10.3 Geometriske rekker

Når noe ganges, ikke legges til

I forrige kapittel la vi til et fast beløp for hvert skritt. Men de virkelig spennende økonomiske prosessene gjør noe annet: de ganger med en fast faktor hver periode. Det er dette vi kaller eksponentiell vekst -- og det er motoren bak rentes rente, sparing og verdsetting av aksjer. Følger av denne typen kaller vi geometriske.

En følge er geometrisk når forholdet mellom to nabolledd alltid er det samme: $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = k$. Tallet $k$ kalles kvotienten eller vekstfaktoren, den rekursive formelen er $a_{n+1} = k\cdot a_n$, og den eksplisitte formelen er $a_n = a_1\cdot k^{n-1}$. Følgen $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ er geometrisk med $a_1 = 3$ og $k = 2$, fordi vi dobler for hvert skritt.

La oss prøve. Har du $a_1 = 5$ og $k = 1{,}1$, vokser leddene med $10\,\%$ hver gang: $5,\ 5{,}5,\ 6{,}05,\ \ldots$, og det tiende leddet er $a_{10} = 5\cdot 1{,}1^9 \approx 11{,}79$. Og kjenner du to ledd, finner du $k$: er $a_3 = 18$ og $a_6 = 486$, gir forholdet $\displaystyle \frac{a_6}{a_3} = k^3 = \frac{486}{18} = 27$, så $k = \sqrt[3]{27} = 3$, og videre $a_1\cdot 9 = 18$, altså $a_1 = 2$. Følgen er $2, 6, 18, 54, 162, 486, \ldots$

En sum som folder seg sammen

Hvordan summerer vi en geometrisk rekke, $S_n = a_1 + a_1 k + a_1 k^2 + \ldots + a_1 k^{n-1}$? Trikset her er like elegant som Gauss', men annerledes. Vi ganger hele summen med $k$ og setter de to under hverandre: $S_n$ og $k\cdot S_n$. Når vi trekker den ene fra den andre, kanselleres alt i midten, og vi sitter igjen med $kS_n - S_n = a_1 k^n - a_1$, altså $S_n(k-1) = a_1(k^n - 1)$. Deler vi på $k-1$ (når $k \neq 1$), får vi formelen $\displaystyle S_n = a_1\cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$, som også kan skrives $\displaystyle a_1\cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}$.

Det klassiske eksempelet er sjakkbrettet med korn: $1$ korn på første rute, $2$ på andre, $4$ på tredje, alltid det dobbelte. Det er en geometrisk følge med $a_1 = 1$ og $k = 2$, så de ti første rutene gir $\displaystyle S_{10} = 1\cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023$ korn. La oss kontrollere på en kortere følge: for $3, 6, 12, 24, \ldots$ med $k = 2$ er $\displaystyle S_8 = 3\cdot \frac{2^8 - 1}{1} = 3\cdot 255 = 765$.

Når $k > 1$ vokser leddene, og da er det greit å bruke $\displaystyle \frac{k^n - 1}{k - 1}$ siden begge ledd er positive. Når $\lvert k\rvert < 1$ synker leddene mot null, og da er formen $\displaystyle \frac{1 - k^n}{1 - k}$ ofte greiest. For eksempel gir $a_1 = 100$ og $k = 0{,}5$ over $6$ ledd $\displaystyle S_6 = 100\cdot \frac{1 - 0{,}5^6}{1 - 0{,}5} = 100\cdot \frac{0{,}984375}{0{,}5} = 196{,}875$.

Sparing, rentes rente og annuiteter

Her kommer den virkelige grunnen til at geometriske rekker er bærebjelken i finansmatematikk. Tenk at du setter inn $10\,000$ kr ved slutten av hvert år i $8$ år til $5\,\%$ rente. Et innskudd satt inn ved slutten av år $j$ tjener rente i $8 - j$ år, så ved slutten av år $8$ er det verdt $10\,000\cdot 1{,}05^{8-j}$. Summerer vi alle åtte, får vi nettopp en geometrisk rekke med $k = 1{,}05$: sluttverdien er $\displaystyle FV = 10\,000\cdot \frac{1{,}05^8 - 1}{1{,}05 - 1} = 10\,000\cdot \frac{0{,}4775}{0{,}05} \approx 95\,491$ kr. Du satte inn $80\,000$ kr, men sitter igjen med over $95\,000$ kr -- differansen er rentes rente.

Dette er ikke tilfeldig. Skriver vi $k = 1 + r$, blir nevneren $k - 1 = r$, og geometrisk sumformel blir identisk med sluttverdiformelen for annuitet: $\displaystyle FV = A\cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$. Hele finansmatematikken bygger altså på denne ene geometriske rekken. Setter du for eksempel inn $24\,000$ kr i året i $30$ år til $6\,\%$, blir $\displaystyle FV = 24\,000\cdot \frac{1{,}06^{30} - 1}{0{,}06} = 24\,000\cdot \frac{4{,}7435}{0{,}06} \approx 1\,897\,400$ kr -- du har spart inn $720\,000$ kr, men rentes rente har mer enn doblet beløpet.

Den samme rekken beskriver eksponentiell vekst utenfor sparing. En oppstart som selger $50$ enheter første måned med $8\,\%$ månedlig vekst, har solgt $\displaystyle S_{24} = 50\cdot \frac{1{,}08^{24} - 1}{0{,}08} = 50\cdot \frac{5{,}3412}{0{,}08} \approx 3\,338$ enheter etter to år. Og når noe vokser eksponentielt, kan vi snu på det og spørre hvor lenge det tar -- ved logaritmer. En investering som vokser $7\,\%$ i året trenger $\displaystyle n = \frac{\ln 5}{\ln 1{,}07} \approx 23{,}8$, altså $24$ år, på å femdoble seg, fordi $200\,000\cdot 1{,}07^n \geq 1\,000\,000$ krever $1{,}07^n \geq 5$.

Oppsummering

En geometrisk følge ganger med en fast kvotient $k$ for hvert skritt, med eksplisitt formel $a_n = a_1\cdot k^{n-1}$. Kjenner vi to ledd, finner vi $k$ via forholdet mellom dem, $\displaystyle k^{n-m} = \frac{a_n}{a_m}$.

Summen av de $n$ første leddene fås ved å trekke $k\cdot S_n$ fra $S_n$, noe som gir $\displaystyle S_n = a_1\cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}$ for $k \neq 1$ (og $S_n = n\cdot a_1$ når $k = 1$). Denne ene formelen er hjørnesteinen i finansmatematikken: med $k = 1 + r$ blir den til sluttverdiformelen for annuitet, $\displaystyle FV = A\cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$, som beskriver sparing med rentes rente. Den samme geometriske strukturen styrer eksponentielt voksende salg og befolkning, og ved hjelp av logaritmer kan vi regne ut hvor lenge noe trenger for å doble eller femdoble seg. I neste kapittel tar vi det siste steget: hva skjer når vi lar en geometrisk rekke fortsette i all evighet?