10.3 Geometriske rekker | Matematikk for økonomer

Geometrisk følge $a_n = a_1 k^{n-1}$ og sum $S_n = a_1\frac{k^n-1}{k-1}$, med sluttverdi av annuitet som anvendelse.

50 min

16 oppgaver

Geometrisk følgeKvotientGeometrisk rekkeSluttverdi av annuitetEksponentiell vekst

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.2Aritmetiske rekker

Brukes videre i

10.4Uendelige rekker og perpetuiteter

Geometriske rekker

Mens aritmetiske følger beskriver vekst som tilfører et fast beløp per periode, beskriver geometriske følger vekst som ganger med en fast faktor per periode — det vi gjerne kaller eksponentiell vekst.

Geometriske følger og rekker er bærebjelken i finansmatematikk. Hver gang vi snakker om rentes rente, sluttverdi av faste innskudd, nåverdi av annuiteter eller eksponentielt voksende salg, ligger en geometrisk rekke i bunnen.

Geometrisk følge

\{a_n\}

✏️Eksempel 1: Geometrisk følge

En geometrisk følge har $a_1 = 5$ og $k = 1{,}1$ .

a) Skriv opp de fem første leddene.
b) Finn $a_{10}$ .

Løsning:

a) Hvert ledd er det forrige multiplisert med $1{,}1$ :
$a_1 = 5$
$a_2 = 5 \cdot 1{,}1 = 5{,}5$
$a_3 = 5{,}5 \cdot 1{,}1 = 6{,}05$
$a_4 \approx 6{,}655$
$a_5 \approx 7{,}321$

b) Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
$a_{10} = 5 \cdot 1{,}1^9 = 5 \cdot 2{,}3579 \approx 11{,}79$

✏️Eksempel 2: Bestemme $a_1$ og $k$

I en geometrisk følge er $a_3 = 18$ og $a_6 = 486$ . Finn $a_1$ og $k$ .

Løsning:

Fra $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ :
$a_3 = a_1 \cdot k^2 = 18$
$a_6 = a_1 \cdot k^5 = 486$

Vi deler den andre på den første:
$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 k^5}{a_1 k^2} = k^3 = \frac{486}{18} = 27$

Så $k = \sqrt[3]{27} = 3$ .

Innsatt: $a_1 \cdot 9 = 18 \Rightarrow a_1 = 2$ .

Følgen er $2, 6, 18, 54, 162, 486, \ldots$

📝Oppgave 1

Geometriske følger

a_1 = 4

k = 2

. Finn

a_{10}

a_1 = 100

k = 0{,}5

. Finn

a_8

a_1 = 1\,000

k = 1{,}05

. Finn

a_5

(rund til to desimaler).

I en geometrisk følge er $a_2 = 12$ og $a_5 = 96$ . Finn $k$ .

Løs oppgaven Tren

Sum av endelig geometrisk rekke

Summen $S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1}$ av de $n$ første leddene i en geometrisk følge kan beregnes med en elegant formel. Trikset er å se på $S_n - k \cdot S_n$ .

📜Sum av endelig geometrisk rekke

For

k \neq 1

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}$

De to formene er likeverdige; bruk gjerne den øverste når $k > 1$ (telleren blir positiv), og den nederste når $k < 1$ .

Spesialtilfelle: For $k = 1$ er alle leddene like, så $S_n = n \cdot a_1$ .

✏️Eksempel 3: Bevis

Vis at $S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1}$ for en geometrisk rekke (med $k \neq 1$ ).

Løsning:

Vi skriver opp summen og multipliserer den med $k$ :

$S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1}$
$k \cdot S_n = \phantom{a_1 +\ } a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1} + a_1 k^n$

Vi trekker den øvre fra den nedre. Alle de mellomliggende leddene kanselleres:

$k S_n - S_n = a_1 k^n - a_1$
$S_n (k - 1) = a_1 (k^n - 1)$

Dersom $k \neq 1$ , kan vi dele med $k - 1$ :

$S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$

✏️Eksempel 4: Doblende ledd

En sjakk-legende: kornet på første rute er 1, andre er 2, tredje er 4, og så videre, alltid det dobbelte. Hvor mange korn er det på rutene 1 til 10 til sammen?

Løsning:

Antall korn på rute $n$ er $a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$ — en geometrisk følge med $a_1 = 1$ og $k = 2$ .

Summen av de 10 første rutene:
$S_{10} = a_1 \cdot \frac{k^{10} - 1}{k - 1} = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1\,023$

Det er 1 023 korn på de 10 første rutene.

✏️Eksempel 5: Sluttverdi av like årlige innskudd

Du setter inn 10 000 kr på en sparekonto ved slutten av hvert år i 8 år. Renten er 5 % per år. Hvor mye har du etter det åttende innskuddet?

Løsning:

Vi følger pengene. Et innskudd på $A = 10\,000$ kr satt inn ved slutten av år $j$ (hvor $j = 1, 2, \ldots, 8$ ) tjener rente i $8 - j$ år, og er ved slutten av år 8 verdt:

$A \cdot 1{,}05^{8-j}$

Sluttverdien blir summen av alle 8 innskuddene:
$FV = A \cdot 1{,}05^7 + A \cdot 1{,}05^6 + \ldots + A \cdot 1{,}05^0$

Dette er en geometrisk rekke med $a_1 = A \cdot 1$ , $k = 1{,}05$ og $n = 8$ ledd (men i omvendt rekkefølge — summen er den samme):

$FV = A \cdot \frac{1{,}05^8 - 1}{1{,}05 - 1} = 10\,000 \cdot \frac{1{,}4775 - 1}{0{,}05}$
$FV = 10\,000 \cdot \frac{0{,}4775}{0{,}05} = 10\,000 \cdot 9{,}549 \approx 95\,491 \text{ kr}$

Du har innskutt totalt $80\,000$ kr, men sitter igjen med ca. 95 491 kr takket være rentes rente.

Resultatet i eksempel 5 er nettopp sluttverdiformelen for ordinær annuitet fra kapittel 4.3:

$FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$

Skriver vi $k = 1 + r$ , blir nevneren $k - 1 = r$ , og formelen er identisk med geometrisk sumformel. Hele finansmatematikken bygger altså på geometriske rekker.

📝Oppgave 2

Sum av geometrisk rekke

Finn $S_8$ for følgen $3, 6, 12, 24, \ldots$

Finn $1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 3^{10}$ (11 ledd).

Finn $S_6$ for $a_n = 100 \cdot 0{,}5^{n-1}$ (rund til to desimaler).

Finn $S_{12}$ når $a_1 = 200$ og $k = 1{,}1$ (rund til hele kroner).

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6: Pensjonssparing

Du setter inn 24 000 kr i året på en pensjonskonto i 30 år. Renten er 6 % per år. Hvor mye har du ved pensjon? (Innskudd ved slutten av hvert år.)

Gitt:
-

A = 24\,000

kr/år
-

r = 0{,}06

n = 30

år

Løsning:
$FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r} = 24\,000 \cdot \frac{1{,}06^{30} - 1}{0{,}06}$

Vi har $1{,}06^{30} \approx 5{,}7435$ , så:

$FV = 24\,000 \cdot \frac{4{,}7435}{0{,}06} = 24\,000 \cdot 79{,}058 \approx 1\,897\,400 \text{ kr}$

Du har spart inn totalt $30 \cdot 24\,000 = 720\,000$ kr, men sitter med ca. 1,9 millioner kr — rentes rente har mer enn doblet pengene dine.

✏️Eksempel 7: Eksponentielt voksende salg

En oppstartsbedrift selger 50 enheter den første måneden, og salget vokser med 8 % per måned. Hvor mange enheter har bedriften solgt til sammen etter 24 måneder?

Gitt:
-

a_1 = 50

enheter
-

k = 1{,}08

n = 24

måneder

Sum av geometrisk rekke:
$S_{24} = a_1 \cdot \frac{k^{24} - 1}{k - 1} = 50 \cdot \frac{1{,}08^{24} - 1}{0{,}08}$

Vi har $1{,}08^{24} \approx 6{,}3412$ , så:

$S_{24} = 50 \cdot \frac{5{,}3412}{0{,}08} = 50 \cdot 66{,}765 \approx 3\,338 \text{ enheter}$

Bedriften har solgt ca. 3 338 enheter totalt på 24 måneder.

Når $|k| < 1$ : Leddene synker mot null. Sumformelen er fortsatt gyldig, men det er ofte enklere å bruke formen

S_n = a_1 \cdot \tfrac{1 - k^n}{1 - k}

for å unngå negative tall i teller og nevner.

Når $k > 1$ : Leddene vokser. Bruk $S_n = a_1 \cdot \tfrac{k^n - 1}{k - 1}$ — begge ledd er positive.

📝Oppgave 3

Sluttverdi av annuitet (geometrisk rekke)

Du sparer 8 000 kr/år i 20 år til 4 % rente. Hva er sluttverdien? Rund til hele kroner.

Du sparer 3 000 kr/år i 15 år til 6 % rente. Hva er sluttverdien? Rund til hele kroner.

Hvor mange år må du spare 12 000 kr/år til 5 % rente for å nå minst 200 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Eksponentiell vekst

En bedrift har 80 ansatte og forventer 12 % vekst i antallet hvert år. Hvor mange ansatte etter 5 år?

En by har 50 000 innbyggere og en vekstrate på 2,5 % per år. Hvor stor er befolkningen om 20 år?

En investering på 100 000 kr dobles hvert 7. år. Hvor mye er den verdt etter 35 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Spareplaner

En forelder setter inn 15 000 kr på en barnespareskonto ved fødselen og hvert år frem til barnet fyller 18 (totalt 19 innskudd). Renten er 4 % per år. Hvor mye står på kontoen rett etter siste innskudd?

Hvor mye må man spare per år i 25 år til 5 % rente for å nå 1 000 000 kr?

Med en startkapital på 200 000 kr og 7 % årlig avkastning, hvor mange år tar det før beløpet passerer 1 000 000 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Bestemmelse av $k$ og $a_1$

I en geometrisk følge er $a_2 = 6$ og $a_5 = 162$ . Finn $k$ .

Med data fra a), finn $a_1$ og $S_6$ .

En geometrisk følge har $a_1 = 8$ og $S_4 = 80$ . Finn $k$ (positiv kvotient, ikke lik 1). Rund svaret til to desimaler.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Annuiteter og geometriske rekker

En annuitet utbetaler 50 000 kr/år i 20 år. Hvis avkastningskravet er 7 %, hva er nåverdien? Bruk $PV = A \cdot \tfrac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$ .

Sluttverdien av annuiteten ovenfor (etter 20 år, ingen videre rentes rente fra utbetalingstidspunkt) er $50\,000 \cdot \tfrac{1{,}07^{20} - 1}{0{,}07}$ . Regn ut.

Vis at $PV \cdot (1+r)^n = FV$ for tallene i a) og b).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Investeringer og dobling

Hvor lang tid tar det å doble pengene ved 6 % årlig avkastning? Bruk $1{,}06^n = 2$ og logaritmer.

"Regelen om 72": dobling i $n \approx \tfrac{72}{r \cdot 100}$ år. Sammenlign med a) ved $r = 0{,}06$ .

En investor har 500 000 kr og forventer 9 % årlig avkastning i 25 år. Hva blir den endelige verdien?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Geometriske rekker

Begrep	Formel
Geometrisk følge	$a_{n+1} = k \cdot a_n$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$
Sum (endelig, $k \neq 1$ )	$S_n = a_1 \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} = a_1 \cdot \dfrac{1 - k^n}{1 - k}$
Sum ved $k = 1$	$S_n = n \cdot a_1$
Sluttverdi (annuitet)	$FV = A \cdot \dfrac{(1 + r)^n - 1}{r}$
Nåverdi (annuitet)	$PV = A \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}$

Når brukes geometriske rekker? Eksponentiell vekst eller nedgang: sparing med rentes rente, annuiteter, befolkningsvekst, prisstigning.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Geometrisk følge: Konstant forhold $k$ mellom påfølgende ledd.
- Eksplisitt formel: $a_n = a_1 \cdot k^{n-1}$ .
- Sum av endelig geometrisk rekke: Gitt ved en lukket formel for $k \neq 1$ .
- Anvendelse: Geometriske rekker beskriver rentes-rente og sparing.

Viktige formler

a_n = a_1 \cdot k^{n-1}, \qquad S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1} \;\;(k \neq 1)

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Geometrisk følge	Konstant forhold $k$
Kvotient	$k = a_{n+1}/a_n$
Eksplisitt formel	$a_n = a_1 k^{n-1}$
Sumformel	$S_n = a_1(k^n - 1)/(k - 1)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.