10.1 Tallfølger

Tall som kommer ett om gangen

Tenk på saldoen på sparekontoen din. Den endrer seg ikke kontinuerlig som en bil som triller nedover en bakke -- den hopper trinnvis, ett år av gangen: i fjor, i år, neste år. Det samme gjelder månedslønnen din, de årlige avdragene på et lån, eller salgstallene kvartal for kvartal. Slike ordnede, trinnvise tallrekker kaller vi tallfølger, og de er selve fundamentet for all finansmatematikk.

En tallfølge er rett og slett en ordnet liste av tall, som vi skriver $\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ Tallet $a_n$ er det $n$-te leddet, og $n$ er indeksen som forteller hvor i rekken vi er. Tar vi kvadrattallene $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, er $a_1 = 1$, $a_2 = 4$ og $a_3 = 9$, og det generelle mønsteret er $a_n = n^2$.

Grunnen til at vi bryr oss om dette i et økonomifag, er at nesten alt som utvikler seg over tid kan beskrives som en tallfølge: kontoutviklingen år for år, restgjelden på et lån fra termin til termin, eller forventet salg per kvartal. Når vi først har en god måte å beskrive disse rekkene på, kan vi forutsi hvor de ender opp -- og det er nettopp det vi skal lære i dette kapittelet.

To måter å snakke om en følge på

La oss si at en kollega forteller deg om en tallfølge. Hun kan gjøre det på to helt forskjellige måter, og begge er nyttige.

Den ene måten er en eksplisitt formel, $a_n = f(n)$, som regner ut et hvilket som helst ledd direkte fra indeksen. Sier hun at $a_n = 2n + 3$, kan du straks regne ut alle leddene: $a_1 = 2\cdot 1 + 3 = 5$, $a_2 = 7$, $a_3 = 9$, $a_4 = 11$ og $a_5 = 13$. Og vil du vite det tjuende leddet uten å regne deg gjennom de nitten første, setter du bare inn: $a_{20} = 2\cdot 20 + 3 = 43$. Det er styrken ved den eksplisitte formelen -- du kan hoppe rett til ledd nummer tusen om du vil.

Den andre måten er en rekursiv formel, $a_{n+1} = g(a_n)$, som forteller hvordan du finner neste ledd ut fra det forrige, sammen med en startverdi. Får du $b_1 = 4$ og $b_{n+1} = 3b_n - 2$, må du regne deg fram trinn for trinn: $b_2 = 3\cdot 4 - 2 = 10$, $b_3 = 3\cdot 10 - 2 = 28$, $b_4 = 3\cdot 28 - 2 = 82$ og $b_5 = 3\cdot 82 - 2 = 244$. Den rekursive formelen er litt mer tungvint, men den beskriver økonomiske prosesser helt naturlig: saldoen i år avhenger jo nettopp av saldoen i fjor. Setter du $10\,000$ kr på en konto med $4\,\%$ rente, blir $K_0 = 10\,000$ og $K_{n+1} = 1{,}04\cdot K_n$, og mønsteret $K_n = 10\,000\cdot 1{,}04^n$ gir deg $K_5 = 10\,000\cdot 1{,}04^5 \approx 12\,167$ kr.

Hva skjer helt der ute?

Det mest spennende spørsmålet om en tallfølge er hva som skjer når $n$ blir riktig stor. Nærmer leddene seg en bestemt verdi, eller stikker de av? Hvis leddene kommer vilkårlig nær et tall $L$ når $n$ vokser, sier vi at følgen konvergerer, og vi skriver $\lim_{n\to\infty} a_n = L$. Tallet $L$ kalles grenseverdien. Følgen $\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$ er et fint eksempel: $a_1 = 1$, $a_{10} = 0{,}1$, $a_{100} = 0{,}01$, $a_{1000} = 0{,}001$ -- leddene klemmes mot null, så $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$.

Noen følger konvergerer mot noe annet enn null. Ta $\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1}$. Deler vi teller og nevner med $n$, får vi $\displaystyle a_n = \frac{1}{1 + 1/n}$, og siden $\displaystyle \frac{1}{n}\to 0$ blir nevneren $1$, så grenseverdien er $1$. Det samme trikset -- dele med høyeste potens av $n$ -- gir at $\displaystyle \frac{3n^2+2}{n^2+5}\to 3$ og $\displaystyle \frac{4n+7}{2n-1}\to 2$.

Klarer ikke følgen å sette seg på en verdi, divergerer den. En vanlig misforståelse er at en divergerende følge alltid stikker av mot uendelig, slik $a_n = 2^n$ gjør ($2, 4, 8, 1024, \ldots$). Men en følge kan også divergere ved å oscillere: $a_n = (-1)^n$ veksler evig mellom $-1$ og $1$ uten å lande noe sted. Til slutt kan vi beskrive formen på en følge: den er monotont voksende hvis $a_{n+1}\geq a_n$ alltid, monotont avtagende hvis $a_{n+1}\leq a_n$, og avgrenset hvis den holder seg mellom to faste tall. Et nyttig resultat er at en følge som er både monoton og avgrenset, alltid konvergerer.

Oppsummering

En tallfølge $\{a_n\} = a_1, a_2, a_3, \ldots$ er en ordnet liste der $a_n$ er det $n$-te leddet. Vi kan beskrive den på to måter: en eksplisitt formel $a_n = f(n)$ lar oss regne et hvilket som helst ledd direkte, mens en rekursiv formel $a_{n+1} = g(a_n)$ med en startverdi finner neste ledd ut fra det forrige -- og passer ekstra godt for økonomiske prosesser der fjorårets saldo bestemmer årets.

En følge konvergerer hvis leddene nærmer seg en grenseverdi $L$, skrevet $\lim_{n\to\infty} a_n = L$; ellers divergerer den, enten ved å vokse uten grense eller ved å oscillere. Når vi skal finne grenseverdien til en brøk, deler vi teller og nevner med den høyeste potensen av $n$. Følger kan dessuten være monotone (alltid voksende eller avtagende) og avgrensede (holdt mellom to faste tall) -- og er de begge deler, konvergerer de garantert. Med dette i bunnen er vi klare til å se på to spesielle og svært nyttige typer følger: de aritmetiske og de geometriske.