10.2 Aritmetiske rekker

Når noe øker med fast beløp

Se for deg at du starter i en ny jobb, og sjefen lover deg $24\,000$ kr i lønnsøkning hvert eneste år. Lønnen din danner da en helt spesiell tallfølge: den vokser med nøyaktig samme beløp år etter år. Slike følger kaller vi aritmetiske, og de dukker opp overalt der noe endrer seg med et fast beløp per periode -- lineært stigende lønn, faste avdrag på et serielån, eller jevnt økende månedlige innskudd.

En følge er aritmetisk når differansen mellom to nabolledd alltid er den samme: $a_{n+1} - a_n = d$ for alle $n$. Tallet $d$ kalles differansen, og den rekursive formelen er ganske enkelt $a_{n+1} = a_n + d$. Følgen $3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ er aritmetisk med $a_1 = 3$ og $d = 4$, fordi vi legger til $4$ for hvert skritt.

Det vakre er at vi slipper å regne oss fram ledd for ledd. Siden vi tar $n-1$ skritt på $d$ fra $a_1$ til $a_n$, får vi en eksplisitt formel: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Vil du vite det femtiende leddet i en følge med $a_1 = 5$ og $d = 3$, regner du bare $a_{50} = 5 + 49\cdot 3 = 5 + 147 = 152$. Og kjenner du to ledd, kan du finne $d$: er $a_3 = 14$ og $a_8 = 39$, er forskjellen $5d = 25$, altså $d = 5$, og dermed $a_1 = 14 - 2\cdot 5 = 4$.

Gauss' triks: å summere bakvendt

Det finnes en berømt historie om den unge Carl Friedrich Gauss. Læreren ba klassen summere alle tall fra $1$ til $100$, antakelig for å få litt arbeidsro. Mens de andre la sammen tall etter tall, leverte Gauss svaret nesten med en gang: $5050$. Hva var trikset hans?

La $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ være summen av de $n$ første leddene -- en aritmetisk rekke. Gauss skrev summen to ganger, én gang forfra og én gang bakfra, og la dem sammen ledd for ledd. I hver kolonne fikk han da $a_1 + a_n$, og fordi følgen er aritmetisk, er denne kolonnesummen den samme hele veien. Med $n$ like kolonner blir $2S_n = n(a_1 + a_n)$, og dermed $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Setter vi inn den eksplisitte formelen, får vi den likeverdige formen $\displaystyle S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$.

For Gauss' egen oppgave er $a_1 = 1$, $a_n = 100$ og $n = 100$, så $\displaystyle S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{10\,100}{2} = 5050$. Tenk hvor mye dette betyr i økonomi. Sparer du $5\,000$ kr første år og øker innskuddet med $1\,000$ kr årlig, har du etter $10$ år satt inn $a_{10} = 5\,000 + 9\cdot 1\,000 = 14\,000$ kr det siste året, og totalt $\displaystyle S_{10} = \frac{10(5\,000 + 14\,000)}{2} = 95\,000$ kr -- regnet ut på sekunder.

Aritmetikk i lommeboka: serielån og lønn

Nå skal vi se kraften i sumformelen i to praktiske situasjoner. Først lønnsutviklingen fra innledningen. Starter du på $480\,000$ kr og får $24\,000$ kr mer hvert år, tjener du i år $15$ akkurat $a_{15} = 480\,000 + 14\cdot 24\,000 = 816\,000$ kr. Den samlede lønnen over $15$ år blir $\displaystyle S_{15} = \frac{15(480\,000 + 816\,000)}{2} = \frac{15\cdot 1\,296\,000}{2} = 9\,720\,000$ kr -- nesten ni og en halv million, regnet ut i én linje.

Et enda finere eksempel er serielånet. Her er avdraget per termin konstant, mens renten betales av restgjelden -- som synker jevnt etter hvert som du nedbetaler. Derfor synker terminbeløpene lineært, og de danner en aritmetisk følge vi kan summere. Ta et serielån på $200\,000$ kr med $4\,\%$ rente over $5$ år. Avdraget er $\displaystyle \frac{200\,000}{5} = 40\,000$ kr i året. Første år betaler du $40\,000$ avdrag pluss $4\,\%$ av $200\,000 = 8\,000$ kr i rente, altså $48\,000$ kr. Året etter er restgjelden $160\,000$ kr, så renten faller til $6\,400$ kr, og terminen blir $46\,400$ kr. Slik fortsetter det: $48\,000,\ 46\,400,\ 44\,800,\ 43\,200,\ 41\,600$ -- en aritmetisk følge med $d = -1\,600$.

Total betaling blir $\displaystyle S_5 = \frac{5(48\,000 + 41\,600)}{2} = \frac{5\cdot 89\,600}{2} = 224\,000$ kr, og siden du lånte $200\,000$ kr, har du betalt $24\,000$ kr i renter. Det er verdt å merke seg forskjellen fra neste kapittel: aritmetiske følger handler om endring med et fast beløp, mens geometriske følger handler om endring med en fast prosent.

Oppsummering

En aritmetisk følge er en tallfølge der differansen mellom nabolledd alltid er den samme: $a_{n+1} - a_n = d$. Den eksplisitte formelen $a_n = a_1 + (n-1)d$ lar oss hoppe rett til et hvilket som helst ledd, og kjenner vi to ledd, kan vi alltid regne oss tilbake til $a_1$ og $d$.

Summerer vi de $n$ første leddene, får vi en aritmetisk rekke, og takket være Gauss' triks med å legge summen forlengs og baklengs er $\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, som også kan skrives $\displaystyle S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$. Dette gjør det lett å regne ut samlet lønn, total provisjon eller totalkostnaden i et serielån -- der konstant avdrag og lineært synkende rente gir nettopp aritmetiske terminbeløp. Husk hovedskillet: aritmetiske følger beskriver endring med fast beløp, mens de geometriske følgene i neste kapittel beskriver endring med fast prosent.