3.6 Rasjonale funksjoner | Matematikk for økonomer

Når funksjonen blir en brøk

Du har lært at man aldri kan dele på null. Den enkle regelen får store følger når en hel funksjon er bygget som en brøk. En rasjonal funksjon er nettopp det: en brøk der både teller og nevner er polynomer, $\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , med kravet $Q(x)\neq 0$ .

Fordi vi ikke kan dele på null, finnes det $x$ -verdier funksjonen rett og slett ikke tåler. Mengden av alle de $x$ -ene der nevneren ikke er null, kaller vi definisjonsmengden $D_f$ . Å finne den handler om å avsløre hvor nevneren blir null og holde de verdiene unna.

La oss finne definisjonsmengden til $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$ . Nevneren er null når $x^2-4=0$ , altså $(x-2)(x+2)=0$ , som gir $x=2$ eller $x=-2$ . Disse to verdiene er forbudte. Definisjonsmengden er derfor alle reelle tall unntatt dem: $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ . Akkurat ved disse hullene skjer noe interessant med grafen.

Vegger og gulv -- asymptotene

Der nevneren blir null, men telleren ikke er det, oppstår en vertikal asymptote -- en loddrett linje $x=a$ som grafen nærmer seg uendelig tett uten noensinne å krysse. Det er som en usynlig vegg. For $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}$ er nevneren null når $x=2$ og $x=-3$ , og telleren $x+1$ er ikke null der. Derfor har vi to vertikale asymptoter: $x=2$ og $x=-3$ .

Langt ute mot kantene, når $x$ går mot $\pm\infty$ , kan grafen flate ut mot en vannrett linje. Det er en horisontal asymptote $y=b$ , et slags gulv eller tak. Hvilken det blir, avgjøres av gradene til teller og nevner: er graden til $P$ mindre enn graden til $Q$ , blir asymptoten $y=0$ ; er gradene like, blir det $y$ lik forholdet mellom de ledende koeffisientene; og er telleren av høyere grad, finnes ingen horisontal asymptote. For $\displaystyle f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$ er begge av grad $1$ , så $\displaystyle y=\frac{3}{1}=3$ .

Men ikke alle null i nevneren gir en vegg. Se på $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ . Telleren faktoriseres til $(x-1)(x+1)$ , så for $x\neq 1$ blir $\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ . Grafen er altså linjen $y=x+1$ , men med et hull i $(1,2)$ , fordi $f(1)$ er udefinert. Dette er ingen asymptote -- det er et hull, og det oppstår fordi både teller og nevner var null i samme punkt.

Å analysere en hel funksjon

Nå setter vi alt sammen. Når vi får en rasjonal funksjon, kan vi kartlegge hele oppførselen ved å lete systematisk etter de samme tingene: definisjonsmengde, nullpunkter, asymptoter og skjæring med $y$ -aksen. Nullpunktene finner vi der telleren er null (og nevneren ikke), for en brøk er null bare når telleren er det.

La oss analysere $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ . Nevneren er null når $x=1$ , og siden telleren ikke er null der, har vi en vertikal asymptote $x=1$ . Teller og nevner har begge grad $1$ , så den horisontale asymptoten er $\displaystyle y=\frac{1}{1}=1$ . Nullpunktet finner vi der telleren er null: $x+2=0$ gir $x=-2$ . Og skjæringen med $y$ -aksen får vi ved å sette inn $x=0$ : $\displaystyle f(0)=\frac{2}{-1}=-2$ .

Med disse fire opplysningene -- to asymptoter som rammer inn grafen, ett nullpunkt og ett skjæringspunkt -- har vi nok til å skissere hele forløpet. Det er styrken ved en ryddig analyse: i stedet for å regne ut hundre punkter, leser vi grafens viktigste trekk rett ut av brøken. Et siste tips er å alltid faktorisere teller og nevner først; da ser vi med en gang om noen felles faktorer kan forkortes til hull, og hvilke null som blir ekte asymptoter.

Oppsummering

En rasjonal funksjon er en brøk av to polynomer, $\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ med $Q(x)\neq 0$ . Fordi vi ikke kan dele på null, består definisjonsmengden $D_f$ av alle $x$ der nevneren ikke er null -- for $\displaystyle \frac{x+1}{x^2-4}$ ble det $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$ .

Der nevneren er null mens telleren ikke er det, oppstår en vertikal asymptote, en loddrett linje grafen aldri krysser. Langt ute styres grafen av en horisontal asymptote: $y=0$ når teller har lavere grad enn nevner, forholdet mellom ledende koeffisienter når gradene er like, og ingen når teller har høyere grad. Er både teller og nevner null i samme punkt, får vi i stedet et hull i grafen.

Ved å lete systematisk etter definisjonsmengde, nullpunkter (der telleren er null), asymptoter og skjæring med $y$ -aksen kan vi analysere hele funksjonen -- som $\displaystyle \frac{x+2}{x-1}$ med asymptotene $x=1$ og $y=1$ , nullpunktet $x=-2$ og $y$ -skjæringen $(0,-2)$ . Et godt råd er alltid å faktorisere først, så hull og ekte asymptoter trer tydelig fram.