✏️Eksempel 4: $1 + 2 + 3 + \ldots + n$

Vis at $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , og finn deretter $1 + 2 + \ldots + 100$ .

Løsning:

Dette er en aritmetisk rekke med $a_1 = 1$ , $d = 1$ og $a_n = n$ . Vi setter inn i formelen:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(1 + n)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

Med $n = 100$ :
$S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10\,100}{2} = 5\,050$

Dette er Gauss' berømte svar.

✏️Eksempel 5: Sparing som øker med fast beløp

Du setter inn $5\,000$ kr på en sparekonto første år, og økt med $1\,000$ kr hvert år (altså $5\,000$ , $6\,000$ , $7\,000$ , …). Hvor mye har du satt inn til sammen etter 10 år? (Vi ignorerer rente i denne oppgaven.)

Gitt:
-

a_1 = 5\,000

kr
-

d = 1\,000

kr
-

n = 10

år

Vi finner $a_{10}$ :
$a_{10} = a_1 + (n-1) d = 5\,000 + 9 \cdot 1\,000 = 14\,000 \text{ kr}$

Totalt innskudd:
$S_{10} = \frac{10 (a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10 (5\,000 + 14\,000)}{2} = \frac{10 \cdot 19\,000}{2} = 95\,000 \text{ kr}$

Du har satt inn til sammen 95 000 kr på 10 år.

Hvilken formel skal jeg bruke?

- Kjenner du $a_1$ og $a_n$ (første og siste ledd)? Bruk $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Kjenner du $a_1$ og $d$ (første ledd og differanse)? Bruk $S_n = \dfrac{n(2 a_1 + (n-1) d)}{2}$ , eller finn $a_n$ først.

✏️Eksempel 6: Lineært økende lønn

Du starter i en jobb med årslønn $480\,000$ kr og får en lønnsøkning på $24\,000$ kr hvert år. Hvor mye har du tjent til sammen etter 15 år?

Gitt:
-

a_1 = 480\,000

kr (lønn første år)
-

d = 24\,000

kr (årlig lønnsøkning)
-

n = 15

år

Lønn i år 15:
$a_{15} = 480\,000 + 14 \cdot 24\,000 = 480\,000 + 336\,000 = 816\,000 \text{ kr}$

Total lønn over 15 år:
$S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15 (480\,000 + 816\,000)}{2} = \frac{15 \cdot 1\,296\,000}{2}$
$S_{15} = \frac{19\,440\,000}{2} = 9\,720\,000 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 9,72 millioner kr på 15 år.

📝Oppgave 2

Sum av aritmetiske rekker

Finn summen $1 + 2 + 3 + \ldots + 50$ .

Finn summen $3 + 7 + 11 + 15 + \ldots$ av de første 20 leddene.

Finn summen $100 + 95 + 90 + \ldots + 5$ .

Finn summen av oddetallene fra 1 til 99 ( $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ ).

Løs oppgaven Tren

Anvendelse: Serielån

Et serielån kjennetegnes ved at avdraget per termin er konstant, mens renten reduseres etter hvert som restgjelden synker. Dette gir terminbeløp som danner en aritmetisk følge.

La $L$ være lånebeløpet, $n$ antall terminer og $r$ rente per termin. Hver termin betales:
- Avdrag: $\dfrac{L}{n}$ (konstant)
- Rente: prosent av restgjeld (synker lineært)

Fordi renten synker lineært med restgjelden, danner terminbeløpene en aritmetisk følge — og vi kan derfor summere dem effektivt.

✏️Eksempel 7: Total kostnad ved et serielån

Et serielån på $200\,000$ kr har 4 % årlig rente og skal nedbetales over 5 år med ett avdrag per år.

a) Sett opp terminbeløpene år for år.
b) Finn det totale beløpet du betaler (avdrag + renter) over de 5 årene.

Løsning:

Årlig avdrag: $\dfrac{200\,000}{5} = 40\,000$ kr.

Rente betales av restgjelden ved årsstart:

År	Restgjeld start	Rente (4 %)	Avdrag	Termin
1	200 000	8 000	40 000	48 000
2	160 000	6 400	40 000	46 400
3	120 000	4 800	40 000	44 800
4	80 000	3 200	40 000	43 200
5	40 000	1 600	40 000	41 600

Terminbeløpene

48\,000,\ 46\,400,\ 44\,800,\ 43\,200,\ 41\,600

danner en aritmetisk følge med

d = -1\,600

.
Total betaling:

S_5 = \frac{5(48\,000 + 41\,600)}{2} = \frac{5 \cdot 89\,600}{2} = 224\,000 \text{ kr}

Totale rentekostnader =

224\,000 - 200\,000 = 24\,000

kr.

Aritmetiske følger oppstår når noe endrer seg med et fast beløp per periode (lineær vekst eller nedgang).

Geometriske følger — som vi tar for oss i neste kapittel — oppstår når noe endrer seg med en fast prosent per periode (eksponentiell vekst, rentes rente).

De fleste finansmatematiske formler bygger på geometriske rekker, men aritmetiske rekker dukker opp i kontekster som serielån og lineært økende kontantstrømmer.

📝Oppgave 3

Praktiske anvendelser

En selger tjener provisjon som øker med 500 kr per måned. Første måned får hun 3 000 kr. Hva blir den totale provisjonen i løpet av et år (12 måneder)?

Et serielån på 500 000 kr har 5 % årlig rente og 10 års nedbetaling. Hva er det totale rentebeløpet du betaler? (Hint: rente i år 1 = $5\% \cdot 500\,000 = 25\,000$ . Rente i år 10 = $5\% \cdot 50\,000 = 2\,500$ .)

En entreprenør planlegger 20 like store byggetrinn. Trinn nr. 1 koster 80 000 kr, og hvert trinn øker med 5 000 kr. Hva er totalkostnaden?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

En aritmetisk følge har $a_5 = 23$ og $a_{12} = 65$ .

Finn differansen $d$ .

Finn første ledd $a_1$ .

Finn summen $S_{20}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Sum-relaterte oppgaver

Finn $n$ slik at $1 + 2 + 3 + \ldots + n = 5\,050$ .

En aritmetisk rekke har $a_1 = 4$ , $d = 3$ . For hvilken $n$ er $S_n = 209$ ?

Summen av en aritmetisk rekke med $n$ ledd er 100. Hvis $a_1 = 4$ og $a_n = 16$ , finn $n$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

En ansatt har en startlønn på $420\,000$ kr og får $18\,000$ kr i lønnsøkning hvert år.

Hva er lønnen i år 25?

Hva er den totale lønnen utbetalt i løpet av disse 25 årene?

Etter hvor mange år overstiger den årlige lønnen 1 million kr for første gang?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Aritmetiske rekker

Begrep	Formel
Aritmetisk følge	$a_{n+1} = a_n + d$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 + (n - 1) d$
Sum (med $a_n$ )	$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$
Sum (uten $a_n$ )	$S_n = \dfrac{n \bigl(2 a_1 + (n-1) d\bigr)}{2}$
Spesialtilfelle	$1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Når brukes aritmetiske rekker? Lineær vekst/nedgang per periode: serielån, lineær lønnsøkning, jevn økning i salg eller kostnader.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Aritmetisk følge: Konstant differanse $d$ mellom påfølgende ledd.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ .
- Sum av aritmetisk rekke: $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
- Anvendelse: Serielån har konstant avdrag, som gir en aritmetisk struktur.

Viktige formler

a_n = a_1 + (n - 1)d, \qquad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Aritmetisk følge	Konstant differanse $d$
Differanse	$d = a_{n+1} - a_n$
Sumformel	$S_n = n(a_1 + a_n)/2$
Serielån	Konstant avdrag per termin

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.