3.6 Rasjonale funksjoner | Matematikk for økonomer

Funksjoner på brøkform med polynomer, asymptoter og definisjonsmengde.

35 min

10 oppgaver

Rasjonale funksjonerAsymptoterDefinisjonsmengde

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.5Nullpunkter og fortegn 1.6Rasjonale uttrykk

En rasjonal funksjon er en brøk der både teller og nevner er polynomer. Disse funksjonene har spesielle egenskaper som asymptoter og hull i grafen.

I dette kapitlet lærer du:
- Definisjonsmengde
- Vertikale asymptoter
- Horisontale asymptoter

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Eksempel 1

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ .

Nevneren er null når:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Definisjonsmengde: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Alle reelle tall unntatt $x = -2$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengden:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 3}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 9}

Vertikal asymptote

x = a

✏️Eksempel 2

Finn vertikale asymptoter for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$ .

Nevneren er null når $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Telleren $x + 1$ er ikke null i disse punktene.

Vertikale asymptoter: $x = 2$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn vertikale asymptoter:

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

Horisontal asymptote

y = b

✏️Eksempel 3

Finn horisontal asymptote for $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Teller har grad 1, nevner har grad 1.
Gradene er like.

$y = \frac{\text{ledende koeff. i teller}}{\text{ledende koeff. i nevner}} = \frac{3}{1} = 3$

Horisontal asymptote: $y = 3$

📝Oppgave 3

Finn horisontale asymptoter:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}

✏️Eksempel 4

Analyser $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Faktoriser telleren:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

For $x \neq 1$ :
$f(x) = x + 1$

Viktig: $f(1)$ er udefinert!

Grafen er linjen $y = x + 1$ med et hull i punktet $(1, 2)$ .

Dette er ikke en vertikal asymptote fordi telleren også er null i $x = 1$ .

📝Oppgave 4

Forenkle og finn hull i grafen: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Å skissere rasjonale funksjoner

1. Finn definisjonsmengden
2. Finn vertikale asymptoter
3. Finn horisontale asymptoter
4. Finn nullpunkter ( $f(x) = 0$ )
5. Finn $y$ -skjæring ( $f(0)$ )

✏️Eksempel 5

Finn alle asymptoter og nullpunkter for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Vertikal asymptote: Nevner null når

x = 1

. Asymptote:

x = 1

Horisontal asymptote: Grad teller = grad nevner = 1.
$\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$ . Asymptote: $y = 1$

Nullpunkt: Teller null når $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$y$ -skjæring: $\displaystyle f(0) = \frac{2}{-1} = -2$

📝Oppgave 5

Finn alle asymptoter, nullpunkter og $y$ -skjæring for $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$ .

📝Oppgave 6

Finn nullpunktene til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 1}$ .

📜Oppsummering: Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er på formen $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer.

Begrep	Regel/Metode
Definisjonsmengde	$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}$
Nullpunkt	$P(x) = 0$ og $Q(x) \neq 0$
Vertikal asymptote	$Q(x) = 0$ og $P(x) \neq 0$ i samme punkt
Hull i grafen	Både $P(x) = 0$ og $Q(x) = 0$ (felles faktor som forkortes)
Horisontal asymptote, $\deg P < \deg Q$	$y = 0$
Horisontal asymptote, $\deg P = \deg Q$	$y = \dfrac{\text{ledende koeff. } P}{\text{ledende koeff. } Q}$
Horisontal asymptote, $\deg P > \deg Q$	Ingen horisontal asymptote
$y$ -skjæring	$f(0) = \dfrac{P(0)}{Q(0)}$ (hvis definert)
Forenkling	Faktoriser teller og nevner og forkort felles faktorer

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En medstudent skriver: "Funksjonen

f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}

har en vertikal asymptote i

x = 1

fordi nevneren blir null der." Hva er feilen? Forklar hvorfor

x = 1

egentlig gir et HULL i grafen og ikke en asymptote.

Forklar forskjellen. Forklar forskjellen mellom et hull og en vertikal asymptote i grafen til en rasjonal funksjon. Hvordan kjenner du dem fra hverandre algebraisk — altså ved å se på uttrykket før du tegner grafen?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rasjonal funksjon: En brøk der teller og nevner er polynomer.
- Definisjonsmengde: Alle $x$ der nevneren ikke er null.
- Vertikal asymptote: Der nevneren er null (og telleren ikke).
- Horisontal asymptote: Bestemmes av gradene til teller og nevner.

Viktige formler

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rasjonal funksjon	Brøk av to polynomer
Definisjonsmengde	Der nevneren ikke er null
Vertikal asymptote	$x = a$ der nevner = 0
Horisontal asymptote	$y = b$ når $x \to \pm\infty$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.