1.5 Faktorisering og kvadratsetningene | Matematikk for økonomer

Faktorisering av tall og uttrykk og de tre kvadratsetningene.

60 min

13 oppgaver

PrimtallsfaktoriseringFaktorisering av uttrykkFørste kvadratsetningAndre kvadratsetningKonjugatsetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Algebra og bokstavregning

Brukes videre i

1.6Rasjonale uttrykk

Faktorisering

Enkel faktorisering

Når vi faktoriserer et tall skriver vi det som et produkt av to eller flere andre tall. Tallet 8 kan vi for eksempel faktorisere til $4 \cdot 2$ eller alternativt kan vi skrive det som $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Faktorisering er spesielt nyttig når vi arbeider med brøker fordi det kan hjelpe oss å stryke likt imot likt over og under brøkstreken.

Primtallsfaktorisering

Primtall er tall som kun er delelige på seg selv og tallet 1. Tallet 1 er ikke inkludert.

Når vi primtallsfaktoriserer skriver vi tallene vi faktoriserer som et produkt av kun primtall. Eksempelvis så er en primtallsfaktorisering av $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ forskjellig fra en faktorisering som $12 = 4 \cdot 3$ eller $12 = 2 \cdot 6$ ettersom 4 ikke er et primtall.

Primtall: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 …

✏️Eksempel 1

Primtallsfaktoriser:

a) 6
b) 27
c) 74
d) 520

Løsning:

a) $6 = 2 \cdot 3$

b) $27 = 9 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

c) $74 = 2 \cdot 37$

d) $520 = 52 \cdot 10 = 2 \cdot 26 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 13$

📝Oppgave 1

Primtallsfaktoriser tallene

390

1050

Løs oppgaven Tren

Å forkorte enkle brøker ved hjelp av faktorisering

Når vi skal forkorte brøker så finner vi felles faktorer over og under brøkstreken og stryker disse imot hverandre. I motsetning til primtallsfaktorisering er målet vårt å finne høyest mulig felles faktor over og under brøkstreken, på den måten kan vi forkorte raskest mulig.

Noen ganger kan det også lønne seg å faktorisere litt av gangen. Dette handler mest om erfaring.

✏️Eksempel 2

Forkort brøkene:

a) $\displaystyle \frac{18}{6}$

b) $\displaystyle \frac{45}{75}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{18}{6} = \frac{3 \cdot {\color{red}6}}{{\color{red}6}} = 3$

b) $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot {\color{red}15}}{5 \cdot {\color{red}15}} = \frac{3}{5}$

c) $\displaystyle \frac{2000}{750} = \frac{200 \cdot {\color{red}10}}{75 \cdot {\color{red}10}} = \frac{{\color{blue}25} \cdot 8}{{\color{blue}25} \cdot 3} = \frac{8}{3}$

📝Oppgave 2

Forkort brøkene

\displaystyle \frac{22}{2}

\displaystyle \frac{25}{10}

\displaystyle \frac{9}{6}

\displaystyle \frac{360}{12}

\displaystyle \frac{108}{54}

\displaystyle \frac{1008}{252}

Løs oppgaven Tren

Faktorisering av uttrykk med flere ledd

Vi skal nå lære hvordan vi faktoriserer ut det som er felles i uttrykk med "flere ledd" (altså uttrykk som har + eller − som skiller leddene).

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykkene:

a) $4x + 8$
b) $6x^2 - 3x$
c) $4x^3 - 12x^2 + 4x$
d) $15x^2y^2 - 20x^2y$

Løsning:

I a) har det som er felles blitt markert {\color{blue}blått}. Det er dette vi kan faktorisere ut.
Det som er igjen er markert med {\color{red}rødt}. Dette skal stå igjen inne i en parentes.

a) $4x + 8 = {\color{blue}4} \cdot {\color{red}x} + {\color{blue}4} \cdot {\color{red}2} = 4({\color{red}x + 2})$

b) $6x^2 - 3x = 3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 = 3x(2x - 1)$

c) $4x^3 - 12x^2 + 4x = 4x(x^2 - 3x + 1)$

d) $15x^2y^2 - 20x^2y = 5x^2y(3y - 4)$

Merk: Når vi har faktorisert så kan vi kontrollere at vi har faktorisert riktig ved å gange ut uttrykket vi har fått.

📝Oppgave 3

Faktoriser ut det som er felles (Skrives vanligvis kun "Faktoriser")

2x + 4

9y + 3

8x^2 - 4x + 12

16xy - 9y

15x^2 - 3xy^3

14a^2b + 42b^3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Faktoriser ut $-3$ fra uttrykket: $-3x + 9$

Løsning:

Vi kan tenke slik:

Vi setter $-3$ utenfor en parentes. Inne i parentesen skal det stå det vi må gange $-3$ med for å få uttrykket til venstre for likhetstegnet.

$-3x + 9 = -3 \cdot x - 3 \cdot (-3) = -3(x - 3)$

✏️Eksempel 5

Løs oppgavene:

a) Faktoriser ut det som står foran $x$ (altså 3) fra $3x + 2$

b) Faktoriser ut det foran x-en med høyest eksponent: $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2$

Løsning:

Når vi faktoriserer ut et tall kan vi også tenke at det som skal stå igjen inne i parentesen er det originale uttrykket delt på det som faktoriseres ut.

a) $\displaystyle 3x + 2 = 3 \cdot x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)$

Merk: Fordelen med å faktorisere ut det som står foran $x$ er at vi lett kan se hva $x$ må være for at det inne i parentesen skal bli 0. I dette tilfellet kan vi se at $\displaystyle x = -\frac{2}{3}$ gjør at det som står inne i parentesen blir 0. Vi kommer tilbake til dette litt senere.

b) $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2} \cdot x^2 + \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4)$

📝Oppgave 4

Faktoriser ut det som står foran x-en med høyest potens

-2x + 6

3x + 1

\displaystyle \frac{1}{2}x - 3

-2x^2 + 10x - 12

\displaystyle -\frac{1}{5}x + 4

4x^2 + 4x + 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Faktoriser ut det som står foran x-en med høyest potens og det som eventuelt er felles.

\displaystyle \frac{1}{6}x + 1

\displaystyle \frac{1}{3}x^2 + 2x + 3

-2x^2 + x

16x^2 - 9

-5x^2 - 3

\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)x^3 - 5x

Løs oppgaven Tren

Kvadratsetningene

I begynnelsen så kan kvadratsetningene virke nokså uviktige. Det virker jo bare som vi lærer en "hurtigregel" for hvordan gange sammen uttrykk som er opphøyd i 2. Men, det er bare begynnelsen på hva vi bruker kvadratsetningene til. Spesielt 3. kvadratsetning (Konjugatsetningen) er spesielt viktig å lære seg da den brukes mye i matematikken.

📜1. Kvadratsetning

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Bevis: (Det er faktisk viktig å forstå hvorfor)

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Husk: $b \cdot a = a \cdot b$

📜2. Kvadratsetning

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Bevis:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

✏️Eksempel 6

Regn ut ved hjelp av 1. kvadratsetning:

a) $(x + 3)^2$
b) $(2x + 5y)^2$
c) $3(x + 2)^2$

Løsning:

Vi bruker 1. kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

a) $(x + 3)^2$

Her er $a = x$ og $b = 3$ :

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

b) $(2x + 5y)^2$

Her er $a = 2x$ og $b = 5y$ :

$(2x + 5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2$

c) $3(x + 2)^2$

Her regner vi først ut $(x + 2)^2$ og ganger med 3:

$3(x + 2)^2 = 3(x^2 + 4x + 4) = 3x^2 + 12x + 12$

✏️Eksempel 7

Regn ut ved hjelp av 2. kvadratsetning:

a) $(x - 5)^2$
b) $(x^2 - 2y)^2$

Løsning:

Vi bruker 2. kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

a) $(x - 5)^2$

Her er $a = x$ og $b = 5$ :

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

b) $(x^2 - 2y)^2$

Her er $a = x^2$ og $b = 2y$ :

$(x^2 - 2y)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2y + (2y)^2 = x^4 - 4x^2y + 4y^2$

📝Oppgave 6

Regn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(x + 2)^2

(x - 9)^2

2(x + 6)^2

-2(x - 4)^2

(2x - 7)^2

(-2a + b)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Regn ut ved hjelp av 1. eller 2. Kvadratsetning

(3 + x)^2

2(x - 3)^2

5(x + 2y)^2

-2(3x + 5y)^2

\displaystyle \frac{1}{2}(2x - 6y)^2

(2x^3 - 2z^2)^2

Løs oppgaven Tren

Faktorisering ved hjelp av 1. og 2. kvadratsetning

En av de nyttigste bruksområdene for kvadratsetningene er at vi kan faktorisere enkelte andregraduttrykk om vi gjennomfører de i motsatt retning.

Om vi har en likning på formen $x^2 + b \cdot x + c$ og $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = c$ , så kan vi faktorisere ved hjelp av kvadratsetningene:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

✏️Eksempel 8

Faktoriser ved å bruke 1. og 2. kvadratsetning i motsatt retning:

a) $x^2 + 4x + 4$
b) $2x^2 - 12x + 18$

Løsning:

a) Vi skal faktorisere $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

Her ser vi at det som står foran $x$ , altså $b = 4$ .
Vi må nå sjekke om $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = c$ .
$c = 4$ så dette vilkåret er også oppfylt. Vi kan derfor faktorisere ved hjelp av kvadratsetningen i motsatt retning.

Denne utregningen føres normalt sett ikke og vi nøyer oss med å kun føre resultatet:

$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$

b) $2x^2 - 12x + 18 = 2(x^2 - 6x + 9) = 2(x - 3)^2$

📝Oppgave 8

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Husk at om det står noe foran $x^2$ skal det faktoriseres ut først.

x^2 + 6x + 9

x^2 - 16x + 64

2x^2 + 8x + 8

3x^2 - 18x + 27

-x^2 + 10x - 25

-4x^2 + 8x - 4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Faktoriser ved hjelp av 1. og 2. Kvadratsetning.

NB: Husk at om det er noe som er felles eller som står foran $x^2$ skal det faktoriseres ut først.

x^2 + 18x + 81

-2x^2 - 8x - 8

-3x^2 + 24x - 48

4x^3 - 8x^2 + 4x

-3x^3 + 30x^2 - 75x

\displaystyle x^2 + x + \frac{1}{4}

Løs oppgaven Tren

📜3. Kvadratsetning (Konjugatsetningen)

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Bevis:

$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

✏️Eksempel 9

Regn ut ved hjelp av 3. kvadratsetning:

a) $(x + 2)(x - 2)$
b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Løsning:

Vi bruker konjugatsetningen (3. kvadratsetning): $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

a) $(x + 2)(x - 2)$

Her er $a = x$ og $b = 2$ :

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

b) $(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

Her er $a = x^2$ og $b = 3y$ :

$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y) = (x^2)^2 - (3y)^2 = x^4 - 9y^2$

📝Oppgave 10

Regn ut ved hjelp av 3. Kvadratsetning

(x + 3)(x - 3)

(x + 9)(x - 9)

(2x + \sqrt{3})(2x - \sqrt{3})

(x^2 - 6)(x^2 + 6)

3(x + 4)(x - 4)

-2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)

Løs oppgaven Tren

3. Kvadratsetning i motsatt retning

Vi kan også bruke konjugatsetningen til å faktorisere uttrykk på formen $a^2 - b^2$ :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

✏️Eksempel 10

Faktoriser uttrykkene ved å bruke 3. kvadratsetning i motsatt retning:

Altså: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

a) $x^2 - 9$
b) $4x^2 - 25$
c) $4x^2 - 12$

Løsning:

a) $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$

b) $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)$

c) $4x^2 - 12 = 4(x^2 - 3) = 4\left(x^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2\right) = 4(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

📝Oppgave 11

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning

x^2 - 4

x^2 - 81

4x^2 - 9

9x^2 - 81

x^4 - y^4

9a^4 - 16b^4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Faktoriser ved hjelp av 3. Kvadratsetning (Husk å faktorisere ut det som er felles først)

2x^2 - 8

12x^2 - 27

4x^2 - 36y^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En student har faktorisert

x^2 - 4 = (x-4)(x+1)

. Hva er riktig faktorisering, og hvorfor er studentens svar feil?

Geometrisk argument. Konjugatsetningen sier at

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

. Forklar dette geometrisk: tegn et kvadrat med side

a

, fjern et lite hjørnekvadrat med side

b

(

b < a

). Vis at det gjenværende arealet både er

a^2 - b^2

og kan omformes til et rektangel med sider

(a-b)

(a+b)

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Faktorisering

Regel	Formel
Felles faktor	$ab + ac = a(b + c)$
1. kvadratsetning	$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
2. kvadratsetning	$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Konjugatsetningen	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Faktorisering ved gruppering	$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)$
Andregradsuttrykk	$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1, x_2$ er røttene fra abc-formelen

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Faktorisering: Å skrive et uttrykk som et produkt; trekk ut felles faktor.
- Primtallsfaktorisering: Skrive et tall som produkt av primtall.
- Kvadratsetningene: Hurtigregler for å gange ut og faktorisere andregradsuttrykk.
- Konjugatsetningen: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ .

Viktige formler

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Faktorisering	Skrive uttrykk som et produkt
Felles faktor	Faktor som inngår i alle ledd
Kvadratsetning	Regel for $(a \pm b)^2$
Konjugatsetning	$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.