2.5 Rasjonale likninger | Matematikk for økonomer

Løs likninger som inneholder brøker ved hjelp av ulike metoder.

60 min

6 oppgaver

BrøklikningerProduktregelenLikninger med brøk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning 1.6Rasjonale uttrykk

Brøklikninger

Nå skal vi lære å løse likninger som inneholder brøker. Hovedstrategien er ofte å multiplisere begge sider med nevneren for å bli kvitt brøken.

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$

c) $\displaystyle \frac{6}{x} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | \div 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{8}{2x} = 2 \quad | \cdot 2x$
$8 = 4x \quad | \div 4$
$2 = x$
$x = 2$

📝Oppgave 1

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{5} = 2

\displaystyle \frac{x}{4} = 8

\displaystyle \frac{2x}{3} = 2

\displaystyle 9 = \frac{3y}{4}

\displaystyle \frac{4}{x} = 2

\displaystyle \frac{28}{2x} = 7

✏️Eksempel 2

Regn ut:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5}$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | \div 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | \div 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

📝Oppgave 2

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{7}

\displaystyle \frac{1}{8}x = \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{4}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2} = 9

\displaystyle \frac{5}{4x} = 2

\displaystyle \frac{2}{2y} = \frac{1}{7}

✏️Eksempel 3

Regn ut:

a) $\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2$

b) $\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3$

Løsning:

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) Alternativ 1:
$\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

📝Oppgave 3

Løs likningene

\displaystyle x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x = 2

\displaystyle \frac{1}{3}x + \frac{x}{3} = 2

\displaystyle 2x - \frac{1}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{2} - 3x = -2

\displaystyle \frac{x}{11} = 2 + \frac{1}{2}

📝Oppgave 4

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{5}x + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle 3x - \frac{2}{5} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{3x}{5} = -2

\displaystyle \frac{x}{13} = 2 + \frac{1}{3}

✏️Eksempel 4

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | \div 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løsning:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

✏️Eksempel 5

Løs likningen:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7}$

Løsning:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | \div (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

NB: Å dele med et tall er det samme som å gange nevneren med det tallet.
Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

📝Oppgave 5

Løs likningene

\displaystyle 5x = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = -2

\displaystyle \frac{1}{5}x + \frac{x}{5} = 1

\displaystyle 2x - \frac{x}{3} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} = -\frac{3}{4}

\displaystyle \frac{-x}{8} = 2x + \frac{1}{2}

✏️Eksempel 6

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

📜Brøklikninger med produktregelen

Når vi skal finne ut når en brøk har verdien 0 så holder det å finne ut når telleren (det over brøkstreken) i brøken er lik 0.

$\displaystyle \frac{0}{x} = 0$ for alle verdier av $x$ (med unntak av 0).

✏️Eksempel 7

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$ . Ettersom telleren i brøken da blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningen er altså $x = -1$

✏️Eksempel 8

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 1} = 0$

Løsning:

Vi faktoriserer telleren i brøken (for eksempel ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Produktregelen forteller oss at det over brøkstreken er 0 når minst én av faktorene er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$ .

Ettersom telleren i brøken i begge tilfeller blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningene her er altså $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$ , men dette vil ikke gi oss noe nullpunkt.

📝Oppgave 6

Løs likningene ved bruk av produktregelen

\displaystyle \frac{x - 5}{5} = 0

\displaystyle \frac{x + 2}{x} = 0

\displaystyle x + \frac{x - 1}{5} = 1

\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0

\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2

\displaystyle 2x - 2 - \frac{x - 1}{3} = 0

Løs oppgaven Tren

Når ingen verdier av x gir en løsning og når alle verdier av x gir en løsning

✏️Eksempel 9

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$ , det spiller ingen rolle hva $x$ er her. Svaret blir altså ingen løsning.

✏️Eksempel 10

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uansett hva $x$ er så vil venstresiden og høyresiden i dette uttrykket være like hverandre.

Her kan vi altså si at løsningen er alle mulige verdier av x. Andre måter vi kan si dette på er "alle reelle tall" eller bare alle $x \in \mathbb{R}$ .

✏️Eksempel 11

Å gange med flere ledd på begge sider samtidig.

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | \div 5$

$x = -1$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av rasjonale likninger.

Finn feilen. En student skal løse likningen

\dfrac{1}{x} = 5

. Hun ganger med

x

på begge sider og får

1 = 5x

, altså

x = \tfrac{1}{5}

. Så sjekker hun

x = 0

: " $\tfrac{1}{0} = 5$ er feil, så $x = 0$ er ikke en løsning", og skriver: "Løsningene er $x = \tfrac{1}{5}$ og $x = 0$ er forkastet." Hva er problemet med formuleringen hennes?

Forklar uten regning hvorfor man alltid må sjekke om en løsning gjør nevneren i den opprinnelige likningen lik null. Hva kalles slike løsninger?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Rasjonale likninger

Steg/Begrep	Beskrivelse
Form	$\dfrac{\text{teller}_1}{\text{nevner}_1} = \dfrac{\text{teller}_2}{\text{nevner}_2}$ eller $\dfrac{\text{teller}}{\text{nevner}} = \text{tall}$
Steg 1	Finn forbudte verdier — alle $x$ som gjør en nevner lik $0$
Steg 2	Gang begge sider med fellesnevner for å fjerne brøkene
Steg 3	Løs den resulterende (vanligvis polynomielle) likningen
Steg 4	Kontroller at løsningen ikke er en forbudt verdi. Forkast falske røtter.
Kryssmultiplikasjon	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Rightarrow\; ad = bc$ (med $b, d \neq 0$ )
Produktregel for nullbrøk	$\dfrac{T(x)}{N(x)} = 0 \;\Leftrightarrow\; T(x) = 0$ (med $N(x) \neq 0$ )
Faktorisert nevner	$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$ — bruk dette til å finne fellesnevner
Falsk rot	Kandidat som gjør en opprinnelig nevner lik $0$ — må forkastes

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonale likninger: Likninger med brøker; gang opp med nevneren for å bli kvitt brøken.
- Brøk lik null: En brøk er null når telleren er null.
- Sjekk nevneren: Verdier som gjør nevneren null må forkastes.
- Spesialtilfeller: Noen likninger har ingen løsning, andre uendelig mange.

Viktige formler

\frac{\text{teller}}{\text{nevner}} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \text{teller} = 0

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rasjonal likning	Likning med brøk(er)
Felles nevner	Gang opp for å fjerne brøk
Forbudte verdier	Gjør nevneren null
Teller lik null	Gir brøkverdi null

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.