1.6 Rasjonale uttrykk | Matematikk for økonomer

Forkorte, multiplisere, dividere og trekke sammen brøker med algebraiske uttrykk.

60 min

9 oppgaver

Forkorting av algebraiske brøkerMultiplikasjon og divisjonFellesnevner

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Brøkregning 1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brukes videre i

2.5Rasjonale likninger 3.6Rasjonale funksjoner

Brøker med algebraiske uttrykk

Nødvendige forkunnskaper: Algebra og faktorisering

I dette kapitlet skal vi lære å regne med brøker som inneholder algebraiske uttrykk (bokstaver). Vi skal se på hvordan vi forkorter, multipliserer, dividerer og trekker sammen slike brøker.

✏️Eksempel 1

Forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{3x - 6}{6} = \frac{3 \cdot (x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{x - 2}{2}$

c) $\displaystyle \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x + 2}$

📝Oppgave 1

Forkort brøkene

\displaystyle \frac{4x}{9x}

\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 2x}

\displaystyle \frac{x^2 - 5x}{x - 5}

\displaystyle \frac{2x - 8}{4}

\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 6}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2

Multipliser og forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2}{3x} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 4} = \frac{2 \cdot (x + 3)}{3x \cdot 2 \cdot 2} = \frac{x + 3}{6x}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2x + 8} \cdot \frac{x + 4}{3x} = \frac{x \cdot (x + 4)}{(2x + 8) \cdot 3x} = \frac{x \cdot (x + 4) \cdot 1}{2(x + 4) \cdot 3 \cdot x} = \frac{1}{6}$

c) $\displaystyle 3x^2 \cdot \frac{x + 3}{3x^2 - 27} = \frac{3x^2}{1} \cdot \frac{x + 3}{3(x^2 - 9)} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot (x + 3)}{3 \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)} = \frac{x^2}{x - 3}$

📝Oppgave 2

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x + 5}{5x} \cdot \frac{5}{2x + 10}

\displaystyle \frac{2x}{3x - 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{4}

\displaystyle 5x \cdot \frac{x + 4}{4x^2 - 16x}

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Multipliser og forkort (om mulig) brøkene

\displaystyle \frac{x}{2} \div \frac{2x}{3}

\displaystyle \frac{x + 9}{2x} \div \frac{x^2 - 81}{2x + 8}

\displaystyle 4x \div \frac{x}{x^2 - 16}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{9x + 3y}{4x} - \frac{x - 3y}{4x} = \frac{9x + 3y - (x - 3y)}{4x} = \frac{9x + 3y - x + 3y}{4x}$

$\displaystyle = \frac{8x + 6y}{4x} = \frac{2(4x + 3y)}{2 \cdot 2x} = \frac{4x + 3y}{2x}$

📝Oppgave 4

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2x}{4} + \frac{3x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{8x}{3}

\displaystyle \frac{y}{5} - \frac{3y}{5}

\displaystyle \frac{2x - y}{4x} - \frac{3x}{4x}

\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{2x}{3} - \frac{3 - 6x}{3}

\displaystyle \frac{x + 6}{2x + 1} - \frac{3x - 4}{2x + 1}

Løs oppgaven

📜Utviding av brøker

For å trekke sammen brøker med ulik nevner må vi først utvide brøkene slik at de får lik nevner (fellesnevner).

Vi utvider en brøk ved å gange teller og nevner med samme faktor.

✏️Eksempel 4

Utvid brøken slik at du får $x^2 - 4$ i nevner:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}$

📝Oppgave 5

Utvid brøken

\displaystyle \frac{9}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x - 4

\displaystyle \frac{5}{x + 3}

slik at nevneren blir

x^2 - 9

\displaystyle \frac{3x}{x - 2}

slik at nevneren blir

2x^2 - 8

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5x}{2y} + \frac{3}{2} = \frac{5x}{2y} + \frac{3 \cdot y}{2 \cdot y} = \frac{5x}{2y} + \frac{3y}{2y} = \frac{5x + 3y}{2y}$

📝Oppgave 6

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2} + \frac{1}{2x}

\displaystyle \frac{4x}{2} + \frac{2x}{5}

\displaystyle \frac{2y}{5} - \frac{x}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2y} + \frac{2y}{x}

\displaystyle \frac{x}{5} - 3x

\displaystyle \frac{2x}{11y} - \frac{4x}{11} - 2

Løs oppgaven

✏️Eksempel 6

Trekk sammen brøkene:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - 2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{4}{3xy} + \frac{3x}{2y} - \frac{2}{1} = \frac{4 \cdot 2}{3xy \cdot 2} + \frac{3x \cdot 3x}{2y \cdot 3x} - \frac{2 \cdot 6xy}{1 \cdot 6xy} = \frac{8}{6xy} + \frac{9x^2}{6xy} - \frac{12xy}{6xy}$

$\displaystyle = \frac{8 + 9x^2 - 12xy}{6xy} = \frac{9x^2 - 12xy + 8}{6xy}$

📝Oppgave 7

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{3}{2xy} + \frac{1}{3x} - 1

\displaystyle \frac{3}{2ab} + \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{2}{5x} - \frac{1}{3y} - 1

Løs oppgaven

✏️Eksempel 7

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - 2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{4}{x + 2} - \frac{2}{1} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{1(x + 2)} = \frac{4}{x + 2} - \frac{2x + 4}{x + 2} = \frac{4 - (2x + 4)}{x + 2}$

$\displaystyle = \frac{4 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{-2x}{x + 2}$

📝Oppgave 8

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{5}{x + 2} + \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2}

\displaystyle 2 - \frac{x + 2}{3}

\displaystyle \frac{3}{y + 1} + \frac{4}{2(y + 1)}

\displaystyle \frac{x}{5x} - 2

\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{x - 3}{3x} - 2

Løs oppgaven

✏️Eksempel 8

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2(x - 3)} - \frac{3(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{10}{2x - 6} - \frac{3x - 9}{2x - 6}$

$\displaystyle = \frac{10 - (3x - 9)}{2x - 6} = \frac{10 - 3x + 9}{2x - 6} = \frac{-3x + 19}{2x - 6}$

✏️Eksempel 9

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4}$

Løsning:

Vi ser fellesnevneren er $(x - 4)(x + 4)$

$\displaystyle \frac{2}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$

$\displaystyle = \frac{2x + 8 - 1(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{2x + 8 - x + 4}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 12}{x^2 - 16}$

📝Oppgave 9

Trekk sammen brøkene og forkort hvis mulig

\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}

\displaystyle \frac{2}{x + 3} - \frac{1}{2x + 6}

\displaystyle 3 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}

\displaystyle \frac{3}{y + 4} + \frac{4}{2y + 8} - \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{1}{3x} - \frac{2}{x + 1}

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x - 3}{x - 2} - \frac{2}{x - 1}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 10

Trekk sammen:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{3x - 3}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{3x - 3} = \frac{2}{(x + 2)} - \frac{4}{3(x - 1)}$

$\displaystyle = \frac{3 \cdot 2(x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} - \frac{4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{6(x - 1) - 4(x + 2)}{3(x - 1)(x + 2)}$

$\displaystyle = \frac{6x - 6 - 4x - 8}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x - 14}{3x^2 + 3x - 6}$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En student stryker

x

i brøken

\displaystyle \frac{x+3}{x}

og får svaret

3

. Hvorfor er dette galt? Hva er riktig forenkling?

Forklar definisjonsmengde. For hvilke verdier av

x

\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}

udefinert? Forenkle uttrykket, og forklar hvorfor det forenklede uttrykket gir riktig verdi for ALLE

x

unntatt den/de ekskluderte.

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Rasjonale uttrykk

Regel	Formel
Forkorting	$\displaystyle \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ — stryk felles faktor over og under, ALDRI ledd
Multiplikasjon	$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Divisjon	$\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Addisjon	$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ (felles nevner)
Subtraksjon	$\displaystyle \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$
Definisjonsmengde	Nevneren må være ulik 0: nevner $\neq 0$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonale uttrykk: Brøker der teller og nevner inneholder algebra.
- Forkorting: Stryk felles faktorer, aldri ledd.
- Fellesnevner: Utvid brøkene til lik nevner før addisjon og subtraksjon.
- Multiplikasjon og divisjon: Samme regler som for tallbrøker.

Viktige formler

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rasjonalt uttrykk	Brøk med algebra i teller/nevner
Forkorting	Stryke felles faktor (ikke ledd)
Fellesnevner	Lik nevner for flere brøker
Faktor	Det som ganges, kan strykes

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.