10.4 Uendelige rekker og perpetuiteter | Matematikk for økonomer

Uendelig geometrisk rekke $\sum a_1 k^n = \tfrac{a_1}{1-k}$, perpetuitet $\tfrac{C}{r}$, Gordons formel og multiplikatoreffekten.

55 min

16 oppgaver

Uendelig rekkeKonvergensPerpetuitetGordons formelMultiplikatoreffektenAksjeprising

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

10.3Geometriske rekker 4.3Annuiteter

Uendelige rekker

Kan en sum av uendelig mange tall være endelig? Intuitivt høres det rart ut, men svaret er ja — under visse betingelser. Når vi summerer leddene i en geometrisk følge der leddene blir mindre og mindre raskt nok, så stabiliserer summen seg på en bestemt verdi.

Dette er grunnlaget for perpetuiteter — evigvarende kontantstrømmer — som er et fundamentalt verktøy i finansmatematikk og verdsettelse av aksjer.

Uendelig rekke

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots

✏️Eksempel 1: En konvergerende rekke

Undersøk rekken $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots$

Løsning:

Dette er en geometrisk rekke med $a_1 = \tfrac{1}{2}$ og $k = \tfrac{1}{2}$ . Partialsummene er:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Når $n \to \infty$ , går $(1/2)^n \to 0$ , så:

$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$

Rekken konvergerer og har sum 1.

Vi kan tenke geometrisk: bilde et kvadrat med areal 1. Først tar vi halvparten ( $\tfrac{1}{2}$ ), så halvparten av resten ( $\tfrac{1}{4}$ ), og så videre. Til slutt fyller vi opp hele kvadratet — total sum er 1.

Når konvergerer en geometrisk rekke?

For en uendelig geometrisk rekke $\sum_{n=1}^\infty a_1 k^{n-1}$ vet vi at

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k} \quad (k \neq 1)$

Når $n \to \infty$ avgjøres atferden av $k^n$ :

- Hvis $|k| < 1$ : $k^n \to 0$ , så $S_n \to \dfrac{a_1}{1 - k}$ — rekken konvergerer.
- Hvis $|k| > 1$ : $|k^n| \to \infty$ , så rekken divergerer.
- Hvis $k = 1$ : alle ledd er like, $S_n = n \cdot a_1 \to \pm \infty$ — divergerer.
- Hvis $k = -1$ : $S_n$ oscillerer mellom 0 og $a_1$ — divergerer.

📜Sum av uendelig geometrisk rekke

For

|k| < 1

konvergerer den uendelige geometriske rekken, og summen er:

$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_1 k^{n-1} = \frac{a_1}{1 - k}$

Konvergens-betingelse: $|k| < 1$ er strengt nødvendig for at rekken skal konvergere.

✏️Eksempel 2: Uendelig sum

Finn summen av den uendelige rekken:

a) $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \ldots$

b) $4 - 2 + 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \ldots$

Løsning:

a) Geometrisk rekke med $a_1 = 1$ og $k = \tfrac{1}{3}$ . Siden $|k| < 1$ , konvergerer rekken:
$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$

b) Geometrisk rekke med $a_1 = 4$ og $k = -\tfrac{1}{2}$ . Siden $|k| = \tfrac{1}{2} < 1$ , konvergerer rekken:
$S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{4}{1 - (-1/2)} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667$

✏️Eksempel 3: Divergerende rekker

Undersøk om rekkene konvergerer:

a) $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ldots$

b) $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots$

Løsning:

a) Geometrisk med $a_1 = 1$ , $k = 2$ . Siden $|k| = 2 > 1$ , divergerer rekken. Partialsummene $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$ vokser uten grense.

b) Geometrisk med $a_1 = 1$ , $k = -1$ . Partialsummene oscillerer: $S_1 = 1$ , $S_2 = 0$ , $S_3 = 1$ , $S_4 = 0$ , … Rekken divergerer.

Merk at den intuitive ideen "summen kunne være $\tfrac{1}{2}$ " (et gjennomsnitt) er en variant kalt Cesàro-sum, men i den vanlige betydningen divergerer rekken.

Konvergens-betingelsen er kritisk

Sumformelen $S = \dfrac{a_1}{1 - k}$ er kun gyldig for $|k| < 1$ .

Bruk aldri formelen på $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots$ for å "vise" at summen er $\tfrac{1}{1 - 2} = -1$ — det er meningsløst, fordi formelen ikke gjelder her. Rekken divergerer.

I økonomi: hvis vekstraten $g$ overstiger avkastningskravet $r$ i Gordons formel, kollapser modellen og vi får uendelig nåverdi (urealistisk).

📝Oppgave 1

Sum av uendelig geometrisk rekke

1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots

5 + 1 + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{25} + \ldots

10 - 2 + 0{,}4 - 0{,}08 + \ldots

3 + \tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{3}{64} + \ldots

Løs oppgaven Tren

Perpetuitet — evigvarende annuitet

En perpetuitet er en kontantstrøm der man mottar et fast beløp $C$ ved slutten av hver periode i all evighet. Selv om dette høres uoppnåelig ut, brukes perpetuiteter ofte til å modellere:

- Aksjeutbytte (under antakelse av konstante utbytter)
- Statsobligasjoner uten forfallsdato (såkalte "consols")
- Verdsettelse av selskaper som forventes å eksistere svært lenge
- Stipender som utbetales årlig fra en evig fondsbeholdning

✏️Eksempel 4: Utledning av perpetuitetsformelen

En perpetuitet utbetaler $C$ kroner ved slutten av hvert år i evighet. Avkastningskravet er $r > 0$ . Vis at nåverdien er $NV = \dfrac{C}{r}$ .

Løsning:

Nåverdien er summen av nåverdiene av alle de fremtidige utbetalingene:

$NV = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{(1 + r)^2} + \frac{C}{(1 + r)^3} + \ldots$

Dette er en uendelig geometrisk rekke med:
- Første ledd: $a_1 = \dfrac{C}{1 + r}$
- Kvotient: $k = \dfrac{1}{1 + r}$

Siden $r > 0$ er $0 < k < 1$ , og rekken konvergerer. Vi får:

$NV = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{1 - \tfrac{1}{1 + r}} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{\tfrac{(1+r) - 1}{1 + r}} = \frac{\tfrac{C}{1 + r}}{\tfrac{r}{1 + r}}$

$NV = \frac{C}{1 + r} \cdot \frac{1 + r}{r} = \frac{C}{r}$

Dette er den berømte perpetuitetsformelen.

📜Nåverdi av perpetuitet

Nåverdien av en perpetuitet som utbetaler

C

ved slutten av hver periode i all evighet, med avkastningskrav

r

per periode:

$NV = \frac{C}{r}$

Forutsetninger: $r > 0$ (positiv avkastning), og utbetalingen $C$ er konstant.

✏️Eksempel 5: Aksjeprising med utbytte

En aksje betaler 8 kr i årlig utbytte og forventes å gjøre det i overskuelig framtid. Investorer krever 10 % avkastning. Hva er en rimelig pris på aksjen?

Løsning:

Vi modellerer utbyttene som en perpetuitet med $C = 8$ kr/år og $r = 0{,}10$ :

$NV = \frac{C}{r} = \frac{8}{0{,}10} = 80 \text{ kr}$

En rimelig pris er 80 kr per aksje.

Generelt: en aksje med høyere utbytte og lavere avkastningskrav er mer verdt.

✏️Eksempel 6: Etablering av et evig stipend

Et legat ønsker å dele ut 100 000 kr i året til en student i all evighet. Hvis fondet kan investere pengene til 4 % årlig avkastning, hvor mye må legatkapitalen være?

Løsning:

Vi løser formelen $NV = \tfrac{C}{r}$ for $NV$ :

$NV = \frac{100\,000}{0{,}04} = 2\,500\,000 \text{ kr}$

Legatet trenger en startkapital på 2 500 000 kr for å kunne dele ut 100 000 kr årlig i all evighet.

Intuisjonen: fondet tjener $0{,}04 \cdot 2\,500\,000 = 100\,000$ kr i renter hvert år, og deler ut nettopp dette beløpet. Kapitalen forblir intakt for alltid.

📝Oppgave 2

Perpetuiteter

En aksje betaler 12 kr/år i utbytte. Avkastningskrav 8 %. Hva er aksjeprisen?

Et fond skal dele ut 50 000 kr/år i evighet. Avkastning 3 %. Hvor mye må fondet ha?

En perpetuitet har nåverdi 800 000 kr ved 5 % avkastningskrav. Hva er det årlige beløpet?

Hvis avkastningskravet i b) faller fra 3 % til 2 %, hvor stor blir fondsstørrelsen?

Løs oppgaven Tren

Voksende perpetuitet — Gordons formel

I virkeligheten vokser ofte utbytter, lønn og kontantstrømmer over tid. Vi kan utvide perpetuitetsformelen til tilfellet der betalingen vokser med en konstant vekstrate $g$ per periode:

$C_1, \quad C_1 (1+g), \quad C_1 (1+g)^2, \quad \ldots$

Dette gir nåverdien som en uendelig geometrisk rekke. Resultatet — Gordons formel — er fundamental i aksjeprising og virksomhetsverdsettelse.

📜Gordons formel (voksende perpetuitet)

Hvis en perpetuitet starter med utbetaling

C_1

ved slutten av periode 1, og deretter vokser med rate

g

per periode, og avkastningskravet er

r

med

r > g

$NV = \frac{C_1}{r - g}$

Forutsetninger: $r > g \geq 0$ (avkastningskravet må være større enn vekstraten — ellers divergerer rekken og modellen kollapser).

✏️Eksempel 7: Utledning av Gordons formel

Vis at nåverdien av en voksende perpetuitet med utbetaling $C_1$ i periode 1, vekstrate $g$ og avkastningskrav $r > g$ er $NV = \dfrac{C_1}{r - g}$ .

Løsning:

Nåverdien er:
$NV = \frac{C_1}{1 + r} + \frac{C_1 (1+g)}{(1 + r)^2} + \frac{C_1 (1+g)^2}{(1 + r)^3} + \ldots$

Dette er en geometrisk rekke med:
- $a_1 = \dfrac{C_1}{1 + r}$
- $k = \dfrac{1 + g}{1 + r}$

Fordi $r > g$ , er $1 + r > 1 + g > 0$ , så $0 \leq k < 1$ og rekken konvergerer:

$NV = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{1 - \tfrac{1+g}{1+r}} = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{\tfrac{(1+r) - (1+g)}{1+r}}$

$NV = \frac{\tfrac{C_1}{1+r}}{\tfrac{r - g}{1+r}} = \frac{C_1}{1 + r} \cdot \frac{1 + r}{r - g} = \frac{C_1}{r - g}$

Dette er Gordons formel (også kalt Gordon Growth Model).

✏️Eksempel 8: Aksjeprising med voksende utbytte

En aksje betaler 5 kr i utbytte neste år. Utbyttene forventes å vokse med 3 % per år. Hvis avkastningskravet er 9 %, hva er aksjens verdi i dag?

Løsning:

Gordons formel med $C_1 = 5$ , $g = 0{,}03$ , $r = 0{,}09$ :

$NV = \frac{C_1}{r - g} = \frac{5}{0{,}09 - 0{,}03} = \frac{5}{0{,}06} \approx 83{,}33 \text{ kr}$

Aksjens verdi er ca. 83,33 kr.

Sammenligning: Hvis utbyttet ikke hadde vokst ( $g = 0$ ), ville prisen vært $\tfrac{5}{0{,}09} \approx 55{,}56$ kr. Vekstforventningene øker dermed prisen med ca. 28 kr.

Når Gordons formel bryter sammen

Hvis vekstraten $g$ nærmer seg avkastningskravet $r$ , eksploderer nåverdien:

- $g = 0{,}05$ , $r = 0{,}06 \Rightarrow NV = \tfrac{C_1}{0{,}01}$ — 100 ganger $C_1$
- $g = 0{,}059$ , $r = 0{,}06 \Rightarrow NV = \tfrac{C_1}{0{,}001}$ — 1 000 ganger $C_1$
- $g \geq r$ : rekken divergerer — nåverdien blir uendelig

Dette er urealistisk. Ingen reell virksomhet kan vokse fortere enn økonomiens avkastningskrav i evighet. Gordons formel forutsetter $r > g$ strengt — og i praksis bør $g$ ligge nær langsiktig BNP-vekst (2–3 %).

📝Oppgave 3

Gordons formel

En aksje betaler 4 kr i utbytte neste år. Utbyttet vokser med 2 % per år. Avkastningskrav 7 %. Hva er aksjeprisen?

En aksje koster 200 kr og betaler 10 kr i utbytte neste år. Utbyttet vokser med 3 %. Hva er implisitt avkastningskrav?

Selskap A betaler 6 kr utbytte neste år, vekst 4 %, $r = 10\%$ . Selskap B betaler 8 kr utbytte neste år, vekst 1 %, $r = 10\%$ . Hvilket er mest verdt?

Et fond utbetaler 200 000 kr i år 1 og øker beløpet med 2,5 % per år. Avkastning 5 %. Hva må startkapitalen være?

Løs oppgaven Tren

Multiplikatoreffekten i makroøkonomi

Uendelige geometriske rekker dukker også opp i makroøkonomi gjennom multiplikatoreffekten. Anta at en husholdning får 1 000 kr ekstra inntekt. Av dette bruker de en andel $c$ (konsumtilbøyeligheten) på forbruk. Disse pengene blir andres inntekt, som igjen forbruker $c$ av sin inntekt, og så videre.

Den totale økonomiske effekten av den initielle impulsen blir en uendelig geometrisk rekke:

$\text{Total effekt} = 1\,000 + 1\,000 c + 1\,000 c^2 + 1\,000 c^3 + \ldots = \frac{1\,000}{1 - c}$

Faktoren $\tfrac{1}{1 - c}$ kalles multiplikatoren. Den forteller hvor mange ganger den initielle impulsen forsterker den samlede økonomiske aktiviteten.

📜Keynesiansk multiplikator

Hvis konsumtilbøyeligheten er

c

med

0 < c < 1

, blir den samlede økning i etterspørselen som følge av en initial impuls

\Delta Y_0

$\Delta Y_{tot} = \Delta Y_0 \cdot \frac{1}{1 - c}$

Faktoren $\dfrac{1}{1 - c}$ er multiplikatoren. Jo høyere $c$ , jo større multiplikatoreffekt.

✏️Eksempel 9: Statlig krisepakke

Staten bevilger 10 milliarder kr til offentlige byggeprosjekter under en lavkonjunktur. Husholdningene har en konsumtilbøyelighet på $c = 0{,}75$ (de bruker 75 % av enhver tilleggsinntekt). Hva blir den samlede økningen i BNP, gitt at multiplikatormodellen er gyldig?

Løsning:

Multiplikatoren:
$\frac{1}{1 - c} = \frac{1}{1 - 0{,}75} = \frac{1}{0{,}25} = 4$

Samlet økning i BNP:
$\Delta Y_{tot} = 10 \text{ mrd kr} \cdot 4 = 40 \text{ mrd kr}$

De 10 milliardene fra staten utløser totalt 40 milliarder kr i økt etterspørsel. Denne forsterkningseffekten er et hovedargument bak finanspolitiske krisepakker.

Sjekkregning ved direkte sum:
$10 + 10 \cdot 0{,}75 + 10 \cdot 0{,}75^2 + \ldots = \frac{10}{1 - 0{,}75} = 40$

Stemmer.

- Verdsettelse av selskaper (DCF): Terminalverdien etter en eksplisitt prognoseperiode beregnes ofte som en perpetuitet, eventuelt voksende.
- Pensjonsforpliktelser: Foretak må føre verdien av evigvarende pensjonsutbetalinger i regnskapet.
- Aksjeobligasjoner og preferanseaksjer: Mange utstedes med fast årlig kupong i evighet.
- Pengemultiplikatoren: Banksystemet skaper penger gjennom en lignende uendelig geometrisk prosess basert på reservekrav.
- Bygnings-/maskinvedlikehold: Nåverdien av evige periodiske vedlikeholdskostnader.

📝Oppgave 4

Multiplikatoreffekt

Hvis $c = 0{,}8$ , hva er multiplikatoren?

Staten investerer 5 mrd kr og $c = 0{,}9$ . Hva er total BNP-effekt (mrd kr)?

En multiplikator på 2,5 — hvilken konsumtilbøyelighet svarer det til?

Hvis en del av forbruket går til import (lekkasje), reduseres effekten. Hva blir multiplikatoren hvis $c = 0{,}7$ men 20 % av forbruket går til import (effektiv $c_{eff} = 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}56$ )?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Konvergens og sum

Konvergerer rekken $1 + 1{,}1 + 1{,}1^2 + \ldots$ ? Hvis ja, finn summen.

Finn summen av $0{,}9 + 0{,}81 + 0{,}729 + \ldots$

2 + 2 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}25^2 + \ldots

1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8} + \ldots + \tfrac{1}{2^n} + \ldots

. Hva er den uendelige summen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Aksjeprising

En aksje betalte 4 kr i utbytte i år. Forventet vekst 5 %, avkastningskrav 9 %. Hva er aksjens verdi i dag? (Hint: $C_1 = 4 \cdot 1{,}05$ .)

En aksje koster 60 kr og forventes å gi 4,80 kr i utbytte neste år. Avkastningskravet er 12 %. Hva er implisitt vekstrate?

En investor krever 10 % avkastning. Selskap X forventer å betale 3 kr neste år, deretter vokse 3 % per år i all evighet. Selskap Y forventer 6 kr neste år uten vekst. Hvilket er mest verdt og hvor mye?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Praktiske perpetuiteter

En stor universitetsfondsavdeling ønsker å finansiere et professorat som koster 1,5 millioner kr per år for alltid. Renten på fondets investeringer er 3,5 %. Hvor mye må doneres?

Hvis fondet i a) klarer å oppnå 5 % avkastning isteden, hvor mye må doneres?

Et selskap har en evigvarende lisensinntekt på 80 000 kr/år. Lisensinntekten forventes å vokse med 1 % per år (med inflasjon). Avkastningskrav 6 %. Hvilken pris er rimelig for lisensrettighetene?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Multiplikator og rekker

Vis at multiplikatoren $\tfrac{1}{1-c}$ kan utledes direkte fra geometrisk sumformel.

En statlig investering på 8 mrd kr har multiplikator 3. Hva er konsumtilbøyeligheten?

Hvis 25 % av økt inntekt går til skatt, og av resten brukes 80 % på forbruk, hva er effektiv konsumtilbøyelighet og multiplikator?

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Uendelige rekker og perpetuiteter

Begrep	Formel / Forutsetning
Uendelig geometrisk rekke	$\sum\limits_{n=1}^\infty a_1 k^{n-1}$
Konvergens-betingelse	$\|k\| < 1$
Sum (når $\|k\| < 1$ )	$S = \dfrac{a_1}{1 - k}$
Perpetuitet	$NV = \dfrac{C}{r}$ (krever $r > 0$ )
Voksende perpetuitet (Gordon)	$NV = \dfrac{C_1}{r - g}$ (krever $r > g$ )
Multiplikatoreffekten	$\Delta Y_{tot} = \Delta Y_0 \cdot \dfrac{1}{1 - c}$

Sentralt poeng: Alle disse formlene følger fra én enkelt sumformel for uendelig geometrisk rekke —

S = \tfrac{a_1}{1-k}

. Hele finansmatematikk og store deler av makroøkonomi bygger på denne ene formelen.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Uendelig geometrisk rekke: Konvergerer når $|k| < 1$ , med sum $\displaystyle \frac{a_1}{1 - k}$ .
- Perpetuitet: Evigvarende kontantstrøm med nåverdi $\displaystyle \frac{C}{r}$ .
- Voksende perpetuitet: Gordons formel når kontantstrømmen vokser med rate $g$ .
- Multiplikatoreffekten: Uendelige rekker forklarer ringvirkninger i makroøkonomi.

Viktige formler

S = \frac{a_1}{1 - k} \;\;(|k| < 1), \qquad NV = \frac{C}{r}

NV = \frac{C_1}{r - g} \;\;(r > g)

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Uendelig geometrisk rekke	Konvergerer for $\|k\| < 1$
Perpetuitet	Evigvarende kontantstrøm
Gordons formel	Voksende perpetuitet
Multiplikatoreffekt	Ringvirkninger i makroøkonomi

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.