10.4 Uendelige rekker og perpetuiteter

Kan en uendelig sum være endelig?

Det høres umulig ut: hvordan kan du legge sammen uendelig mange tall og likevel ende på et endelig svar? Men svaret er ja -- under én bestemt betingelse. Tenk på et kvadrat med areal $1$. Først tar du halvparten, $\displaystyle \frac{1}{2}$, så halvparten av det som er igjen, $\displaystyle \frac{1}{4}$, så $\displaystyle \frac{1}{8}$, og slik videre i det uendelige. Til sammen fyller du nøyaktig hele kvadratet: $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1$.

Dette er en uendelig geometrisk rekke. Vi definerer summen gjennom partialsummene $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$: hvis $\lim_{n\to\infty} S_n = S$ for et endelig tall $S$, sier vi at rekken konvergerer og har sum $S$. For rekken over er $\displaystyle a_1 = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{2}$, og partialsummen er $\displaystyle S_n = \frac{1}{2}\cdot \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 - (\tfrac{1}{2})^n$. Når $n\to\infty$ går $(\tfrac{1}{2})^n \to 0$, så $S_n \to 1$.

Nøkkelen ligger i kvotienten. For en geometrisk rekke er $\displaystyle S_n = a_1\cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}$, og alt avgjøres av hva $k^n$ gjør. Hvis $\lvert k\rvert < 1$, krymper $k^n$ mot null, og summen stabiliserer seg på $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$ -- rekken konvergerer. Men hvis $\lvert k\rvert > 1$ vokser leddene uten grense og rekken divergerer, og ved $k = -1$ oscillerer den evig. Betingelsen $\lvert k\rvert < 1$ er derfor helt avgjørende.

Formelen som låser opp evigheten

La oss bruke summen $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$ -- men husk advarselen: den gjelder kun når $\lvert k\rvert < 1$. Ta rekken $\displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$ med $a_1 = 1$ og $\displaystyle k = \frac{1}{3}$. Siden $\displaystyle \frac{1}{3} < 1$ konvergerer den, og $\displaystyle S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$. Selv med vekslende fortegn går det bra så lenge tallverdien til $k$ er under $1$: for $\displaystyle 4 - 2 + 1 - \frac{1}{2} + \ldots$ er $a_1 = 4$ og $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$, så $\displaystyle S = \frac{4}{1 - (-1/2)} = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$.

Men prøv aldri formelen der den ikke gjelder. Rekken $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots$ har $k = 2$, og den divergerer -- partialsummene $1, 3, 7, 15, \ldots$ stikker av mot uendelig. Skulle du naivt sette inn i formelen, ville du fått $\displaystyle \frac{1}{1 - 2} = -1$, et meningsløst svar for en sum av lutter positive tall. Like ille er $1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$ med $k = -1$, der partialsummene hopper mellom $1$ og $0$ uten å lande.

Nå kommer den økonomiske gullgruven. En perpetuitet er en kontantstrøm som utbetaler et fast beløp $C$ ved slutten av hver periode i all evighet -- tenk evige stipender, statsobligasjoner uten forfall, eller aksjeutbytte. Nåverdien er summen av de neddiskonterte utbetalingene: $\displaystyle NV = \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^2} + \ldots$ Dette er en uendelig geometrisk rekke med $\displaystyle a_1 = \frac{C}{1+r}$ og $\displaystyle k = \frac{1}{1+r}$. Siden $r > 0$ er $0 < k < 1$, og formelen gir $\displaystyle NV = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{C}{r}$. Vil et legat dele ut $100\,000$ kr i året for alltid til $4\,\%$ avkastning, trengs $\displaystyle NV = \frac{100\,000}{0{,}04} = 2\,500\,000$ kr -- fondet tjener nøyaktig $0{,}04\cdot 2\,500\,000 = 100\,000$ kr i renter hvert år, og kapitalen forblir intakt.

Når kontantstrømmen vokser: Gordon og multiplikatoren

I virkeligheten er utbytter og inntekter sjelden helt faste -- de vokser ofte. La oss si at en betaling starter på $C_1$ og vokser med rate $g$ per periode: $C_1, C_1(1+g), C_1(1+g)^2, \ldots$ Neddiskontert blir dette en geometrisk rekke med $\displaystyle a_1 = \frac{C_1}{1+r}$ og $\displaystyle k = \frac{1+g}{1+r}$. Så lenge $r > g$ er $k < 1$, og rekken konvergerer til Gordons formel: $\displaystyle NV = \frac{C_1}{r - g}$. Dette er selve hjørnesteinen i aksjeprising. Betaler en aksje $5$ kr neste år, vokser utbyttet $3\,\%$ årlig og avkastningskravet er $9\,\%$, blir verdien $\displaystyle NV = \frac{5}{0{,}09 - 0{,}03} = \frac{5}{0{,}06} \approx 83{,}33$ kr -- klart mer enn de $\displaystyle \frac{5}{0{,}09} \approx 55{,}56$ kr vi ville fått uten vekst.

Men Gordons formel har en farlig grense. Når $g$ nærmer seg $r$, eksploderer nåverdien: med $g = 0{,}059$ og $r = 0{,}06$ blir $\displaystyle NV = \frac{C_1}{0{,}001}$, altså tusen ganger $C_1$. Og hvis $g \geq r$, divergerer rekken og modellen kollapser fullstendig. Det gir mening: ingen virksomhet kan vokse raskere enn økonomiens avkastningskrav i all evighet. Derfor krever formelen strengt $r > g$, og i praksis bør $g$ ligge nær langsiktig BNP-vekst på $2$ til $3\,\%$.

Den samme uendelige rekken dukker opp i makroøkonomien som multiplikatoreffekten. Får en husholdning $1\,000$ kr ekstra, bruker de en andel $c$ -- konsumtilbøyeligheten -- på forbruk. Det blir andres inntekt, som igjen forbruker $c$ av sin del, og slik ruller det videre. Total effekt blir $\displaystyle 1\,000 + 1\,000c + 1\,000c^2 + \ldots = \frac{1\,000}{1 - c}$, der faktoren $\displaystyle \frac{1}{1-c}$ er multiplikatoren. Bevilger staten $10$ milliarder med $c = 0{,}75$, blir multiplikatoren $\displaystyle \frac{1}{1 - 0{,}75} = \frac{1}{0{,}25} = 4$, og samlet BNP-effekt $10\cdot 4 = 40$ milliarder. Legg merke til at alle disse formlene -- perpetuitet, Gordon og multiplikator -- springer ut av den ene summen $\displaystyle S = \frac{a_1}{1-k}$.

Oppsummering

En uendelig geometrisk rekke kan ha en endelig sum, men bare når $\lvert k\rvert < 1$. Da krymper $k^n$ mot null, og summen blir $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$. Er $\lvert k\rvert \geq 1$, divergerer rekken, og formelen må aldri brukes der.

Denne ene ideen åpner et helt landskap av økonomiske verktøy. En perpetuitet -- en evig fast kontantstrøm -- har nåverdi $\displaystyle NV = \frac{C}{r}$. Når kontantstrømmen vokser med rate $g$, gir Gordons formel $\displaystyle NV = \frac{C_1}{r - g}$, gyldig så lenge $r > g$; ellers eksploderer eller kollapser modellen. Og i makroøkonomien forklarer den samme uendelige rekken multiplikatoreffekten, der en impuls forsterkes med faktoren $\displaystyle \frac{1}{1 - c}$. Det fineste poenget er at perpetuitet, Gordon og multiplikator alle er samme formel i forkledning: $\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - k}$. Fra tallfølger via aritmetiske og geometriske rekker har vi nå nådd helt fram til verdsetting av aksjer og virkningen av finanspolitikk -- alt bygget på de samme grunnleggende ideene om hvordan tall hoper seg opp over tid.