2.4 Ulikheter | Matematikk for økonomer

Løsning av lineære og andregradsulikheter med fortegnsskjema.

45 min

12 oppgaver

Lineære ulikheterAndregradsulikheterFortegnsskjemaIntervallnotasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Andregradslikninger

Når kravet ikke er et likhetstegn

Du planlegger en lansering. Du må selge minst 200 enheter for å dekke kostnadene, men leverandøren kan levere maks 800 enheter. Hvor mange skal du bestille? Dette er en ulikhet – ikke en likning.

Mens en likning krever at to størrelser er nøyaktig like, beskriver en ulikhet at den ene er større enn, mindre enn, eller forskjellig fra den andre. Ulikhetene styrer det aller meste av økonomiske beslutninger:

- Budsjettrestriksjoner: $\text{kostnader} \leq \text{budsjett}$
- Kapasitetsgrenser: $\text{produksjon} \leq \text{maks kapasitet}$
- Lovkrav: $\text{egenkapital} \geq 25\%$ av balansen
- Lønnsomhetskrav: $\text{inntekt} > \text{kostnad}$

I dette kapittelet lærer du å løse førstegradsulikheter, å skrive løsningen som intervaller på tallinjen, og å bruke ulikheter til å finne for eksempel hvilket prisintervall som gir overskudd.

De fire ulikhetstegnene

A

Tegn	Betydning	Eksempel
$A < B$	$A$ er mindre enn $B$	$3 < 5$
$A \leq B$	$A$ er mindre enn eller lik $B$	$5 \leq 5$
$A > B$	$A$ er større enn $B$	$7 > 2$
$A \geq B$	$A$ er større enn eller lik $B$	$5 \geq 5$

Lineær ulikhet

ax + b < c, \quad ax + b \leq c, \quad ax + b > c, \quad ax + b \geq c

Intervallnotasjon

a < x < b

Ulikhet	Intervall (parentes)	Intervall (vinkel)
$a < x < b$	$(a, b)$	$\langle a, b \rangle$
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$	$[a, b]$
$a \leq x < b$	$[a, b)$	$[a, b \rangle$
$a < x \leq b$	$(a, b]$	$\langle a, b]$
$x > a$	$(a, \infty)$	$\langle a, \rightarrow \rangle$
$x \geq a$	$[a, \infty)$	$[a, \rightarrow \rangle$
$x < b$	$(-\infty, b)$	$\langle \leftarrow, b \rangle$
$x \leq b$	$(-\infty, b]$	$\langle \leftarrow, b]$

📜Regneregler for ulikheter

A

B

C

være reelle tall eller uttrykk i

x

1. Addisjon og subtraksjon: Du kan legge til eller trekke fra det samme på begge sider uten å endre tegnet.
$A < B \;\Leftrightarrow\; A + C < B + C$

2. Multiplikasjon/divisjon med positivt tall: Tegnet beholdes.
$\text{Hvis } C > 0: \quad A < B \;\Leftrightarrow\; A \cdot C < B \cdot C$

3. Multiplikasjon/divisjon med negativt tall: Tegnet snur.
$\text{Hvis } C < 0: \quad A < B \;\Leftrightarrow\; A \cdot C > B \cdot C$

Dette gjelder også for $\leq$ , $>$ og $\geq$ .

Vanligste feilen elever gjør

Når du ganger eller deler en ulikhet med et NEGATIVT tall, snur ulikhetstegnet.

Dette er den feilen som oftest gjør at en ellers riktig løsning blir feil. Eksempel:

$-2x > 6 \quad \bigg| \;\div (-2)$
$x < -3 \quad \text{(IKKE } x > -3\text{)}$

Sjekk: For $x = -4$ er $-2 \cdot (-4) = 8 > 6$ . Riktig! For $x = 0$ er $-2 \cdot 0 = 0$ , som ikke er $> 6$ . Det viser at løsningen må være $x < -3$ .

Enkle ulikheter (uten tegnskifte)

Når koeffisienten foran $x$ er positiv etter at vi har samlet $x$ -leddene på én side, løser vi ulikheten akkurat som en likning.

✏️Eksempel 1: Lineær ulikhet, positiv koeffisient

Løs ulikhetene:

a) $3x + 9 < 12$

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

3x + 9 < 12

$3x + 9 < 12 \quad | -9$
$3x < 3 \quad | \div 3$
$x < 1$

Løsningsmengde: $L = (-\infty, 1) = \langle \leftarrow, 1 \rangle$

---

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

$\frac{2x - 2}{3} \geq 4 \quad | \cdot 3$
$2x - 2 \geq 12 \quad | +2$
$2x \geq 14 \quad | \div 2$
$x \geq 7$

Løsningsmengde: $L = [7, \infty) = [7, \rightarrow \rangle$

📊Utforsk ulikheten $3x + 9 < 12$ grafisk

Linjen $f(x) = 3x + 9$ ligger under linjen $g(x) = 12$ til venstre for skjæringspunktet. Det er nettopp her ulikheten $3x + 9 < 12$ er oppfylt. Endre koeffisientene og se hvordan løsningsmengden endrer seg.

📝Oppgave 1

Løs ulikhetene og skriv løsningen som et intervall.

2x < 8

3x - 6 > 18

\dfrac{x}{2} < 4

\dfrac{x}{5} + 3 > 7

\dfrac{2x}{3} - 6 \leq 2

\dfrac{3x - 2}{3} \geq 1

Løs oppgaven Tren

Ulikheter med tegnskifte

Når vi ganger eller deler en ulikhet med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet.

Hvorfor må vi snu? Tenk på tallinjen. Hvis $2 < 5$ , så er $2$ til venstre for $5$ . Når vi ganger begge med $-1$ , bytter tallene side: $-2$ er nå til høyre for $-5$ , altså $-2 > -5$ . Multiplikasjon med et negativt tall speilvender tallene om null, og dermed snur også ulikhetsretningen.

✏️Eksempel 2: Tegnskifte ved divisjon

Løs ulikheten $-5x > 20$ .

Vi må dele med

-5

(negativt tall), så vi snur ulikhetstegnet:

$-5x > 20 \quad | \div (-5)$
$x < -4$

Løsningsmengde: $L = (-\infty, -4)$

Sjekk: Velg $x = -10$ (som er $< -4$ ): $-5 \cdot (-10) = 50 > 20$ . ✓ Velg $x = 0$ (som ikke er i løsningen): $-5 \cdot 0 = 0$ , og $0$ er ikke $> 20$ . ✓

✏️Eksempel 3: Tegnskifte ved multiplikasjon

Løs ulikheten $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$ .

Vi ganger med

-1

for å fjerne minustegnet foran brøken. Da snur tegnet:

$-\frac{x - 2}{5} \geq 3 \quad | \cdot (-1)$
$\frac{x - 2}{5} \leq -3 \quad | \cdot 5$
$x - 2 \leq -15 \quad | +2$
$x \leq -13$

Løsningsmengde: $L = (-\infty, -13]$

✏️Eksempel 4: Variabler på begge sider

Løs ulikheten $-3x - 1 > 2x + 4$ .

Vi samler

x

-leddene på én side og konstantene på den andre. Vi velger å samle

x

på venstre side:

$-3x - 1 > 2x + 4 \quad | -2x$
$-5x - 1 > 4 \quad | +1$
$-5x > 5 \quad | \div (-5)$

Deler med $-5$ , så tegnet snur:
$x < -1$

Løsningsmengde: $L = (-\infty, -1)$

Alternativt kunne vi flyttet $x$ til høyre side i stedet, da hadde vi unngått tegnskifte:
$-3x - 1 > 2x + 4 \quad | +3x$
$-1 > 5x + 4 \quad | -4$
$-5 > 5x \quad | \div 5$
$-1 > x \quad \Leftrightarrow \quad x < -1$

Samme svar – men ofte enklere å samle slik at koeffisienten foran $x$ blir positiv.

Hvis du har $x$ -ledd på begge sider, samler du dem helst på den siden som gir positiv koeffisient foran $x$ . Da slipper du å tenke på tegnskifte. I praksis betyr det: flytt $x$ -leddet med den minste (mest negative) koeffisienten over til motsatt side.

📝Oppgave 2

Løs ulikhetene. Husk å snu tegnet når du ganger eller deler med et negativt tall.

-10x < 50

-3x - 1 > 2x + 4

\dfrac{x}{3} + 1 < 4

\dfrac{x}{2} - 1 > \dfrac{x}{3} + 2

\dfrac{x}{2} - 5x \leq 18

\dfrac{-x - 2}{2} \geq \dfrac{x + 3}{4}

Løs oppgaven Tren

Doble ulikheter

Noen ganger har vi en variabel som skal være mellom to verdier, for eksempel

$-3 \leq 2x + 1 < 7$

Dette er en dobbel ulikhet og betyr at $2x + 1$ samtidig er $\geq -3$ og $< 7$ . Vi løser ved å utføre samme operasjon på alle tre delene.

✏️Eksempel 5: Dobbel ulikhet

Løs den doble ulikheten $-3 \leq 2x + 1 < 7$ .

Vi opererer på alle tre delene samtidig:

$-3 \leq 2x + 1 < 7 \quad | -1$
$-4 \leq 2x < 6 \quad | \div 2$
$-2 \leq x < 3$

Løsningsmengde: $L = [-2, 3)$

Merk at venstre endepunkt er med (lukket hake) fordi ulikheten der er $\leq$ , mens høyre endepunkt ikke er med (rund parentes) fordi ulikheten er streng $<$ .

Husk: alle tre delene

Doble ulikheter må håndteres som to ulikheter samtidig – pass på at alle operasjoner gjøres på alle tre delene. Hvis du for eksempel ganger med

-1

, må du snu begge ulikhetstegnene.

Hvis dobbel-ulikheten er $-3 \leq -x < 4$ , blir det etter $\cdot (-1)$ :
$3 \geq x > -4 \quad \Leftrightarrow \quad -4 < x \leq 3$

📝Oppgave 3

Løs de doble ulikhetene.

0 < 3x + 6 \leq 12

-4 \leq 1 - x < 3

-1 \leq \dfrac{2x - 3}{5} \leq 1

2 < -3x + 5 < 11

Løs oppgaven Tren

Andregradsulikheter og fortegnsskjema

Overskuddet til en bedrift er ofte et andregradsuttrykk i pris eller mengde. Spørsmålet «for hvilke verdier er overskuddet positivt?» er da en andregradsulikhet av typen

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{eller} \quad ax^2 + bx + c < 0$

For å løse en slik ulikhet:

1. Flytt alt til én side slik at den andre er null.
2. Faktoriser uttrykket: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene.
3. Sett opp et fortegnsskjema med én linje per faktor.
4. Les av løsningen fra produktraden.

En grundigere gjennomgang av fortegnsskjema kommer i kapittel 2.5. Her bruker vi det som verktøy.

✏️Eksempel 6: Andregradsulikhet med fortegnsskjema

For hvilke $x$ er $x^2 - 3x - 10 > 0$ ?

Steg 1: Faktoriser. Vi løser

x^2 - 3x - 10 = 0

med abc-formelen eller sum/produkt-metoden. Sum/produkt: vi søker to tall med sum

-3

og produkt

-10

. Dette er

-5

2

, så

$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Nullpunktene er $x = -2$ og $x = 5$ .

Steg 2: Fortegnsskjema.

Fortegnsskjema for $x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5)$

x-linje

-2

5

(x+2)

(x-5)

x^2 - 3x - 10

Steg 3: Les av. Vi ønsker at

(x+2)(x-5) > 0

, altså der produktraden er

+

Løsningsmengde: $L = (-\infty, -2) \cup (5, \infty)$

Legg merke til at vi får to intervaller, forent med $\cup$ ("eller").

✏️Eksempel 7: Når er overskuddet positivt?

En bedrift har overskuddsfunksjon

O(x) = -x^2 + 30x - 200

der

x

er antall solgte enheter (i tusen). For hvilke salgsnivåer går bedriften med overskudd, dvs.

O(x) > 0

Vi løser

-x^2 + 30x - 200 > 0

Steg 1: Faktoriser. Først ganger vi med $-1$ for å få positiv koeffisient. Husk å snu tegnet:
$-x^2 + 30x - 200 > 0 \quad | \cdot (-1)$
$x^2 - 30x + 200 < 0$

Sum/produkt: to tall med sum $30$ og produkt $200$ . Dette er $10$ og $20$ :
$x^2 - 30x + 200 = (x - 10)(x - 20)$

Steg 2: Fortegnsskjema.

Fortegnsskjema for $(x-10)(x-20)$

x-linje

10

20

(x-10)

(x-20)

(x-10)(x-20)

Steg 3: Les av. Vi vil ha

(x-10)(x-20) < 0

, altså der produktraden er

-

Det gir $10 < x < 20$ .

Svar: Bedriften går med overskudd når salget er mellom $10\,000$ og $20\,000$ enheter. Break-even-punktene er ved $x = 10$ og $x = 20$ , og maksimalt overskudd ligger midt imellom (ved $x = 15$ ).

Løsningsmengde: $L = (10, 20)$

Rasjonale ulikheter (kort innføring)

Når $x$ står i nevneren, må vi være forsiktige. Det vanligste eksempelet er $\displaystyle \frac{1}{x} > 0$ . Det er fristende å gange med $x$ og få $1 > 0$ , men det er feil – for $x$ kan være negativ.

I stedet bruker vi fortegnsskjema. Husk:

- $\dfrac{1}{x}$ er negativ når $x < 0$ .
- $\dfrac{1}{x}$ er udefinert ved $x = 0$ (markeres med et hull).
- $\dfrac{1}{x}$ er positiv når $x > 0$ .

En fyldigere behandling av rasjonale ulikheter kommer i kapittel 2.5.

Aldri gang med et uttrykk som inneholder ukjente

Når du løser

\dfrac{1}{x} > 0

, kan du IKKE multiplisere med

x

uten å vurdere fortegnet til

x

. Bruk fortegnsskjema i stedet.

Mer generelt: For å løse en rasjonal ulikhet flytter du alt til én side slik at du får
$\frac{\text{teller}}{\text{nevner}} \gtrless 0$
og setter opp fortegnsskjema over teller og nevner.

✏️Eksempel 8: Rasjonal ulikhet

Løs ulikheten $\dfrac{x - 1}{x + 3} \geq 0$ .

Vi har allerede formen $\displaystyle \frac{\text{teller}}{\text{nevner}} \geq 0$ .

Nullpunkter: teller er null ved $x = 1$ , og nevner er null (udefinert) ved $x = -3$ .

Fortegnsskjema for $\frac{x-1}{x+3}$

x-linje

-3

1

(x-1)

\displaystyle \frac{1}{x+3}

\displaystyle \frac{x-1}{x+3}

Vi vil ha $\displaystyle \frac{x-1}{x+3} \geq 0$ . Det skjer der produktraden er $+$ eller $0$ .

- $x < -3$ : produkt er $+$ . ✓
- $x = -3$ : udefinert. Ikke med i løsningen.
- $-3 < x < 1$ : produkt er $-$ . ✗
- $x = 1$ : produkt er $0$ . Med i løsningen (siden ulikheten er $\geq$ ).
- $x > 1$ : produkt er $+$ . ✓

Løsningsmengde: $L = (-\infty, -3) \cup [1, \infty)$

Legg merke til at $x = -3$ får rund parentes (udefinert), mens $x = 1$ får hakeparentes.

Anvendelse: budsjettrestriksjon og lønnsomhetsområde

Ulikheter er språket for restriksjoner i økonomi. En budsjettrestriksjon sier at de samlede kostnadene ikke kan overstige budsjettet. En kapasitetsbetingelse sier at produksjonen ikke kan overstige maksimal kapasitet.

✏️Eksempel 9: Budsjettrestriksjon

En bedrift produserer to varer, $x$ enheter av vare A og $y$ enheter av vare B. Vare A koster 2 kr per enhet å produsere, vare B koster 3 kr per enhet, og samlede produksjonskostnader kan ikke overstige 100 kr. I tillegg kan ikke antallet være negativt.

Skriv opp ulikhetene som beskriver de tillatte produksjonsmengdene.

Kostnadsrestriksjon:

2x + 3y \leq 100

Ikke-negativitet:
$x \geq 0, \quad y \geq 0$

De tre ulikhetene tilsammen definerer et mulighetsområde i $xy$ -planet. Geometrisk er dette en trekant med hjørner $(0, 0)$ , $(50, 0)$ og $\displaystyle (0, \frac{100}{3})$ .

Dette er starten på lineær programmering, der vi finner de tillatte kombinasjonene som maksimerer for eksempel dekningsbidraget.

✏️Eksempel 10: Prisintervall for lønnsomhet

Etterspørselen etter en vare er $q(p) = 100 - 2p$ , der $p$ er pris og $q$ er antall solgte enheter. Variable kostnader er 20 kr per enhet, og faste kostnader er 200 kr.

For hvilke priser går bedriften med overskudd?

Inntekt:

R(p) = p \cdot q(p) = p(100 - 2p) = 100p - 2p^2

Kostnad: $C(p) = 20 \cdot q(p) + 200 = 20(100 - 2p) + 200 = 2200 - 40p$

Overskudd: $O(p) = R(p) - C(p) = 100p - 2p^2 - (2200 - 40p) = -2p^2 + 140p - 2200$

Vi løser $O(p) > 0$ :
$-2p^2 + 140p - 2200 > 0 \quad | \div (-2)$
$p^2 - 70p + 1100 < 0 \quad \text{(tegnet snudde)}$

Med abc-formelen: $p = \dfrac{70 \pm \sqrt{4900 - 4400}}{2} = \dfrac{70 \pm \sqrt{500}}{2} \approx \dfrac{70 \pm 22{,}36}{2}$

Det gir $p_1 \approx 23{,}82$ og $p_2 \approx 46{,}18$ .

Siden parabelen $p^2 - 70p + 1100$ vender oppover, er den negativ mellom nullpunktene.

Svar: Bedriften går med overskudd når prisen er mellom ca. 23,82 kr og 46,18 kr per enhet. I tillegg må selvsagt $0 \leq p \leq 50$ for at etterspørselen $q \geq 0$ . Begge break-even-prisene ligger innenfor dette intervallet.

📝Oppgave 4

Anvend: budsjett og kapasitet.

En student har et månedsbudsjett på 8000 kr. Husleie er 5500 kr, og resten skal dekke mat og fritid. Hvor mye $x$ kan studenten bruke på mat og fritid og fortsatt holde seg innenfor budsjettet? Sett opp og løs en ulikhet.

En fabrikk har kapasitet på 800 enheter per uke. Forhåndsbestillinger er på 200 enheter. La $x$ være antall enheter som produseres utover forhåndsbestillingene. Sett opp og løs en ulikhet for tillatte verdier av $x$ .

En bedrift selger varer for $p$ kr stykket og har dekningsbidrag $DB(p) = 50p - 1000$ . For hvilke priser er dekningsbidraget positivt? Sett opp og løs ulikheten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Break-even-intervall: For hvilke produksjonsnivåer er overskuddet positivt?

O(x) = -x^2 + 12x - 27

. Finn produksjonsnivåene der

O(x) > 0

O(x) = -2x^2 + 40x - 150

. Finn

x

slik at

O(x) > 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Sammensatte ulikheter.

2(x - 3) - 4(x + 1) \geq -10

\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{2x - 1}{3} > 1

\dfrac{x + 2}{x - 1} \geq 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Finn feilen. En student har løst

-2x > 6

slik:

"Jeg deler begge sider med $-2$ og får $x > -3$ ."

a) Forklar hva som er feil i resonnementet.

b) Hva er riktig løsning?

c) Sjekk svaret ditt ved å prøve én verdi i og én verdi utenfor løsningsmengden.

📝Oppgave 8

Forklar med ord.

a) Forklar, uten å bruke formler, hvorfor du må snu ulikhetstegnet når du ganger en ulikhet med et negativt tall. Bruk gjerne et konkret talleksempel og tallinjen.

b) En bedrift har overskudd $O(x) = -x^2 + 20x - 75$ . Uten å regne ut break-even-punktene eksplisitt, argumenter geometrisk for at det finnes nøyaktig to break-even-punkter, og forklar hva det betyr for overskuddsintervallet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

📜Oppsummering: Lineære ulikheter

Ulikhetstegn:

<

\leq

>

\geq

Regneregler:
1. Legg til/trekk fra samme tall på begge sider $\Rightarrow$ tegnet beholdes.
2. Gang/del med positivt tall $\Rightarrow$ tegnet beholdes.
3. Gang/del med negativt tall $\Rightarrow$ tegnet snur.

Intervallnotasjon:
- $[a, b]$ – endepunktene er med.
- $(a, b)$ eller $\langle a, b \rangle$ – endepunktene er ikke med.
- Mot $\pm \infty$ : alltid rund/vinkelparentes.

Doble ulikheter ( $a < f(x) < b$ ): utfør samme operasjon på alle tre deler. Snur tegnet, så snur det på begge sider.

Andregradsulikheter:
1. Samle alt på én side.
2. Faktoriser: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
3. Sett opp fortegnsskjema.
4. Les av løsningen.

Rasjonale ulikheter: Aldri gang begge sider med et uttrykk som inneholder $x$ . Flytt alt til én side og bruk fortegnsskjema. Husk at nevner $= 0$ gir hull (udefinert).

Anvendelser i økonomi:
- Budsjettrestriksjon: $\text{kostnad} \leq \text{budsjett}$ .
- Kapasitetsgrense: $\text{produksjon} \leq \text{maks}$ .
- Lønnsomhetsområde: $O(x) > 0$ , der $O$ er overskuddsfunksjonen.
- Break-even-intervall: området mellom de to nullpunktene til en andregrads overskuddsfunksjon.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Ulikheter: Bruker tegnene $<, \leq, >, \geq$ og har ofte et intervall som løsning.
- Regneregler: Tegnet beholdes ved addisjon/subtraksjon, men snus når du ganger eller deler med et negativt tall.
- Andregradsulikheter: Løses med fortegnsskjema ut fra nullpunktene.
- Anvendelse: Ulikheter beskriver restriksjoner og lønnsomhetsområder i økonomi.

Viktige formler

- Gang/del med negativt tall

\Rightarrow

snu ulikhetstegnet.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Ulikhet	Uttrykk med $<, \leq, >, \geq$
Tegnskifte	Snu tegnet ved negativ multiplikasjon
Fortegnsskjema	Verktøy for andregradsulikheter
Intervall	Løsningsmengden til en ulikhet

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.