2.3 Likningssett | Matematikk for økonomer

Løsning av likningssett med to ukjente grafisk og algebraisk.

55 min

14 oppgaver

LikningssettInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenGrafisk løsning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Lineære likninger

Brukes videre i

9.3Lineære likningssystem og Gauss-eliminasjon

Vi skal nå løse likningssett – et sett med flere likninger som skal være oppfylt samtidig.

I hver likning har vi to eller flere ukjente, og vi skal finne verdiene som gjør at alle likningene stemmer samtidig.

Forkunnskaper: Grunnleggende likninger og lineære funksjoner.

For å skille på likningene er det nyttig å nummerere dem med romertall. $I$ refererer til likning én og $II$ til likning to.

Grafisk løsning av likningssett

Den enkleste måten å forstå likningssett på er å tegne begge likningene som linjer i et koordinatsystem. Løsningen er punktet der linjene krysser hverandre.

✏️Eksempel 1: Grafisk løsning

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningene er oppfylt samtidig:

$I$ : $y + 4 = 2x$

$II$ : $2y - 1 = x$

Vi omformer likningene til formen

y = ax + b

og tegner dem inn i et koordinatsystem.

Likning I:
$y + 4 = 2x \quad | -4$
$y = 2x - 4$

Likning II:
$2y - 1 = x \quad | +1$
$2y = x + 1 \quad | \div 2$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Vi ser at linjene skjærer i punktet $(3, 2)$ , altså der $x = 3$ og $y = 2$ .

Prøve: Setter vi inn $x = 3$ og $y = 2$ i det originale likningssettet:
- $I$ : $2 + 4 = 2 \cdot 3$ → $6 = 6$ ✓
- $II$ : $2 \cdot 2 - 1 = 3$ → $3 = 3$ ✓

Løsning: $x = 3$ og $y = 2$

📊Utforsk grafisk løsning

Prøv å tegne inn andre likningssett og finn skjæringspunktet.

📝Oppgave 1

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningene er oppfylt samtidig. Tegn begge grafene for hånd og finn skjæringspunktet.

I

y = x - 3

II

y = -2x + 3

y + 3 = -x + 4

2y = 4x + 2

2x - y = x + 3

5 - x + y = 2y

Løs oppgaven Tren

Ingen løsninger og uendelig mange løsninger

Ikke alle likningssett har én løsning:

- Ingen løsninger: Dersom to linjer er parallelle (og ikke sammenfallende), vil de aldri møte hverandre. Eksempelvis vil $y = 2x - 2$ og $y = 2x + 3$ alltid ha en avstand på 5 når de har samme $x$ -verdi.

- Uendelig mange løsninger: Dersom linjene er sammenfallende (beskriver samme linje), har de uendelig mange felles punkter.

Innsettingsmetoden

Innsetting betyr å erstatte en variabel med en verdi eller et uttrykk. Vi kan bruke dette til å løse likningssett.

✏️Eksempel 2: Innsetting av tall

La $x = -3$ . Bruk innsetting og løs likningene for $y$ .

a) $y + x = 2$

b) $2x - y = 8$

c) $x(y - 2) = 6$

y + x = 2

y + (-3) = 2

y - 3 = 2 \quad | +3

y = 5

b) $2x - y = 8$
$2 \cdot (-3) - y = 8$
$-6 - y = 8 \quad | +6$
$-y = 14 \quad | \cdot (-1)$
$y = -14$

c) $x(y - 2) = 6$
$-3(y - 2) = 6$
$-3y + 6 = 6 \quad | -6$
$-3y = 0 \quad | \div (-3)$
$y = 0$

📝Oppgave 2

La $x = -2$ . Bruk dette til å finne verdien av $y$ .

y = x - 3

y = -x + 3

y = 3x - 2

y - 4 = x

2y + 4x = 10

x(y + 3) = 6

Løs oppgaven Tren

Innsetting av variabler og uttrykk

Vi kan også erstatte variabler med hele uttrykk istedenfor kun tall. Dette er nøkkelen til å løse likningssett.

✏️Eksempel 3: Innsetting av uttrykk

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x = 5y$

$II$ : $2x - 8y = 8$

Likning $I$ sier at $x = 5y$ . Vi kan derfor erstatte $x$ i likning $II$ med $5y$ .

$I \to II$ :
$2 \cdot 5y - 8y = 8$
$10y - 8y = 8$
$2y = 8 \quad | \div 2$
$y = 4$

Vi har nå funnet $y = 4$ . Dette setter vi inn i likning $I$ :

$x = 5 \cdot y$
$x = 5 \cdot 4$
$x = 20$

Løsning: $x = 20$ og $y = 4$

Notasjon:
-

I \to II

betyr at vi bruker informasjon fra likning

I

i likning

II

.
-

II^*

betyr den omformede likning

II

📝Oppgave 3

Løs likningssettene (finn verdien av $x$ og av $y$ ) ved hjelp av innsettingsmetoden.

x = 2y

3x + y = 14

x = y + 3

2x + 4y = 12

2x = 6y

x + 7y = 40

Løs oppgaven Tren

Likningssett løst ved hjelp av innsettingsmetoden

I vanlige likningssett med 2 ukjente bruker vi enten $I$ eller $II$ og løser for enten $x$ eller $y$ . Hvilken av likningene vi velger å bruke og hvilken variabel vi løser for kommer an på hva vi tenker blir enklest å gjennomføre.

✏️Eksempel 4: Innsettingsmetoden

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

Steg 1: Vi løser likning

I

for

x

(enklest):

x + 3y = 8 \quad | -3y

x = -3y + 8

Steg 2: Setter dette inn i likning $II$ :
$2(-3y + 8) - 2y = 8$
$-6y + 16 - 2y = 8 \quad | -16$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Steg 3: Setter $y = 1$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = -3 \cdot 1 + 8 = -3 + 8 = 5$

Løsning: $x = 5$ og $y = 1$

Tips: Velg alltid å løse for den variabelen som gir det enkleste uttrykket. Hvis en variabel allerede har koeffisient 1 (som

x

i likning

I

over), er det som regel lurt å løse for denne.

✏️Eksempel 5: Innsettingsmetoden (fortsatt)

Løs likningssettet:

$I$ : $2x + 5y = 9$

$II$ : $3x - y = 5$

Her er det enklest å løse likning

II

for

y

(koeffisient

-1

$3x - y = 5 \quad | +y - 5$
$3x - 5 = y$

Setter inn i likning $I$ :
$2x + 5(3x - 5) = 9$
$2x + 15x - 25 = 9 \quad | +25$
$17x = 34 \quad | \div 17$
$x = 2$

Finner $y$ :
$y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Løsning: $x = 2$ og $y = 1$

📝Oppgave 4

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

2x - y = 8

x - 3y = -1

3x - y = 0

6x + y = 9

x + 2y = 7

3x - y = 7

5x - 3y = 1

x - y = -1

x - 2y = 5

3x - 3y = 9

2a - 4b + 2 = 0

7a - b = 6

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

3x + 4y = 2

4x + 2y - 6 = 0

2x + 4y - 8 = 0

3x + 2y = 8

Løs oppgaven Tren

Addisjonsmetoden

I et likningssett vil alltid begge likningene gjelde samtidig. Det vil også si at dersom vi legger sammen venstresidene i $I$ og $II$ , så vil summen av disse være lik summen av høyresidene.

Dette kan vi bruke til å fjerne $x$ eller $y$ i en av likningene slik at vi kun står igjen med én ukjent.

✏️Eksempel 6: Addisjonsmetoden (enkel)

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $2x + 4y = 14$

$II$ : $-2x - 2y = -8$

Vi legger sammen likning

I

II

$I + II: \quad (2x + 4y) + (-2x - 2y) = 14 + (-8)$
$2x + 4y - 2x - 2y = 14 - 8$
$2y = 6$
$y = 3$

Setter $y = 3$ inn i likning $I$ :
$2x + 4 \cdot 3 = 14$
$2x + 12 = 14 \quad | -12$
$2x = 2 \quad | \div 2$
$x = 1$

Løsning: $x = 1$ og $y = 3$

📝Oppgave 6

Løs likningssettene ved å bruke addisjonsmetoden.

-x - y = 6

x + 2y = -9

2x - y = 6

-2x + 2y = -4

3x + y = 6

2x - y = -4

Løs oppgaven Tren

Som du kanskje har tenkt, er det ikke alltid slik at en av variablene forsvinner bare du legger sammen likning $I$ og $II$ .

For å løse dette multipliserer vi én eller begge likningene slik at de får en lik konstant (med motsatt fortegn) foran enten $x$ eller $y$ .

✏️Eksempel 7: Addisjonsmetoden med multiplikasjon

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

For å fjerne

x

ganger vi likning

I

med

(-2)

$-2 \cdot I: \quad -2x - 6y = -16$

Nå legger vi sammen med $II$ :
$II + (-2 \cdot I): \quad 2x - 2y + (-2x - 6y) = 8 + (-16)$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Setter $y = 1$ inn i likning $I$ :
$x + 3 \cdot 1 = 8$
$x = 8 - 3 = 5$

Løsning: $x = 5$ og $y = 1$

📝Oppgave 7

Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.

2x + 3y = 8

4x + 2y = 8

x + 3y = 8

3x - y = 4

-2x + 3y = 7

x - 5y = -14

x - 3y = -5

-2x + 3y = 7

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8: Addisjonsmetoden (begge multipliseres)

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $3x + 5y = 2$

$II$ : $2x - 2y = -4$

Vi ganger opp begge likningene slik at vi får like mange av enten

x

eller

y

. Vi velger å få

6x

i begge:

$2 \cdot I: \quad 6x + 10y = 4$
$3 \cdot II: \quad 6x - 6y = -12$

Nå trekker vi den ene fra den andre:
$2I - 3II: \quad 16y = 16 \quad | \div 16$
$y = 1$

Setter $y = 1$ inn i likning $II$ :
$2x - 2 \cdot 1 = -4 \quad | +2$
$2x = -2 \quad | \div 2$
$x = -1$

Løsning: $x = -1$ og $y = 1$

📝Oppgave 8

Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.

x + 3y = 5

4x + 2y = 10

2x + 3y = 5

3x - 2y = -12

-2x + 3y = -8

5x - 5y = 10

-3x - 4y = -14

-2x + 3y = 19

Løs oppgaven Tren

Likningssett med 3 ukjente

Metoden kan utvides til likningssett med tre ukjente ( $x$ , $y$ og $z$ ). Vi trenger da tre likninger.

Strategi:
1. Bruk én likning til å uttrykke én variabel
2. Sett dette uttrykket inn i de to andre likningene
3. Nå har du to likninger med to ukjente (som du kan løse som før)
4. Sett tilbake for å finne alle tre variablene

✏️Eksempel 9: Tre ukjente

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x + 3y + z = 4$

$II$ : $2x - 2y - z = 1$

$III$ : $2x - y + 2z = -6$

Steg 1: Løs likning

I

for

x

x = 4 - 3y - z

Steg 2: Sett inn i likning $II$ :
$2(4 - 3y - z) - 2y - z = 1$
$8 - 6y - 2z - 2y - z = 1$
$-8y - 3z = -7 \quad (II^*)$

Steg 3: Sett inn i likning $III$ :
$2(4 - 3y - z) - y + 2z = -6$
$8 - 6y - 2z - y + 2z = -6$
$-7y = -14$
$y = 2 \quad (III^*)$

Steg 4: Sett $y = 2$ inn i $(II^*)$ :
$-8 \cdot 2 - 3z = -7$
$-16 - 3z = -7 \quad | +16$
$-3z = 9$
$z = -3$

Steg 5: Sett $y = 2$ og $z = -3$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = 4 - 3 \cdot 2 - (-3) = 4 - 6 + 3 = 1$

Løsning: $x = 1$ , $y = 2$ og $z = -3$

📝Oppgave 9

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

2x - 3y - 3z = 8

x - 2y - 2z = 5

x - y + z = 7

x + 5y + 2z = -5

x - y - 2z = -3

4x - 3y + z = 21

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

x + 2y + z = 1

x - 2y + 3z = 15

3x - 3y + 2z = 18

x - 3y + 3z = -4

5x - y - 2z = -15

x - y + 2z = 1

2x + y + z = 0

x - 2y + 2z = 2

3x - 2y + 2z = -2

2x + 5y + z = 6

x - 3y - 2z = 6

x - 3y + z = 9

Løs oppgaven Tren

Å sette opp og løse likningssett fra reelle situasjoner

Likningssett er veldig nyttige for å løse praktiske problemer der vi har flere ukjente størrelser og flere betingelser som skal oppfylles.

✏️Eksempel 10: Praktisk oppgave

Mor sender Mari i butikken på to forskjellige anledninger. Prisene i butikken er den samme ved begge besøkene.

Ved første besøk kjøpte Mari 5 kg poteter og 2 kg gulrøtter og betalte 58 kroner.
Ved andre besøk kjøpte Mari 3 kg poteter og 5 kg gulrøtter og betalte 50 kroner.

a) Sett opp et likningssett som beskriver situasjonen.
b) Løs likningssettet og finn prisen per kg for poteter og gulrøtter.

x

være prisen per kg poteter og

y

være prisen per kg gulrøtter.

a) Likningssettet:
$I: \quad 5x + 2y = 58$
$II: \quad 3x + 5y = 50$

b) Løsning med addisjonsmetoden:

Multipliser $I$ med 5 og $II$ med $(-2)$ :
$5I: \quad 25x + 10y = 290$
$-2 \cdot II: \quad -6x - 10y = -100$

Legger sammen:
$19x = 190$
$x = 10$

Setter inn i $I$ :
$5 \cdot 10 + 2y = 58$
$50 + 2y = 58$
$2y = 8$
$y = 4$

Svar: Poteter koster 10 kr/kg og gulrøtter koster 4 kr/kg.

📝Oppgave 11

Et år har et taxiselskap en fast oppstartsgebyr i tillegg til en fastpris per km kjørt. Kåre har brukt taxiselskapet i januar og i februar.

I januar brukte han taxiselskapet 2 ganger og kjørte til sammen 30 km, han betalte sammenlagt 700 kroner.
I februar brukte han taxi 3 ganger og kjørte til sammen 60 km, i februar betalte han sammenlagt 1350 kroner.

Sett opp et likningssett og regn ut oppstartsgebyret og fastprisen per km til taxiselskapet.

📝Oppgave 12

På et offentlig arrangement er prisen 100 kroner for voksne og 50 kroner for barn. Dersom en familie ønsker mat inkludert koster det 30 kroner ekstra per barn og 50 kroner ekstra per voksen.

Familiene Storhaug og Kronsteen betaler til sammen 650 kroner for showet og 350 kroner for mat (til alle).

Hvor mange voksne og hvor mange barn var det til sammen i de to familiene?

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av likningssett.

Finn feilen. En student skal løse likningssettet

\begin{cases} x - 3y = 0 \\ 2x - 6y = 0 \end{cases}

. Hun løser første likning for

x

og får

x = 3y

. Setter inn i andre likning:

2(3y) - 6y = 0

, altså

0 = 0

. Hun konkluderer at systemet ikke har løsning. Hva er den korrekte konklusjonen?

Geometrisk argument. Et likningssett med to lineære likninger i to ukjente kan ha 0, 1 eller uendelig mange løsninger. Forklar geometrisk når hvert tilfelle inntreffer. Tegn gjerne en skisse.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Oppsummering: Metoder for å løse likningssett

Grafisk løsning: Tegn begge likningene som linjer og finn skjæringspunktet. Innsettingsmetoden: 1. Løs én likning for én variabel 2. Sett uttrykket inn i den andre likningen 3. Løs for den gjenværende variabelen 4. Sett tilbake for å finne den første Addisjonsmetoden: 1. Multipliser likningene slik at én variabel har like koeffisienter med motsatt fortegn 2. Legg sammen likningene for å eliminere variabelen 3. Løs for den gjenværende variabelen 4. Sett tilbake for å finne den første

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Likningssett: Flere likninger som skal være oppfylt samtidig.
- Grafisk løsning: Løsningen er skjæringspunktet mellom linjene.
- Innsettingsmetoden: Løs én likning for en variabel og sett inn i den andre.
- Addisjonsmetoden: Legg sammen likningene slik at en variabel forsvinner.

Viktige formler

- Et lineært likningssett kan ha én løsning, ingen (parallelle linjer) eller uendelig mange (samme linje).

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likningssett	Flere likninger samtidig
Innsettingsmetoden	Erstatte en variabel med et uttrykk
Addisjonsmetoden	Legge sammen likninger
Skjæringspunkt	Grafisk løsning av settet

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.