2.3 Likningssett

To ukjente, to likninger

Se for deg at du handler grønnsaker. Du vet at $5$ kg poteter pluss $2$ kg gulrøtter koster $58$ kr, og at en annen handlekurv gir en annen sammenheng. Med to ukjente priser trenger du to opplysninger -- to likninger -- for å finne begge. Det er nettopp dette et likningssett er: et sett av flere likninger som alle skal stemme samtidig. Vi leter etter de verdiene av $x$ og $y$ som gjør at alle likningene går opp på én gang.

For å holde orden nummererer vi likningene med romertall: $I$ for den første, $II$ for den andre. Den mest anskuelige måten å løse et sett på er grafisk: vi skriver hver likning på formen $y=ax+b$, tegner dem som linjer, og leser av der de krysser. Skjæringspunktet er løsningen, fordi det er det eneste punktet som ligger på begge linjene samtidig.

Ta $I$: $y+4=2x$ og $II$: $2y-1=x$. Vi omformer: $I$ blir $y=2x-4$, og $II$ blir $2y=x+1$, altså $\displaystyle y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$. Tegner vi disse, krysser de i $(3,2)$. Vi sjekker: i $I$ gir $2+4=2\cdot 3$, altså $6=6$, og i $II$ gir $2\cdot 2-1=3$, altså $3=3$. Begge stemmer, så $x=3$ og $y=2$.

Men ikke alle sett har én løsning. Er linjene parallelle, som $y=2x-2$ og $y=2x+3$, møtes de aldri -- da finnes ingen løsning. Er linjene sammenfallende, beskriver de samme linje og har uendelig mange felles punkter.

Innsettingsmetoden

Grafisk løsning gir et fint bilde, men avlesningen blir unøyaktig. Algebraen er mer presis. Den første metoden heter innsetting: vi erstatter en variabel med et tall eller et helt uttrykk. Vet vi for eksempel at $x=-3$, kan vi finne $y$ i $y+x=2$ ved å sette inn: $y-3=2$, så $y=5$.

Det virkelig nyttige er å sette inn hele uttrykk. I settet $I$: $x=5y$ og $II$: $2x-8y=8$ sier $I$ allerede hva $x$ er. Vi bytter ut $x$ i $II$ med $5y$: $2\cdot 5y-8y=8$, altså $10y-8y=2y=8$, så $y=4$. Deretter setter vi tilbake i $I$: $x=5\cdot 4=20$. Løsningen er $x=20$, $y=4$.

Når ingen variabel står alene fra start, løser vi først én likning for én variabel -- helst den som er enklest. I $I$: $x+3y=8$ og $II$: $2x-2y=8$ har $x$ i $I$ koeffisient $1$, så vi løser $I$ for $x$: $x=-3y+8$. Vi setter dette inn i $II$: $2(-3y+8)-2y=8$, som gir $-6y+16-2y=8$, altså $-8y=-8$ og $y=1$. Tilbake i uttrykket: $x=-3\cdot 1+8=5$. Tipset er enkelt: velg å løse for variabelen som har koeffisient $1$ (eller $-1$), så slipper du brøker. I $I$: $2x+5y=9$ og $II$: $3x-y=5$ er det smartest å løse $II$ for $y$: $y=3x-5$, og innsetting gir $17x=34$, så $x=2$ og $y=1$.

Addisjonsmetoden

Når begge likningene gjelder samtidig, kan vi legge dem sammen -- venstreside til venstreside, høyreside til høyreside. Det smarte er å ordne det slik at en av variablene forsvinner. Tar vi $I$: $2x+4y=14$ og $II$: $-2x-2y=-8$, ser vi at $x$-leddene er motsatte. Legger vi sammen: $(2x-2x)+(4y-2y)=14-8$, altså $2y=6$, så $y=3$. Sett inn i $I$: $2x+12=14$, så $x=1$.

Oftest passer ikke koeffisientene fra start. Da multipliserer vi én eller begge likningene først, slik at en variabel får like store, motsatte koeffisienter. I $I$: $x+3y=8$ og $II$: $2x-2y=8$ ganger vi $I$ med $-2$ for å bli kvitt $x$: $-2x-6y=-16$. Lagt til $II$: $-8y=-8$, så $y=1$, og dermed $x=5$.

Noen ganger må vi gange begge. I $I$: $3x+5y=2$ og $II$: $2x-2y=-4$ vil vi ha $6x$ i begge: $2\cdot I$ gir $6x+10y=4$, og $3\cdot II$ gir $6x-6y=-12$. Trekker vi den ene fra den andre, forsvinner $x$: $16y=16$, så $y=1$. Satt inn i $II$: $2x-2=-4$, altså $x=-1$.

Slik kommer vi tilbake til grønnsakene. Med $I$: $5x+2y=58$ og en annen likning kan vi løse for prisene. Etter eliminering finner vi $x=10$, og innsatt i $I$: $50+2y=58$, så $y=4$. Poteter koster $10$ kr/kg og gulrøtter $4$ kr/kg. Metodene utvides også til tre ukjente $x$, $y$ og $z$ -- da trenger vi tre likninger og eliminerer én variabel om gangen.

Oppsummering

Et likningssett er flere likninger som skal være oppfylt samtidig, og løsningen er de variabelverdiene som får alle til å stemme. Grafisk finner vi løsningen som skjæringspunktet mellom linjene -- og husk at parallelle linjer gir ingen løsning, mens sammenfallende linjer gir uendelig mange.

Algebraisk har vi to presise metoder. Med innsettingsmetoden løser vi én likning for én variabel og setter uttrykket inn i den andre; velg helst variabelen med koeffisient $1$. Med addisjonsmetoden ganger vi likningene slik at en variabel får motsatte koeffisienter, legger dem sammen så variabelen forsvinner, og løser resten. Begge gir samme svar, slik vi så da poteter ble $10$ kr/kg og gulrøtter $4$ kr/kg. Disse verktøyene lar deg løse praktiske økonomiproblemer der flere størrelser henger sammen.